2、單擺振動(dòng)可看做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的條件是：在同一豎直面內(nèi)擺動(dòng),擺角θ＜10⁰．　　

1、單擺：在細(xì)線的一端掛上一個(gè)小球，另一端固定在懸點(diǎn)上，如果線的伸縮和質(zhì)量可以忽略，球的直徑比線長(zhǎng)短得多，這樣的裝置叫做單擺．

這是一種理想化的模型，一般情況下細(xì)線(桿)下接一個(gè)小球的裝置都可作為單擺．

3、利用振動(dòng)圖像分析簡(jiǎn)諧振動(dòng)

[例7]一彈簧振子沿x軸振動(dòng)，振幅為4 cm. 振子的平衡位置位于x袖上的0點(diǎn).圖甲中的a ,b,c,d為四個(gè)不同的振動(dòng)狀態(tài)：黑點(diǎn)表示振子的位置，黑點(diǎn)上箭頭表示運(yùn)動(dòng)的方向．圖乙給出的①②③④四條振動(dòng)圖線，

可用于表示振子的振動(dòng)圖象是(　 AD　 )

A.若規(guī)定狀態(tài)a時(shí)t＝0，則圖象為①

B.若規(guī)定狀態(tài)b時(shí)t＝0，則圖象為②

C.若規(guī)定狀態(tài)c時(shí)t＝0，則圖象為③

D.若規(guī)定狀態(tài)d時(shí)t＝0，則圖象為④

解析:若t＝0，質(zhì)點(diǎn)處于a狀態(tài)，則此時(shí)x＝+3 cm運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎较�，只有圖①對(duì)；若t＝0時(shí)質(zhì)點(diǎn)處于b狀態(tài)，此時(shí)x＝+2 cm，運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樨?fù)方向，②圖不對(duì)；若取處于C狀態(tài)時(shí)t=0，此時(shí)x=－2 cm，運(yùn)動(dòng)方向?yàn)樨?fù)方向，故圖③不正確；取狀態(tài)d為t=0時(shí),圖④剛好符合，故A,D正確．

點(diǎn)評(píng): 對(duì)振動(dòng)圖象的理解和掌握要密切聯(lián)系實(shí)際，既能根據(jù)實(shí)際振動(dòng)畫出振動(dòng)圖象；又能根據(jù)振動(dòng)圖象還原成一個(gè)具體的振動(dòng)，達(dá)到此種境界，就可熟練地用圖象分析解決振動(dòng)

試題展示

　　　　　 單擺、振動(dòng)中的能量

知識(shí)簡(jiǎn)析 一、單擺

2、彈簧振子模型

[例5]如圖所示，質(zhì)量為m的物塊A放在木板B上，而B固定在豎直的輕彈簧上。若使 A隨 B一起沿豎直方向做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)而始終不脫離，則充當(dāng) A的回復(fù)力的是　　　　 。當(dāng)A的速度達(dá)到最大時(shí)，A對(duì)B的壓力大小為　　　　　　　　　 。

解析：根據(jù)題意，只要在最高點(diǎn)A、B仍能相對(duì)靜止，則它們就會(huì)始終不脫離。而在最高點(diǎn)，外界對(duì)A所提供的最大回復(fù)力為mg，即最大加速度a_max=g，故A、B不脫離的條件是a≤g，可見，在振動(dòng)過程中，是A的重力和B對(duì)A的支持力的合力充當(dāng)回復(fù)力。

　　 因?yàn)锳在系統(tǒng)的平衡位置時(shí)，速度最大，此時(shí)A所受重力與B對(duì)它的支持力的合力為零，由牛頓第三定律可知，a對(duì)B的壓力大小等于其重力mg。

拓展：①要使不脫離B,其最大振幅為多少?可仍以最高點(diǎn)為例，設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為k，B的質(zhì)量為m_B，因?yàn)閙g=ma_max，振幅最大時(shí)，a才有最大值，，是由kA_max=(m+m_B)g，得A_max= m+m_B)g/k。

②運(yùn)動(dòng)至最低點(diǎn)時(shí)A對(duì)B的最大壓力是多少?③若讓A從離靜止的B上方h處自由下落與B相碰一起運(yùn)動(dòng),則在最低點(diǎn)的加速度一定滿足a>g,為什么?

[例6]在光滑的水平面上停放著一輛質(zhì)量為M的小車，質(zhì)量為m的物體與勁度系數(shù)為k的一輕彈簧固定相連．彈簧的另一端與小車左端固定連接，將彈簧壓縮x₀后用細(xì)繩將m 栓住，m靜止在小車上的A點(diǎn)，如圖所示，m與M 間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，O 點(diǎn)為彈簧原長(zhǎng)位置，將細(xì)繩燒斷后，m、M開始運(yùn)動(dòng)．求：①當(dāng)m位于O點(diǎn)左側(cè)還是右側(cè)且跟O點(diǎn)多遠(yuǎn)時(shí)，小車的速度最大？并簡(jiǎn)要說明速度為最大的理由．②判斷m與M的最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是靜止、勻速運(yùn)動(dòng)還是相對(duì)往復(fù)的運(yùn)動(dòng)？

[解析]①在細(xì)線燒斷時(shí)，小球受水平向左的彈力F與水平向右的摩擦力f作用，開始時(shí)F必大于f．m相對(duì)小車右移過程中，彈簧彈力減小，而小車所受摩擦力卻不變，故小車做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)．當(dāng)F=f時(shí)車速達(dá)到最大值，此時(shí)m必在O點(diǎn)左側(cè)。設(shè)此時(shí)物體在O點(diǎn)左側(cè)x處，則kx=μmg。所以，當(dāng)x＝μmg／k時(shí)，小車達(dá)最大速度．

　　 ②小車向左運(yùn)動(dòng)達(dá)最大速度的時(shí)刻，物體向右運(yùn)動(dòng)也達(dá)最大速度，這時(shí)物體還會(huì)繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，但它的運(yùn)動(dòng)速度將減小，即小車和物體都在做振動(dòng)．由于摩擦力的存在，小車和物體的振動(dòng)幅度必定不斷減小，設(shè)兩物體最終有一共同速度v，因兩物體組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，且初始狀態(tài)的總動(dòng)量為零，故v=0，即m與M的最終運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是靜止的　　

4.應(yīng)用：①可直觀地讀取振幅A、周期T以及各時(shí)刻的位移x；

②判定各時(shí)刻的回復(fù)力、速度、加速度方向；

③判定某段時(shí)間內(nèi)位移、回復(fù)力、加速度、速度、動(dòng)能、勢(shì)能、等物理量的變化情況

注意：①振動(dòng)圖象不是質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．

②計(jì)時(shí)點(diǎn)一旦確定，形狀不變，僅隨時(shí)間向后延伸。

③簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖像的具體形狀跟計(jì)時(shí)起點(diǎn)及正方向的規(guī)定有關(guān)。

規(guī)律方法1、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)

[例4](1995年全國)一彈簧振子作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，周期為T(　　　　 )

　　 A．若t時(shí)刻和(t+Δt)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)位移的大小相等、方向相同，則Δt一定等于T的整數(shù)倍

　　 B．若t時(shí)刻和(t+Δt)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)速度的大小相等、方向相反，則上t一定等于T/2的整數(shù)倍

　　 C．若Δt=T，則在 t時(shí)刻和(t+Δt)時(shí)刻振子運(yùn)動(dòng)的加速度一定相等

　　 D．若Δt＝T/2，則在t時(shí)刻和(t十Δt)時(shí)刻彈簧的長(zhǎng)度一定相等

解析:做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，振子由平衡位置到最大位移，再由最大位移回到平衡位置，兩次經(jīng)過同一點(diǎn)時(shí)，它們的位移大小相等、方向相同，其時(shí)間間隔并不等于周期的整數(shù)倍，選項(xiàng)A錯(cuò)誤。同理在振子由指向最大位移，到反向最大位移的過程中，速度大小相等、方向相反的位里之間的時(shí)間間隔小于T/2，選項(xiàng)B錯(cuò)誤。相差T/2的兩個(gè)時(shí)刻，彈黃的長(zhǎng)度可能相等，振子從平衡位置開始振動(dòng)、再回到平衡位置時(shí)，彈簧長(zhǎng)度相等、也可能不相等、選項(xiàng)D錯(cuò)誤。若Δt＝T，則根據(jù)周期性，該振子所有的物理量應(yīng)和t時(shí)刻都相同，a就一定相等，所以，選項(xiàng)C正確。

　　 本題也可通過振動(dòng)圖像分析出結(jié)果，請(qǐng)你自己嘗試一下�！　�

[例]如圖所示，一彈簧振子在光滑水平面內(nèi)做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，O為平衡位置，A,B為最大位移處，當(dāng)振子由A點(diǎn)從靜止開始振動(dòng)，測(cè)得第二次經(jīng)過平衡位置所用時(shí)間為t秒，在O點(diǎn)上方C處有一個(gè)小球，現(xiàn)使振子由A點(diǎn)，小球由C點(diǎn)同時(shí)從靜止釋放，它們恰好到O點(diǎn)處相碰，試求小球所在C點(diǎn)的高度H是多少？

解析:由已知振子從A點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，第一次經(jīng)過O點(diǎn)的時(shí)間是1/4周期，第二次經(jīng)過O點(diǎn)是3/4周期，設(shè)其周期T，所以有：t=3T/4,T=4t/3;

　　 振子第一次到O點(diǎn)的時(shí)間為；振子第二次到點(diǎn)的時(shí)間為；振子第三次到O點(diǎn)的時(shí)間為……第n次到O點(diǎn)的時(shí)間為(n＝0．1,2,3……)

C處小球欲與振子相碰，它和振子運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)該是相等的；小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，所以有

3.特點(diǎn)：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象是正弦(或余弦)曲線．

2.坐標(biāo)系：以橫軸表示時(shí)間，縱軸表示位移，用平滑曲線連接各時(shí)刻對(duì)應(yīng)的位移末端即得

1.物理意義：表示振動(dòng)物體(或質(zhì)點(diǎn))的位移隨時(shí)間變化的規(guī)律．

說明:簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的位移、回復(fù)力、加速度、速度都隨時(shí)間做周期性變化(正弦或余弦函數(shù))，變化周期為T，振子的動(dòng)能、勢(shì)能也做周期性變化，周期為 T／2。

①凡離開平衡位置的過程，v、E_k均減小，x、F、a、E_P均增大；凡向平衡位置移動(dòng)時(shí)，v、E_k均增大, x、F、a、E_P均減小.

②振子運(yùn)動(dòng)至平衡位置時(shí)，x、F、a為零，E_P最小，v、E_k最大；當(dāng)在最大位移時(shí)，x、F、a、E_P最大，v、E_k最為零；

③在平衡位置兩側(cè)的對(duì)稱點(diǎn)上,x、F、a、v、E_k、E_P的大小均相同．

[例3]如圖所示，一彈簧振子在振動(dòng)過程中，經(jīng)a、b兩點(diǎn)的速度相同，若它從a到b歷時(shí)0．2s，從b再回到a的最短時(shí)間為0．4s，則該振子的振動(dòng)頻率為(　　 )。

　　 (A)1Hz；(B)1.25Hz　 (C)2Hz；(D) 2．5Hz

　 解析：振子經(jīng)a、b兩點(diǎn)速度相同，根據(jù)彈簧振子的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，不難判斷a、b兩點(diǎn)對(duì)平衡位置(O點(diǎn))一定是對(duì)稱的，振子由b經(jīng)O到a所用的時(shí)間也是0．2s，由于“從b再回到a的最短時(shí)間是0．4s，”說明振子運(yùn)動(dòng)到b后是第一次回到a點(diǎn)，且Ob不是振子的最大位移。設(shè)圖中的c、d為最大位移處，則振子從b→c→b歷時(shí)0．2s，同理，振子從a→d→a，也歷時(shí)0．2s，故該振子的周期T＝0．8s，根據(jù)周期和頻率互為倒數(shù)的關(guān)系，不難確定該振子的振動(dòng)頻率為1．25Hz�！　� 綜上所述，本題應(yīng)選擇(B)。

4、在水平方向上振動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧的彈力；在豎直方向上振動(dòng)的彈簧振子的回復(fù)力是彈簧彈力和重力的合力。

[例2]如圖所示，在質(zhì)量為M的無下底的木箱頂部用一輕彈簧懸掛質(zhì)量均為m(M≥m)的D、B兩物體．箱子放在水平地面上，平衡后剪斷D、B間的連線，此后D將做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，木箱對(duì)地壓力為(　　　　 )

　　 A、Mg； B．(M－m)g； C、(M+m)g ；　 D、(M+2m)g

[解析]當(dāng)剪斷D、B間的連線后，物體D與彈簧一起可當(dāng)作彈簧振子，它們將作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，其平衡位置就是當(dāng)彈力與D的重力相平衡時(shí)的位置．初始運(yùn)動(dòng)時(shí)D的速度為零，故剪斷D、B連線瞬間D相對(duì)以后的平衡位置的距離就是它的振幅，彈簧在沒有剪斷D、B連線時(shí)的伸長(zhǎng)量為x₁＝2 mg／k，在振動(dòng)過程中的平衡位置時(shí)的伸長(zhǎng)量為x₂＝mg／k，故振子振動(dòng)過程中的振幅為A＝x₂－x₁= mg／k

　　 D物在運(yùn)動(dòng)過程中，能上升到的最大高度是離其平衡位移為A的高度，由于D振動(dòng)過程中的平衡位置在彈簧自由長(zhǎng)度以下mg／k處，剛好彈簧的自由長(zhǎng)度處就是物D運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，說明了當(dāng)D運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，D對(duì)彈簧無作用力，故木箱對(duì)地的壓力為木箱的重力Mg．

點(diǎn)評(píng)：一般說來，彈簧振子在振動(dòng)過程中的振幅的求法均是先找出其平衡位置，然后找出當(dāng)振子速度為零時(shí)的位置，這兩個(gè)位置間的距離就是振幅．本題側(cè)重在彈簧振子運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性．解答本題還可以通過求D物運(yùn)動(dòng)過程中的最大加速度，它在最高點(diǎn)具有向下的最大加速度，說明了這個(gè)系統(tǒng)有部分失重，從而確定木箱對(duì)地面的壓力