7、二項式定理的應用：二項式定理的主要應用有近似計算、證明整除性問題或求余數(shù)、應用其首尾幾項進行放縮證明不等式。

如(1)(0.998)⁵精確到0.001近似值為____0.990　　　　　　　　　 ____；

(2)被4除所得的余數(shù)為__　　　　　　　 ___；

(3)今天是星期一，100⁴⁵天后是星期___　 二　　　　　　　　 __；

(4)求證：能被64整除；

(5)求證：

第二十四講隨機就是及其分布

7、二項式定理的應用：二項式定理的主要應用有近似計算、證明整除性問題或求余數(shù)、應用其首尾幾項進行放縮證明不等式。

如(1)(0.998)⁵精確到0.001近似值為____0.990　　　　　　　　　 ____；

(2)被4除所得的余數(shù)為__　　　　　　　 ___；

(3)今天是星期一，100⁴⁵天后是星期___　 二　　　　　　　　 __；

(4)求證：能被64整除；

(5)求證：6、(1)二項式定理：(a+b) =Ca+ Cab+…+ Cab+…+Cb　 n∈N，它共有n+1項，其中C(r=0,1,2…n)叫做二項式系數(shù)，Cab叫做二項式的通項，用T表示，即通項為展開式的第r+1項，T＝Cab_，

特別提醒：(1)項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù)。如在的展開式中，第r+1項的二項式系數(shù)為，第r+1項的系數(shù)為；而的展開式中的系數(shù)就是二項式系數(shù)；

(2)當n的數(shù)值不大時往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數(shù)；

(3)審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？

_如：(1)的展開式中常數(shù)項是_　　　　　　 ___；

(2)的展開式中的的系數(shù)為______　　　　 ；

(3)數(shù)的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個數(shù)是_　 3個　　　　　　　 ___；

(4)展開后所得的的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有_　　 7 ___項；

(5)若的值能被5整除，則的可

取值的個數(shù)有__　　　 5　　　　　 __個；

(6)若二項式按降冪展開后，其第二項不大于第三項，則 的取值范圍是　　　　 　　　　　　　　；

(7)函數(shù)的最大值是_______　　　　　　　　　 .

(2)、在二項式定理中，對a,b取不同的值可推出許多常用的式子：

(1)(1+x)=1+Cx+Cx+…+Cx+…+x (a=1,b=x)

(2) C+ C+…+ C+…+C=2　 (a=b=1)

(3) C+ C++…= C++…=2 (a=1 b=-1)

應用“賦值法”可求得二項展開式中各項系數(shù)和為、“奇數(shù) (偶次)項”系數(shù)和為，以及“偶數(shù) (奇次)項”系數(shù)和為。

如(1)如果，則　　　 ；

(2)化簡得　　　　

(3)已知，則等于__ ；

(4)，則+

＝_　　　　　 ____；

(5)設,則_____。

(3)、楊輝三角：　　　　　　　　　1　　　

3　　　　　　　　　　 1　　　　　(a+b)

　　　　　　　　　　　1　2　　1　　　　　　　　 (a+b)　　　　　　　

　　　　　　　　　　1　3　　3　1　　　　　　　 (a+b)

1　4　6　　4　1　　　　　 (a+b)

1　5　10　10　　5　1　　 　　(a+b)　

1　6　15　20　15　6　1　　 (a+b)

表中除1以外的其余各數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)之和。

當n的數(shù)值不大時往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數(shù)。

(4)、二項式系數(shù)的性質(zhì)：

1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即

2)增減性與最大值：當r≤時，二項式系數(shù)C的值逐漸增大，當r≥時,C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值。

當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等并同時取最大值

如(1)在二項式的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)為______　　　　 ；

(2)在的展開式中，第十項是二項式系數(shù)最大的項，則＝___　 18　　　　 _。

(5)、求二項式展開式中的系數(shù)絕對值最大的項常先判斷系數(shù)的絕對值的單調(diào)性。求二項式展開式中的系數(shù)最大的項在上面的基礎上再分析符號。

設第項的系數(shù)最大，由不等式組確定�；蛴�來確定。

如求的展開式中，系數(shù)的絕對值最大的項和系數(shù)最大的項。

7、二項式定理的應用：二項式定理的主要應用有近似計算、證明整除性問題或求余數(shù)、應用其首尾幾項進行放縮證明不等式。

如(1)(0.998)⁵精確到0.001近似值為____0.990　　　　　　　　　 ____；

(2)被4除所得的余數(shù)為__　　　　　　　 ___；

(3)今天是星期一，100⁴⁵天后是星期___　 二　　　　　　　　 __；

(4)求證：能被64整除；

(5)求證：6、(1)二項式定理：(a+b) =Ca+ Cab+…+ Cab+…+Cb　 n∈N，它共有n+1項，其中C(r=0,1,2…n)叫做二項式系數(shù)，Cab叫做二項式的通項，用T表示，即通項為展開式的第r+1項，T＝Cab_，

特別提醒：(1)項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù)。如在的展開式中，第r+1項的二項式系數(shù)為，第r+1項的系數(shù)為；而的展開式中的系數(shù)就是二項式系數(shù)；

(2)當n的數(shù)值不大時往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數(shù)；

(3)審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？

_如：(1)的展開式中常數(shù)項是_　　　　　　 ___；

(2)的展開式中的的系數(shù)為______　　　　 ；

(3)數(shù)的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個數(shù)是_　 3個　　　　　　　 ___；

(4)展開后所得的的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有_　　 7 ___項；

(5)若的值能被5整除，則的可

取值的個數(shù)有__　　　 5　　　　　 __個；

(6)若二項式按降冪展開后，其第二項不大于第三項，則 的取值范圍是　　　　 　　　　　　　　；

(7)函數(shù)的最大值是_______　　　　　　　　　 .

(2)、在二項式定理中，對a,b取不同的值可推出許多常用的式子：

(1)(1+x)=1+Cx+Cx+…+Cx+…+x (a=1,b=x)

(2) C+ C+…+ C+…+C=2　 (a=b=1)

(3) C+ C++…= C++…=2 (a=1 b=-1)

應用“賦值法”可求得二項展開式中各項系數(shù)和為、“奇數(shù) (偶次)項”系數(shù)和為，以及“偶數(shù) (奇次)項”系數(shù)和為。

如(1)如果，則　　　 ；

(2)化簡得　　　　

(3)已知，則等于__ ；

(4)，則+

＝_　　　　　 ____；

(5)設,則_____。

(3)、楊輝三角：　　　　　　　　　1　　　

2　　　　　　　　　　 1　　　　　(a+b)

　　　　　　　　　　　1　2　　1　　　　　　　　 (a+b)　　　　　　　

　　　　　　　　　　1　3　　3　1　　　　　　　 (a+b)

1　4　6　　4　1　　　　　 (a+b)

1　5　10　10　　5　1　　　 (a+b)　

1　6　15　20　15　6　1　　 (a+b)

表中除1以外的其余各數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)之和。

當n的數(shù)值不大時往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數(shù)。

(4)、二項式系數(shù)的性質(zhì)：

1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即

2)增減性與最大值：當r≤時，二項式系數(shù)C的值逐漸增大，當r≥時,C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值。

當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等并同時取最大值

如(1)在二項式的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)為______　　　　 ；

(2)在的展開式中，第十項是二項式系數(shù)最大的項，則＝___　 18　　　　 _。

(5)、求二項式展開式中的系數(shù)絕對值最大的項常先判斷系數(shù)的絕對值的單調(diào)性。求二項式展開式中的系數(shù)最大的項在上面的基礎上再分析符號。

設第項的系數(shù)最大，由不等式組確定�；蛴�來確定。

如求的展開式中，系數(shù)的絕對值最大的項和系數(shù)最大的項。

5、排列組合應用題的最基本的解法有：

1)直接法：以元素為考察對象，先滿足特殊元素的要求，再考慮一般元素，稱為元素分析法，或以位置為考察對象，先滿足特殊位置的要求，再考慮一般位置，稱為位置分析法。如：

(1)用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字，可以組成無重復數(shù)字的四位偶數(shù)__156_____個；

(2)某班上午要上語、數(shù)、外和體育4門課，如體育不排在第一、四節(jié)；語文不排在第一、二節(jié)，則不同排課方案種數(shù)為_6____；

先排第一節(jié)，再對第二節(jié)分類討論。

(3)四個不同的小球全部放入編號為1、2、3、4的四個盒中。①恰有兩個空盒的放法有84_____種；②甲球只能放入第2或3號盒，而乙球不能放入第4號盒的不同放法有_96_____種。(1)分三步：第一步先選兩個空盒，第二步把四個球分成兩組，第三步把分成的兩組放入余下的兩個空盒中。。(2)

(4)設有編號為1、2、3、4、5的五個茶杯和編號為1、2、3、4、5的5個杯蓋，將五個杯蓋蓋在五個茶杯上，至少有兩個杯蓋和茶杯的編號相同的蓋法有______ 31　　　 ___

從反面考慮，并用全錯位法。

2)間接法：先不考慮附加條件，計算出總排列數(shù)，再減去不符合要求的排列數(shù)。

如(1)正方體的八個頂點中任取三個點為頂點作三角形，能構成多少個直角三角形。

(2) 正方體的八個頂點中任取四個點為四面體的頂點，能構成多少個這樣的四面體？

(3)在平面直角坐標系中，由六個點(0,0)，(1,2)，(2,4)，(6,3)，(－1,－2)，(－2,－1)可以確定三角形的個數(shù)為_____。15。注意有四點共線與三點共線。

3)先選后排，注意分類討論。選取問題先選后排法。

如某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品，每只產(chǎn)品均不相同且可區(qū)分，今每次取出一只測試，直到4只次品全測出為止，則最后一只次品恰好在第五次測試時，被發(fā)現(xiàn)的不同情況種數(shù)是__。

常用技巧有：

1)插空法(不相鄰)，捆綁法(相鄰問題)，

(1)把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數(shù)為____2880_；

(2)某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中中恰好有3槍連在一起的情況的不同種數(shù)為__20_；

先捆綁后插空。

(3)把一同排6張座位編號為1，2，3，4，5，6的電影票全部分給4個人，每人至少分1張，至多分2張，且這兩張票具有連續(xù)的編號，那么不同的分法種數(shù)是___ 144　　　 __

連續(xù)編號有：(12)(23)(34)(45)(56)，

(4)3人坐在一排八個座位上,若每人的左右兩邊都有空位,則不同的坐法種數(shù)有_24__種；

(5)某班新年聯(lián)歡晚會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目。如果將這兩個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數(shù)為___　 42　　　 __。

2)插板法(可化為正整數(shù)解的問題)，相同元素分組可采用隔板法。

如(1)10個相同的球各分給3個人，每人至少一個，有多少種分發(fā)？每人至少兩個呢？

答　　　　　　 36,15　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)某運輸公司有7個車隊，每個車隊的車都多于4輛且型號相同，要從這7個車隊中抽出10輛車組成一運輸車隊，每個車隊至少抽1輛車，則不同的抽法有多少種？

答　　　 9個洞，插6塊板，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3)等分法，如：5人站隊，要求甲站在乙的前面，有多少種不同的站法？60

4)平均分配(n個元素平均分成m組)。要注意區(qū)分是平均分組還是非平均分組，平均分成n組問題別忘除以n！。如4名醫(yī)生和6名護士組成一個醫(yī)療小組，若把他們分配到4所學校去為學生體檢，每所學校需要一名醫(yī)生和至少一名護士的不同選派方法有_______種(答：37440)；

5)

解排列組合問題的依據(jù)是：

分類相加(每類方法都能獨立地完成這件事，它是相互獨立的，一次的且每次得出的是最后的結果，只需一種方法就能完成這件事)，

分步相乘(一步得出的結果都不是最后的結果，任何一步都不能獨立地完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事，各步是關聯(lián)的)，

有序排列，無序組合．

如(1)將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有　　 243　　　　 　　種；

(2)從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要甲型與乙型電視機各一臺，則不同的取法共有　 　　　70　　　 　種；

(3)從集合和中各取一個元素作為點的坐標，則在直角坐標系中能確定不同點的個數(shù)是_　　 23　　　　 __；

(4)72的正約數(shù)(包括1和72)共有　 　12　　　　 　個；

(5)的一邊AB上有4個點，另一邊AC上有5個點，連同的頂點共10個點，以這些點為頂點，可以構成___　 90　　　 __個三角形；

按含A與不含A分類。

(6)(涂色問題：用分類討論法)用六種不同顏色把右圖中A、B、C、D四塊區(qū)域分開，允許同一顏色涂不同區(qū)域，但相鄰區(qū)域不能是同一種顏色，則共有　 　　　　　　480　　　　　　 　　種不同涂法；

引伸練習：上題中變?yōu)槿鐖DA、B、C、D、E五塊區(qū)域，又有多少種不同的涂法。

分類法：分四類：(1)B、C同色，且A、D同色，(2)B、C同色，且A、D不同色，(3)B、C不同色，且A、D同色，(4)B、C不同色，且A、D不同色，共1560。

(7)同室4人各寫1張賀年卡，然后每人從中拿1張別人送出的賀年卡，則4張賀年卡不同的分配方式有　　 　　　.9　　　　　 　種；

(8)是集合到集合的映射，且

，則不同的映射共有　　 　7　　　　　 　　個；列表分類。

(9)滿足的集合A、B、C共有　　 　　　　　　　　組。6、(1)二項式定理：(a+b) =Ca+ Cab+…+ Cab+…+Cb　 n∈N，它共有n+1項，其中C(r=0,1,2…n)叫做二項式系數(shù)，Cab叫做二項式的通項，用T表示，即通項為展開式的第r+1項，T＝Cab_，

特別提醒：(1)項的系數(shù)與二項式系數(shù)是不同的兩個概念，但當二項式的兩個項的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項式系數(shù)。如在的展開式中，第r+1項的二項式系數(shù)為，第r+1項的系數(shù)為；而的展開式中的系數(shù)就是二項式系數(shù)；

(2)當n的數(shù)值不大時往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數(shù)；

(3)審題時要注意區(qū)分所求的是項還是第幾項？求的是系數(shù)還是二項式系數(shù)？

_如：(1)的展開式中常數(shù)項是_　　　　　　 ___；

(2)的展開式中的的系數(shù)為______　　　　 ；

(3)數(shù)的末尾連續(xù)出現(xiàn)零的個數(shù)是_　 3個　　　　　　　 ___；

(4)展開后所得的的多項式中，系數(shù)為有理數(shù)的項共有_　　 7 ___項；

(5)若的值能被5整除，則的可

取值的個數(shù)有__　　　 5　　　　　 __個；

(6)若二項式按降冪展開后，其第二項不大于第三項，則 的取值范圍是　　　　 　　　　　　　　；

(7)函數(shù)的最大值是_______　　　　　　　　　 .

(2)、在二項式定理中，對a,b取不同的值可推出許多常用的式子：

(1)(1+x)=1+Cx+Cx+…+Cx+…+x (a=1,b=x)

(2) C+ C+…+ C+…+C=2　 (a=b=1)

(3) C+ C++…= C++…=2 (a=1 b=-1)

應用“賦值法”可求得二項展開式中各項系數(shù)和為、“奇數(shù) (偶次)項”系數(shù)和為，以及“偶數(shù) (奇次)項”系數(shù)和為。

如(1)如果，則　　　 ；

(2)化簡得　　　　

(3)已知，則等于__ ；

(4)，則+

＝_　　　　　 ____；

(5)設,則_____。

(3)、楊輝三角：　　　　　　　　　1　　　

1　　　　　　　　　　 1　　　　　(a+b)

　　　　　　　　　　　1　2　　1　　　　　　　　 (a+b)　　　　　　 　　

　　　　　　　　　　1　3　　3　1　　　　　　　 (a+b)

1　4　6　　4　1　　　　　 (a+b)

1　5　10　10　　5　1　　　 (a+b)　

1　6　15　20　15　6　1　　 (a+b)

表中除1以外的其余各數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)之和。

當n的數(shù)值不大時往往借助楊輝三角直接寫出各項的二項式系數(shù)。

(4)、二項式系數(shù)的性質(zhì)：

1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即

2)增減性與最大值：當r≤時，二項式系數(shù)C的值逐漸增大，當r≥時,C的值逐漸減小，且在中間取得最大值。當n為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)取得最大值。

當n為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等并同時取最大值

如(1)在二項式的展開式中，系數(shù)最小的項的系數(shù)為______　　　　 ；

(2)在的展開式中，第十項是二項式系數(shù)最大的項，則＝___　 18　　　　 _。

(5)、求二項式展開式中的系數(shù)絕對值最大的項常先判斷系數(shù)的絕對值的單調(diào)性。求二項式展開式中的系數(shù)最大的項在上面的基礎上再分析符號。

設第項的系數(shù)最大，由不等式組確定�；蛴�來確定。

如求的展開式中，系數(shù)的絕對值最大的項和系數(shù)最大的項。

4、組合的概念：從n個不同元素中取出m個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。

組合數(shù)的概念：從n個不同元素中取出m個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)用符號C表示。

組合數(shù)公式：C＝，

組合數(shù)性質(zhì)：(1)C＝，(2)

(倒序法，或利用)

如：

3、排列的概念：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

全排列：把n個不同元素全部取出的一個排列，叫做這n個元素的一個全排列。

排列數(shù)的概念：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號A表示。A＝n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=,規(guī)定：0�。�1，排列數(shù)恒等式(1);(2);(3)

(4)

階乘：自然數(shù)1到n的連乘積，用n!=1×2×3×…×n表示　.

(1)1！+2！+3！+…+n！()的個位數(shù)字為　 　3　　　　 　；

(2)滿足的＝　 　8　　　　 　　

2、全錯位法，n個編有號碼1,2，3，…n的元素，放入編有號碼1,2，3，…n的n個位置，并使元素編號與位置編號不同，則共有多少種放法？n=1時，有0種，n=2時有1種,n=3時，有2種，n=4時，有9種，n=5時，有44種,…一般，，

1、分類計數(shù)原理(也稱加法原理)：完成一件事，有n類方法，在第一類方法中有m種不同的方法，在第二類方法中有m種不同的方法，…，在第n類方法中有m種不同的方法，那么完成這件事共有N=m+m+…+m不同的方法。

注：每類方法都能獨立地完成這件事，它是相互獨立的，且每次得出的是最后的結果，只需一種方法就能完成這件事。

分步計數(shù)原理(乘法原理)：完成一件事，需要n個步驟，做第一步有m種不同的方法，做第二步有m種不同的方法，…做第n步有m種不同的方法，那么完成這件事共有N=mm…m不同的方法。注：一步得出的結果都不是最后的結果，任何一步都不能獨立地完成這件事，只有各個步驟都完成了，才能完成這件事。各步是關聯(lián)的。

某些復雜的計數(shù)問題有時既要用分類計數(shù)原理，又要用分步計數(shù)原理，分類中有分步，分步中有分類。

7、幾個結論：

(3)

(4)

(5)

(6)

第二十三講計數(shù)原理、排列組合與二項式定理

2、兩個復數(shù)相等的充要條件：

6、復數(shù)的運算：(1)、復數(shù)的加減法則：

(2)、復數(shù)的乘法與除法：乘法注意應用分配律，除法是先寫出分式的形式，再分子、分母同時乘以分母的共軛復數(shù)。

特別注意：