設(shè)物體的質(zhì)量為m，在恒力F作用下，通過(guò)位移為S，其速度由v₀變?yōu)関_t，

　則：根據(jù)牛頓第二定律F=ma……①　　 根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式2as=v_t²一v₀²……②

由①②得：FS=½mv_t²－½mv₀²

7．對(duì)動(dòng)能定理中的位移與速度必須相對(duì)同一參照物．

6．動(dòng)能定理的表達(dá)式是在物體受恒力作用且做直線運(yùn)動(dòng)的情況下得出的．但它也適用于變?yōu)榧拔矬w作曲線運(yùn)動(dòng)的情況．即動(dòng)能定理對(duì)恒力、變力做功都適用；直線運(yùn)動(dòng)與曲線運(yùn)動(dòng)也均適用．

5．力的獨(dú)立作用原理使我們有了牛頓第二定律、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律的分量表達(dá)式．但動(dòng)能定理是標(biāo)量式．功和動(dòng)能都是標(biāo)量，不能利用矢量法則分解．故動(dòng)能定理無(wú)分量式．在處理一些問(wèn)題時(shí)，可在某一方向應(yīng)用動(dòng)能定理．

4．各力位移相同時(shí)，可求合外力做的功，各力位移不同時(shí)，分別求力做功，然后求代數(shù)和．

3、動(dòng)能定理適用單個(gè)物體，對(duì)于物體系統(tǒng)尤其是具有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體系統(tǒng)不能盲目的應(yīng)用動(dòng)能定理．由于此時(shí)內(nèi)力的功也可引起物體動(dòng)能向其他形式能(比如內(nèi)能)的轉(zhuǎn)化．在動(dòng)能定理中．總功指各外力對(duì)物體做功的代數(shù)和．這里我們所說(shuō)的外力包括重力、彈力、摩擦力、電場(chǎng)力等．　　

2．“增量”是末動(dòng)能減初動(dòng)能．ΔE_K＞0表示動(dòng)能增加，ΔE_K＜0表示動(dòng)能減�。�

做功可以改變物體的能量．所有外力對(duì)物體做的總功等于物體動(dòng)能的增量． W₁+W₂+W₃+……＝½mv_t²－½mv₀²

1．反映了物體動(dòng)能的變化與引起變化的原因--力對(duì)物體所做功之間的因果關(guān)系．可以理解為外力對(duì)物體做功等于物體動(dòng)能增加，物體克服外力做功等于物體動(dòng)能的減�。哉κ羌犹�(hào)，負(fù)功是減號(hào)。

4、實(shí)際問(wèn)題中的功率

[例8]推動(dòng)節(jié)水工程的轉(zhuǎn)動(dòng)噴水“龍頭”。如圖所示，龍頭距地面h，其噴灌半徑可達(dá)10h，每分鐘噴水質(zhì)量為m，所用水從地面下H的井中抽取，設(shè)水以相同的速率噴出，水泵的效率為η，水泵的功率P至少多大？

解析:水泵對(duì)水做功，用來(lái)增大水的重力勢(shì)能和動(dòng)能．

設(shè)水噴出時(shí)速度為v，則h=½gt²,10h=vt;解得

每分鐘內(nèi)水泵對(duì)水做的功W＝mg(H+h)+½mv²=mg(H+26h)，又W=ηPt,∴

[例9]一傳送帶裝置示意如圖，其中傳送帶經(jīng)過(guò)AB區(qū)域時(shí)是水平的，經(jīng)過(guò)BC區(qū)域時(shí)變?yōu)閳A弧形(圓弧由光滑模板形成，未畫(huà)出)，經(jīng)過(guò)CD區(qū)域時(shí)是傾斜的，AB和CD都與BC相切�，F(xiàn)將大量的質(zhì)量均為m的小箱一個(gè)一個(gè)在A處放到傳送帶上，放置時(shí)初速為零，經(jīng)傳送帶運(yùn)送到D處，D和A的高度差為h。穩(wěn)定工作時(shí)傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L(zhǎng)。每個(gè)箱子在A處投上后，在到達(dá)B之前已經(jīng)相對(duì)于傳送帶靜止，且以后也不再滑動(dòng)(忽略經(jīng)BC段時(shí)的微小滑動(dòng))。己知在一段相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間T內(nèi)，共運(yùn)送小貨箱的數(shù)目為N，這裝置由電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)，傳送帶與輪子間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，不計(jì)輪軸處的摩擦。求電動(dòng)機(jī)的平均輸出功率P。

[解析]以地面為參考(下同)，設(shè)傳送帶的運(yùn)動(dòng)速度為v₀，在水平段運(yùn)輸?shù)倪^(guò)程中，小貨箱先在滑動(dòng)摩擦力作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，設(shè)這段路程為S，所用時(shí)間為t，加速度為a，則對(duì)小箱有：S＝½at²……①

　 v₀＝at………②。在這段時(shí)間內(nèi)，傳送帶運(yùn)動(dòng)的路程為：S₀= v₀t……③，由以上可得S₀＝2S……④。用f表示小箱與傳送帶之間的滑動(dòng)摩擦力，則傳送帶對(duì)小箱做功為：W₁=fS=½mv₀²……⑤；傳送帶克服小箱對(duì)它的摩擦力做功：W₀=Fs₀=2·½mv₀²……⑥

兩者之差就是克服摩擦力做功發(fā)出的熱量：Q=½mv₀²……⑦

可見(jiàn)，在小箱加速運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，小箱獲得的動(dòng)能與發(fā)熱量相等。

T時(shí)間內(nèi)，電動(dòng)機(jī)輸出的功為：W=PT……⑧

此功用于增加小箱的動(dòng)能、勢(shì)能以及克服摩擦力發(fā)熱,即W=½Nmv₀²十Nmgh+NQ……⑨

已知相鄰兩小箱的距離為L(zhǎng)，所以：v₀T＝NL……⑩

聯(lián)立⑦⑧⑨⑩得。

散　　　　　 　動(dòng)能　 動(dòng)能定理

知識(shí)簡(jiǎn)析一、動(dòng)能

　　 如果一個(gè)物體能對(duì)外做功，我們就說(shuō)這個(gè)物體具有能量．物體由于運(yùn)動(dòng)而具有的能．　 E_k＝½mv²，其大小與參照系的選取有關(guān)．動(dòng)能是描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量．是相對(duì)量。

3、汽車(chē)起動(dòng)問(wèn)題分析

(1)當(dāng)以恒定功率運(yùn)動(dòng)時(shí)，做加速度越來(lái)越小的變加速直線運(yùn)動(dòng)，a=－，當(dāng)F_牽＝f時(shí)，加速度a＝0，此時(shí)的速度為最大速度．所以v_m=p/f，以后機(jī)車(chē)做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

(2)欲使汽車(chē)從靜止開(kāi)始做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，一開(kāi)始不能用額定功率，功率必須隨著速度增加而增加，使P/v=F恒定；這種運(yùn)動(dòng)持續(xù)一段時(shí)間后．汽車(chē)又做加速度越來(lái)越小的加速運(yùn)動(dòng)，最后達(dá)到最大速度v_m，所以求勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不可用t=v_m/a，必須用v=P_額/F　 ，而t=v/a，　　 由此得：t= P_額/Fa

[例7]質(zhì)量為lkg的機(jī)械與平面間摩擦力f=2N，其額定功率為12 W，要使它以a＝lm／s²的加速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，問(wèn)做這種運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間為多少？

　　 錯(cuò)解：v_m＝P/f＝6m／s，　　　　 t=v_m/a=6s

　 解析：以上做法錯(cuò)在何處，我們進(jìn)行如下的分析：要使a＝lm／s²，必須F＝f+ma＝3N

要使F=3N速度最大為v=P/F=4m／s　　 所以做勻加速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=v/a=4s

這里可做這樣的檢驗(yàn)：當(dāng)速度大于4m／s 時(shí)，不妨設(shè)為5 m／s ；F=P/v=2．4N，則加速度a=(F－f)/m=0．4 m／s²，顯然不是勻加速直線運(yùn)動(dòng)了，所以一旦速度大于4m／s 時(shí)，由于功率不再增加，加速度則變小，做的是加速度越來(lái)越小的加速直線運(yùn)動(dòng)，直到加速度為零，之后做勻速運(yùn)動(dòng)．答案：4 s

點(diǎn)評(píng)(1)此類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是發(fā)動(dòng)機(jī)的功率是否達(dá)到額定功率，若在額定功率下起動(dòng)，則一定是交加速運(yùn)動(dòng)，因?yàn)闋恳﹄S速度的增大而減�。蠼鈺r(shí)不能用勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律來(lái)解．具體變化過(guò)程可用如下示意圖表示．

　　 (2)特別注意勻加速起動(dòng)時(shí)，牽引力恒定．當(dāng)功率隨速度增至預(yù)定功率時(shí)的速度(勻加速結(jié)束時(shí)的速度)，并不是車(chē)行的最大速度．此后，車(chē)仍要在額定功率下做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)．(這階段類(lèi)同于額定功率起動(dòng))直至a=0時(shí)速度達(dá)到最大．具體變化過(guò)程可用如下示意圖

[例]一輛汽車(chē)在平直的公路上以速度v₀開(kāi)始加速行駛，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間t，前進(jìn)了距離s，此時(shí)恰好達(dá)到其最大速度V_m.設(shè)此過(guò)程中汽車(chē)發(fā)動(dòng)機(jī)始終以額定功率P工作，汽車(chē)所受的阻力恒定為F，則在這段時(shí)間里，發(fā)動(dòng)機(jī)所做的功為(　　 )

A、Fv_mt；B、Pt；C、½mv_m²+Fs－½mv₀²；D、；

解析：汽車(chē)在恒定功率作用做變牽引力的加速運(yùn)動(dòng)，所以發(fā)動(dòng)機(jī)做功為變力做功，根據(jù)P=W/t可求得W=Pt，而P=F^/v=Fv_m，所以W= Fv_m t；根據(jù)能量守恒：W+½mv₀²=½mv_m²+Fs

所以W=½mv_m²+Fs－½mv₀²；答案：ABC

思考：為何用得到不正確？錯(cuò)在哪里？

[例]質(zhì)量為m = 4000kg的卡車(chē)，額定輸出功率為P=60 kW。當(dāng)它從靜止出發(fā)沿坡路前進(jìn)時(shí)，每行駛100 m，升高5m，所受阻力大小為車(chē)重的0.1倍，取g=10 m/s² .

試求：(1)卡車(chē)能否保持牽引力為8000 N不變?cè)谄侣飞闲旭偅?/p>

(2)卡車(chē)在坡路上行駛時(shí)能達(dá)到的最大速度為多大？這時(shí)牽引力為多大？

(3)如果卡車(chē)用4000 N牽引力以12m/s的初速度上坡，到達(dá)坡頂時(shí)，速度為4 m/s,那么卡車(chē)在這一段路程中的最大功率為多少？平均功率是多少？

分析:汽車(chē)能否保持牽引力為8000 N上坡要考慮兩點(diǎn)：第一，牽引力是否大于阻力？第二，汽車(chē)若一直加速，其功率是否將超過(guò)額定功率，依P=Fv解。本題考查了汽車(chē)牽引力恒定時(shí)功率的計(jì)算。不少同學(xué)在得到F > f + mgsinθ后，立即做出結(jié)論：汽車(chē)可以保持牽引力8000 N不變上坡；而沒(méi)有考慮到汽車(chē)由于加速，速度不斷增大，其功率不斷增大，如果坡路足夠長(zhǎng)，這種運(yùn)動(dòng)方式是不允許的。

解：分析汽車(chē)上坡過(guò)程中受力情況如圖所示：牽引力F,重力mg＝4×10⁴N，f＝kmg＝4×10³ N，支持力N，依題意sinθ＝5/100。

(1)汽車(chē)上坡時(shí)，若F＝8000N,而f+mgsinθ＝4×10³+4×10⁴×1/20＝6×10³ N,即F> f +mgsinθ,汽車(chē)將加速上坡，速度不斷增大，其輸出功率P=Fv也不斷增大，長(zhǎng)時(shí)間后，將超出其額定輸出功率，所以，汽車(chē)不能保持牽引力為8000N不變上坡。

　(2)汽車(chē)上坡時(shí)，速度越來(lái)越大，必須不斷減小牽引力以保證輸出功率不超過(guò)額定輸出功率，當(dāng)牽引力F= f + mgsinθ=6×10³ N時(shí)，汽車(chē)加速度為零，速度增大到最大，設(shè)為v_m，則P＝Fv＝(f+mgsinθ)·v_m；

F= f + mgsinθ=6×10³ N

(3)若牽引力F=4000N，汽車(chē)上坡時(shí)，速度不斷減小，所以最初的功率即為最大，P=Fv=4000×12=48×10³w。整個(gè)過(guò)程中平均功率為=32×10³W