2、直線的斜率：(1)定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示，即k＝tan(≠90°).(2)傾斜角為90°的直線沒有斜率。(3)經(jīng)過兩點P(x, x),P (y,y)的直線的斜率公式為

1、直線的傾斜角：(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對于一條與x軸相交的直線l，如果把x軸繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線l重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當(dāng)直線l與x軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0。(2)直線的傾斜角的范圍。(3)在直線的傾斜角的定義中抓住三個重要條件：“逆時針旋轉(zhuǎn)、與直線l重合、最小正角”。

12、二面角：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，

從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫二面角，這條直線叫做二面角的棱，

每個半平面叫做二面角的面，棱為l，兩個面分別為，的二面角記為-l-,

一個平面垂直于二面角-l-的棱，且與兩個半平面的交線分別是射線OA，OB，O為垂足，則∠AOB叫做二面角-l-,的平面角。

一個二面角的大小可用它的平面角的大小來衡量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度。二面角大小的取值范圍是［0，180°］

計算二面角的方法：(1)定義法(常根據(jù)三垂線定理先作平面角即自二面角的一個面上一點向另一個面引垂線，再由垂足向棱作垂線，，再解直角三角形)。(2)射影面積法，(3)有平面角向量法(常用基向量法)，(4)法向量法(常用坐標(biāo)法)：

利用法向量可處理二面角問題

設(shè) 分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量

的夾角為，則有(圖3)或 (圖4)

圖3　　　　　　　　　　　　　　　　 圖4

第九講 直線與方程

11、最小角定理：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是這條斜線和這個平面內(nèi)任一條直線所成的角中最小的角。設(shè)AB是平面a的一條斜線，A為斜足，直線m是平面a內(nèi)任一直線，AB′是AB在平面a內(nèi)的射影。為AB和m所成的角，為AB和射影所成的角，射影AB′和m所成的角，則cos=coscos

　 重要應(yīng)用：空間兩條異面直線L1與L2所成的角為≠，過空間一定點P作直線L與L1，L2所成的角都是，這樣的直線L可作多少條？

分析：(1)若∈(0，/2)，則這樣的直線L有0條

(2)若＝/2，則這樣的直線有1條

(3)若∈(/2，)，則這樣的直線L有2條

(4)若＝，則這樣的直線L有3條

(5)若∈(，)，則這樣的直線L有4條

(6)若＝，則這樣的直線L有1條

10、直線和平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫這條直線和這個平面所成的角。特別當(dāng)一條直線和平面垂直時，就說直線與平面所成的角是直角，當(dāng)一條直線在平面內(nèi)或和這個平面平行時，我們規(guī)定直線和平面所成的角為0°，所以直線和平面所成的角的范圍是

利用法向量可處理線面角問題

設(shè) 為直線與平面所成的角，為直線的方向向量與平面的法向量之間的夾角，則有(圖1)或(圖2)

圖1　 　　　　　　　 圖2

9、三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直�！∪咕€定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線在平面內(nèi)的射影垂直。

8、(1)平面與平面的位置關(guān)系：1)平行＿＿沒有公共點，2)相交＿＿有且只有一條公共直線。兩個平面的公共點都在同一條直線上。

(2)兩個平面平行的判定：1)一個如果平面內(nèi)有兩條相交直線和另一個平面平行，則這兩個平面平行。簡稱為“線面平行，則面面平行”，2)推論：如果平面內(nèi)一個有兩條相交直線和另一個平面內(nèi)兩條相交直線平行，那么這兩個平面平行。3)垂直于同一條直線的兩個平面平行。

兩個平面平行的性質(zhì)定理：1)如果兩個平行平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。

2)兩個平行平面之間的距離處處相等，夾在兩個平行平面之間的平行線段也相等。

3)如果兩個平面平行，那么一個平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個平面。

(3) 兩個平面垂直的判定：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

兩個平面垂直的性質(zhì)定理：1)如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。2)如果兩個平面垂直，那么從一個平面內(nèi)一點作另一個平面的垂線必在第一個平面內(nèi)。

7、(1)直線與平面的位置關(guān)系：1)直線在平面內(nèi),　2)直線與平面相交，　3)直線與平面平行,　其中直線與平面相交、直線與平面平行都叫作直線在平面外。

(2)直線與平面平行的判定：如果平面內(nèi)一條直線和這個平面平面平行，那么這條直線和這個平面平行。簡稱為“線線平行，則線面平行。”

判定直線與平面平行的方法還有：1)2)

直線與平面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個平面平行，那么經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，交線和這條直線平行，簡稱為“線面平行，則線線平行”。

(3) 直線與平面垂直的概念：如果一條直線和平平面內(nèi)任何一條直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。公理：過一點有且只有一條直線和已知平面垂直。

直線和平面垂直的判定：1)一個平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，那么這條直線和這個平面垂直。2)兩條平行線中有一條直線和一個平面垂直，那么另一條直線也和這個平面垂直。

直線和平面垂直的性質(zhì)定理：(1)如果一條直線和一個平面垂直，那么這條直線和這個平面內(nèi)所有直線都垂直。(2)如果兩條直線都垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行。

6、異面直線的距離：(1)和兩條異面直線都垂直相交的直線叫異面直線的公垂線。兩條異面直線

的公垂線有且只有一條。而和兩條異面直線都垂直的直線有無數(shù)條。(2)求異面直線的距離的常用方法有：1)直接找公垂線段而求之。2)轉(zhuǎn)化為求直線到平面的距離，即過其中一條直線作平面和平行另一條直線。3)利用向量法：常利用端點在兩條異面直線上的有向線段在公垂線的方向向量上的投影。如圖：AB為公垂線段，

異面直線上兩點的距離公式：已知兩條異面直線a,b所成的角為，在a,b上分別取點E，F(xiàn)，已知AB為公垂線段，長度為d,BE＝m,AF=n,EF=l則l＝(同側(cè)為減，異側(cè)為加)

5、空間直線的位置關(guān)系：(1)相交直線：有且只有一個公共點。(2)平行直線：在同一平面內(nèi)，沒有公共點。(3)異面直線：不在任何一個平面內(nèi)，也沒有公共點。兩條異面直線的作圖，常借助于輔助平面。

異面直線的判定：過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線，和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線。

異面直線所成的角(或夾角)的定義與求法：直線a,b是異面直線，經(jīng)過空間一點O，分別引直線aˊ／／a , b＇／／b,相交直線a＇，b＇所成的銳角(直角)叫異面直線a,b所成的角∈，求異面直線的夾角常用平移法和向量法。