1．平面概述

(1)平面的兩個(gè)特征：①無(wú)限延展　 ②平的(沒(méi)有厚度)

(2)平面的畫(huà)法：通常畫(huà)平行四邊形來(lái)表示平面

(3)平面的表示：用一個(gè)小寫(xiě)的希臘字母、、等表示，如平面、平面；用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母表示，如平面AC。

立體幾何在高考中占據(jù)重要的地位，通過(guò)近幾年的高考情況分析，考察的重點(diǎn)及難點(diǎn)穩(wěn)定，高考始終把直線(xiàn)與直線(xiàn)、直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的性質(zhì)和判定作為考察重點(diǎn)。在難度上也始終以中等偏難為主，在新課標(biāo)教材中將立體幾何要求進(jìn)行了降低，重點(diǎn)在對(duì)圖形及幾何體的認(rèn)識(shí)上，實(shí)現(xiàn)平面到空間的轉(zhuǎn)化，示知識(shí)深化和拓展的重點(diǎn)，因而在這部分知識(shí)點(diǎn)上命題，將是重中之重。

預(yù)測(cè)2007年高考將以多面體為載體直接考察線(xiàn)面位置關(guān)系：

(1)考題將會(huì)出現(xiàn)一個(gè)選擇題、一個(gè)填空題和一個(gè)解答題；

(2)在考題上的特點(diǎn)為：熱點(diǎn)問(wèn)題為平面的基本性質(zhì)，考察線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面和面面關(guān)系的論證，此類(lèi)題目將以客觀(guān)題和解答題的第一步為主。

2．空間中的平行關(guān)系

以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)直觀(guān)感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線(xiàn)面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。通過(guò)直觀(guān)感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理：

◆平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行；

◆一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；

通過(guò)直觀(guān)感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明：

◆一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)該直線(xiàn)的任一個(gè)平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行；

◆兩個(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線(xiàn)相互平行；

◆垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行

能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。

1．平面的基本性質(zhì)與推論

借助長(zhǎng)方體模型，在直觀(guān)認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線(xiàn)、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為推理依據(jù)的公理和定理：

◆公理1：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)；

◆公理2：過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；

◆公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)；

◆公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)平行；

◆定理：空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

5. 兩點(diǎn)的球面距離：

球面上兩點(diǎn)之間的最短距離，就是經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的一段劣弧的長(zhǎng)度，我們把這個(gè)弧長(zhǎng)叫做兩點(diǎn)的球面距離

兩點(diǎn)的球面距離公式：(其中R為球半徑，為A,B所對(duì)應(yīng)的球心角的弧度數(shù))

4．經(jīng)度、緯度：

經(jīng)線(xiàn)：球面上從北極到南極的半個(gè)大圓；

緯線(xiàn)：與赤道平面平行的平面截球面所得的小圓；

經(jīng)度：某地的經(jīng)度就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的經(jīng)線(xiàn)與地軸確定的半平面與經(jīng)線(xiàn)及軸確定的半平面所成的二面角的度數(shù)。

緯度：某地的緯度就是指過(guò)這點(diǎn)的球半徑與赤道平面所成角的度數(shù)。

3．圓錐軸截面兩腰的夾角叫圓錐的頂角.

①如圖，圓錐的頂角為β，母線(xiàn)與下底面所成角為α，母線(xiàn)為l，高為h，底面半徑為r，則

　　　　　　　　 sinα=cos = ，

α+=90°　

　　　　　　　　 cosα=sin = .

②圓臺(tái)　 如圖，圓臺(tái)母線(xiàn)與下底面所成角為α，母線(xiàn)為l，高為h，上、下底面半徑分別為r ′、r，則h=lsinα，r-r′=lcosα。

③球的截面

用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是圓面.

(1)過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的大圓；不經(jīng)過(guò)球心的截面截得的圓叫做球的小圓；

(2)球心與截面圓圓心的連線(xiàn)垂直于截面；

(3)球心和截面距離d,球半徑R，截面半徑r有關(guān)系：

r=.

2．直角四面體的性質(zhì)　 有一個(gè)三面角的各個(gè)面角都是直角的四面體叫做直角四面體.直角四面 體有下列性質(zhì)：

如圖，在直角四面體AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。

則：①不含直角的底面ABC是銳角三角形；

②直角頂點(diǎn)O在底面上的射影H是△ABC的垂心；

③體積　　 V=abc；

④底面△_ABC=；

⑤S²_△ABC=S_△BHC·S_△ABC；

⑥S²_△BOC=S²_△AOB+S²_△AOC=S²_△ABC

⑦=++;

⑧外切球半徑　　 R=；

⑨內(nèi)切球半徑　 r=

1．正四面體的性質(zhì)　 設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則這個(gè)正四面體的

(1)全面積：S_全=a²；

(2)體積：V=a³；

(3)對(duì)棱中點(diǎn)連線(xiàn)段的長(zhǎng)：d=a；

(4)內(nèi)切球半徑：r=a；

(5)外接球半徑　　　 R=a；

(6)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為定值(等于正四面體的高)。

即l²=16

所以l=4(cm)。

點(diǎn)評(píng)：涉及棱柱面積問(wèn)題的題目多以直棱柱為主，而直棱柱中又以正方體、長(zhǎng)方體的表面積多被考察。我們平常的學(xué)習(xí)中要多建立一些重要的幾何要素(對(duì)角線(xiàn)、內(nèi)切)與面積、體積之間的關(guān)系。

例2．如圖1所示，在平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=5，AD=4，AA₁=3，AB⊥AD，∠A₁AB=∠A₁AD=。

(1)求證：頂點(diǎn)A₁在底面ABCD上的射影O在∠BAD的平分線(xiàn)上；

(2)求這個(gè)平行六面體的體積。

圖1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 圖2

解析：(1)如圖2，連結(jié)A₁O，則A₁O⊥底面ABCD。作OM⊥AB交AB于M，作ON⊥AD交AD于N，連結(jié)A₁M，A₁N。由三垂線(xiàn)定得得A₁M⊥AB，A₁N⊥AD�！摺螦₁AM=∠A₁AN，

∴Rt△A₁NA≌Rt△A₁MA,∴A₁M=A₁N，

從而OM=ON。

∴點(diǎn)O在∠BAD的平分線(xiàn)上。

(2)∵AM=AA₁cos=3×=

∴AO==。

又在Rt△AOA₁中，A₁O²=AA₁² – AO²=9－=，

∴A₁O=，平行六面體的體積為。

題型2：柱體的表面積、體積綜合問(wèn)題

例3．(2000全國(guó)，3)一個(gè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是，這個(gè)長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)是(　　 )

A．2　 　　　　 　B．3　 　　　　　　　 　　C．6　　 　　　　　　　 　D．

解析：設(shè)長(zhǎng)方體共一頂點(diǎn)的三邊長(zhǎng)分別為a=1，b＝，c＝，則對(duì)角線(xiàn)l的長(zhǎng)為l=；答案D。

點(diǎn)評(píng)：解題思路是將三個(gè)面的面積轉(zhuǎn)化為解棱柱面積、體積的幾何要素-棱長(zhǎng)。

例4．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，若E、F分別為AB、AC 的中點(diǎn)，平面EB₁C₁將三棱柱分成體積為V₁、V₂的兩部分，那么V₁∶V₂= ____　　 _。

解：設(shè)三棱柱的高為h，上下底的面積為S，體積為V，則V=V₁+V₂＝Sh。

∵E、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，

∴S_△AEF=S,

V₁=h(S+S+)=Sh

V₂=Sh-V₁=Sh，

∴V₁∶V₂=7∶5。

點(diǎn)評(píng)：解題的關(guān)鍵是棱柱、棱臺(tái)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，建立起求解體積的幾何元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。最后用統(tǒng)一的量建立比值得到結(jié)論即可。

題型3：錐體的體積和表面積

例5．(2006上海，19)在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60，對(duì)角線(xiàn)AC與BD相交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成的角為60，求四棱錐P－ABCD的體積？

解：(1)在四棱錐P-ABCD中，由PO⊥平面ABCD,得∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，∠PBO=60°。

在Rt△AOB中BO=ABsin30°=1, 由PO⊥BO，

于是PO=BOtan60°=，而底面菱形的面積為2。

∴四棱錐P－ABCD的體積V=×2×=2。

點(diǎn)評(píng)：本小題重點(diǎn)考查線(xiàn)面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱錐的體積。在能力方面主要考查空間想象能力。

例6．(2002京皖春文，19)在三棱錐S-ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，且AC=BC=5，SB=5。(如圖所示)

(Ⅰ)證明：SC⊥BC；

(Ⅱ)求側(cè)面SBC與底面ABC所成二面角的大小；

(Ⅲ)求三棱錐的體積V_S－ABC。

解析：(Ⅰ)證明：∵∠SAB=∠SAC=90°，

∴SA⊥AB，SA⊥AC。

又AB∩AC=A，

∴SA⊥平面ABC。

由于∠ACB=90°，即BC⊥AC，由三垂線(xiàn)定理，得SC⊥BC。

(Ⅱ)解：∵BC⊥AC，SC⊥BC。

∴∠SCA是側(cè)面SCB與底面ABC所成二面角的平面角。

在Rt△SCB中，BC=5，SB=5，得SC==10。

在Rt△SAC中AC=5，SC=10，cosSCA=，

∴∠SCA=60°，即側(cè)面SBC與底面ABC所成的二面角的大小為60°。

(Ⅲ)解：在Rt△SAC中，

∵SA=，

S_△ABC=·AC·BC=×5×5=，

∴V_S－ABC=·S_△ACB·SA=。

點(diǎn)評(píng)：本題比較全面地考查了空間點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置關(guān)系。要求對(duì)圖形必須具備一定的洞察力，并進(jìn)行一定的邏輯推理。

題型4：錐體體積、表面積綜合問(wèn)題

例7．ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，GB垂直于正方形ABCD所在的平面，且GC＝2，求點(diǎn)B到平面EFC的距離？

解：如圖，取EF的中點(diǎn)O，連接GB、GO、CD、FB構(gòu)造三棱錐B－EFG。

設(shè)點(diǎn)B到平面EFG的距離為h，BD＝，EF，CO＝。

　　 。

而GC⊥平面ABCD，且GC＝2。

由，得·

點(diǎn)評(píng)：該問(wèn)題主要的求解思路是將點(diǎn)面的距離問(wèn)題轉(zhuǎn)化為體積問(wèn)題來(lái)求解。構(gòu)造以點(diǎn)B為頂點(diǎn)，△EFG為底面的三棱錐是解此題的關(guān)鍵，利用同一個(gè)三棱錐的體積的唯一性列方程是解這類(lèi)題的方法，從而簡(jiǎn)化了運(yùn)算。

例8．(2006江西理，12)如圖，在四面體ABCD中，截面AEF經(jīng)過(guò)四面體的內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切的球)球心O，且與BC，DC分別截于E、F，如果截面將四面體分成體積相等的兩部分，設(shè)四棱錐A－BEFD與三棱錐A－EFC的表面積分別是S₁，S₂，則必有(　 )

A．S₁<S₂ B．S₁>S₂

C．S₁=S₂ D．S₁，S₂的大小關(guān)系不能確定

解：連OA、OB、OC、OD，

則V_A－BEFD＝V_O－ABD+V_O－ABE+V_O－BEFD

V_A－EFC＝V_O－ADC+V_O－AEC+V_O－EFC又V_A－BEFD＝V_A－EFC，

而每個(gè)三棱錐的高都是原四面體的內(nèi)切球的半徑，故S_ABD+S_ABE+S_BEFD＝S_ADC+S_AEC+S_EFC又面AEF公共，故選C

點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)復(fù)合平面圖形的分割過(guò)程，增加了題目處理的難度，求解棱錐的體積、表面積首先要轉(zhuǎn)化好平面圖形與空間幾何體之間元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

題型5：棱臺(tái)的體積、面積及其綜合問(wèn)題

例9．(2002北京理，18)如圖9-24，在多面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，上、下底面平行且均為矩形，相對(duì)的側(cè)面與同一底面所成的二面角大小相等，側(cè)棱延長(zhǎng)后相交于E，F兩點(diǎn)，上、下底面矩形的長(zhǎng)、寬分別為c，d與a，b，且a＞c，b＞d，兩底面間的距離為h。

(Ⅰ)求側(cè)面ABB₁A₁與底面ABCD所成二面角的大��；

(Ⅱ)證明：EF∥面ABCD；

(Ⅲ)在估測(cè)該多面體的體積時(shí)，經(jīng)常運(yùn)用近似公式V_估=S_中截面·h來(lái)計(jì)算.已知它的體積公式是V=(S_上底面+4S_中截面+S_下底面)，試判斷V_估與V的大小關(guān)系，并加以證明。

(注：與兩個(gè)底面平行，且到兩個(gè)底面距離相等的截面稱(chēng)為該多面體的中截面)

(Ⅰ)解：過(guò)B₁C₁作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，過(guò)B₁作B₁G⊥PQ，垂足為G。

如圖所示：∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，∠A₁B₁C₁=90°，

∴AB⊥PQ，AB⊥B₁P.

∴∠B₁PG為所求二面角的平面角.過(guò)C₁作C₁H⊥PQ，垂足為H.由于相對(duì)側(cè)面與底面所成二面角的大小相等，故四邊形B₁PQC₁為等腰梯形。

∴PG=(b－d)，又B₁G=h，∴tanB₁PG=(b＞d)，

∴∠B₁PG=arctan，即所求二面角的大小為arctan.

(Ⅱ)證明：∵AB，CD是矩形ABCD的一組對(duì)邊，有AB∥CD，

又CD是面ABCD與面CDEF的交線(xiàn)，

∴AB∥面CDEF。

∵EF是面ABFE與面CDEF的交線(xiàn)，

∴AB∥EF。

∵AB是平面ABCD內(nèi)的一條直線(xiàn)，EF在平面ABCD外，

∴EF∥面ABCD。

(Ⅲ)V_估＜V。

證明：∵a＞c，b＞d，

∴V－V_估=

=［2cd+2ab+2(a+c)(b+d)－3(a+c)(b+d)］

=(a－c)(b－d)＞0。

∴V_估＜V。

點(diǎn)評(píng)：該題背景較新穎，把求二面角的大小與證明線(xiàn)、面平行這一常規(guī)運(yùn)算置于非規(guī)則幾何體(擬柱體)中，能考查考生的應(yīng)變能力和適應(yīng)能力，而第三步研究擬柱體的近似計(jì)算公式與可精確計(jì)算體積的辛普生公式之間計(jì)算誤差的問(wèn)題，是極具實(shí)際意義的問(wèn)題。考查了考生繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能。

例10．(1)(1998全國(guó)，9)如果棱臺(tái)的兩底面積分別是S、S′，中截面的面積是S₀，那么(　 　)

A．　 B．　 C．2S₀＝S+S′　 D．S₀²＝2S′S

(2)(1994全國(guó)，7)已知正六棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2和4，高為2，則其體積為(　　 )

A．32　 　　　　　　 　B．28 　　　　 　　C．24　　 　　　　　　 　D．20

解析：(1)解析：設(shè)該棱臺(tái)為正棱臺(tái)來(lái)解即可，答案為A；

(2)正六棱臺(tái)上下底面面積分別為：S_上＝6··2²＝6，S_下＝6··4²＝24，V_臺(tái)＝，答案B。

點(diǎn)評(píng)：本題考查棱臺(tái)的中截面問(wèn)題。根據(jù)選擇題的特點(diǎn)本題選用“特例法”來(lái)解，此種解法在解選擇題時(shí)很普遍，如選用特殊值、特殊點(diǎn)、特殊曲線(xiàn)、特殊圖形等等。

題型6：圓柱的體積、表面積及其綜合問(wèn)題

例11．(2000全國(guó)理，9)一個(gè)圓柱的側(cè)面積展開(kāi)圖是一個(gè)正方形，這個(gè)圓柱的全面積與側(cè)面積的比是(　　 )

A． 　　　　　　 　B．　　　　　 C．　 　　　　　 　D．

解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，則由題設(shè)知h=2πr.

∴S_全=2πr²+(2πr)²=2πr²(1+2π).S_側(cè)=h²=4π²r²，

∴。答案為A。

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖、側(cè)面積和全面積等知識(shí)。

例12．(2003京春理13，文14)如圖9-9，一個(gè)底面半徑為R的圓柱形量杯中裝有適量的水.若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球，水面高度恰好升高r，則=　　　　 。

解析：水面高度升高r，則圓柱體積增加πR²·r。恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積，因此有πr³=πR²r。故。答案為。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)知識(shí)以及計(jì)算能力和分析、解決問(wèn)題的能力。

題型7：圓錐的體積、表面積及綜合問(wèn)題

例13．(1)(2002京皖春，7)在△ABC中，AB=2，BC=1.5，∠ABC=120°(如圖所示)，若將△ABC繞直線(xiàn)BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積是(　　 )

A．π　 　　　　　　 B．π　　　　　　　 C．π　 　　　　　 D．π

(2)(2001全國(guó)文，3)若一個(gè)圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為，則這個(gè)圓錐的全面積是(　　 )

A．3π　　 　　　　　　　 B．3π　 　　　　　　　　　　 C．6π　　 　　　　　　　　 D．9π

解析：(1)如圖所示，該旋轉(zhuǎn)體的體積為圓錐C-ADE與圓錐B-ADE體積之差，又∵求得AB=1。

∴，答案D。

(2)∵S＝absinθ，∴a²sin60°＝，

∴a²＝4，a＝2，a=2r，

∴r＝1，S_全＝2πr+πr²＝2π+π＝3π，答案A。

點(diǎn)評(píng)：通過(guò)識(shí)圖、想圖、畫(huà)圖的角度考查了空間想象能力。而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向。

例14．(2000全國(guó)文，12)如圖所示，OA是圓錐底面中心O到母線(xiàn)的垂線(xiàn)，OA繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得曲面將圓錐分成相等的兩部分，則母線(xiàn)與軸的夾角的余弦值為(　　 )

A．　　 　 　　 　　　　B．　　　　　　　 C．　　　　 　　　 　 D．

解析：如圖所示，由題意知，πr²h＝πR²h，

∴r＝．　 又△ABO∽△CAO，

∴，∴OA²＝r·R＝，

∴cosθ＝，答案為D。

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查柱體、錐體的體積公式及靈活的運(yùn)算能力。

題型8：球的體積、表面積

例15．已知過(guò)球面上三點(diǎn)的截面和球心的距離為球半徑的一半，且，求球的表面積。

解：設(shè)截面圓心為，連結(jié)，設(shè)球半徑為，

則，

在中，，

∴，

∴，

∴。

點(diǎn)評(píng)： 正確應(yīng)用球的表面積公式，建立平面圓與球的半徑之間的關(guān)系。

例16．如圖所示，球面上有四個(gè)點(diǎn)P、A、B、C，如果PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a，求這個(gè)球的表面積。

解析：如圖，設(shè)過(guò)A、B、C三點(diǎn)的球的截面圓半徑為r，圓心為O′，球心到該圓面的距離為d。

在三棱錐P-ABC中，∵PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA=PB=PC=a,

∴AB=BC=CA=a,且P在△ABC內(nèi)的射影即是△ABC的中心O′。

由正弦定理，得　 =2r,∴r=a。

又根據(jù)球的截面的性質(zhì)，有OO′⊥平面ABC，而PO′⊥平面ABC，

∴P、O、O′共線(xiàn)，球的半徑R=。又PO′===a，

∴OO′=R － a=d=,(R－a)²=R² – (a)²，解得R=a,

∴S_球=4πR²=3πa²。

點(diǎn)評(píng)：本題也可用補(bǔ)形法求解。將P-ABC補(bǔ)成一個(gè)正方體，由對(duì)稱(chēng)性可知，正方體內(nèi)接于球，則球的直徑就是正方體的對(duì)角線(xiàn)，易得球半徑R=a,下略。

題型9：球的面積、體積綜合問(wèn)題

例17．(2006四川文，10)如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，如果，則球的表面積是(　　 )

A．　　　 B．　　 C．　　　 D．

(2)半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，正方體的一個(gè)面在半球的底面圓內(nèi)，若正方體棱長(zhǎng)為，求球的表面積和體積。

解析：(1)如圖，正四棱錐底面的四個(gè)頂點(diǎn)在球的同一個(gè)大圓上，點(diǎn)在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，，，所以，R=2，球的表面積是，選D。

(2)作軸截面如圖所示，

，，

設(shè)球半徑為，

則

　　　　

∴，

∴，。

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查球截面的性質(zhì)以及球面積公式，解題的關(guān)鍵是將多面體的幾何要素轉(zhuǎn)化成球的幾何要素。

例18．(1)表面積為的球，其內(nèi)接正四棱柱的高是，求這個(gè)正四棱柱的表面積。

(2)正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a，球O是內(nèi)切球，球O₁是與正四面體的三個(gè)面和球O都相切的一個(gè)小球，求球O₁的體積。

解：(1)設(shè)球半徑為，正四棱柱底面邊長(zhǎng)為，

則作軸截面如圖，，，

又∵，∴，

∴，∴，

∴

(2)如圖，設(shè)球O半徑為R，球O₁的半徑為r，E為CD中點(diǎn)，球O與平面ACD、BCD切于點(diǎn)F、G，球O₁與平面ACD切于點(diǎn)H

由題設(shè)

∵　△AOF∽△AEG　　 ∴　，得

∵　△AO₁H∽△AOF　 ∴　 ，得

∴　

點(diǎn)評(píng)：正四面體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)是面的中心，球心到各面的距離相等。

題型10：球的經(jīng)緯度、球面距離問(wèn)題

例19．(1)我國(guó)首都靠近北緯緯線(xiàn)，求北緯緯線(xiàn)的長(zhǎng)度等于多少？(地球半徑大約為)

(2)在半徑為的球面上有三點(diǎn)，，求球心到經(jīng)過(guò)這三點(diǎn)的截面的距離。

解：(1)如圖，是北緯上一點(diǎn)，是它的半徑，

∴，

設(shè)是北緯的緯線(xiàn)長(zhǎng)，

∵，

∴

答：北緯緯線(xiàn)長(zhǎng)約等于．

(2)解：設(shè)經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的截面為⊙，

設(shè)球心為，連結(jié)，則平面，

∵，

∴，

所以，球心到截面距離為．

例20．在北緯圈上有兩點(diǎn)，設(shè)該緯度圈上兩點(diǎn)的劣弧長(zhǎng)為(為地球半徑)，求兩點(diǎn)間的球面距離。

解：設(shè)北緯圈的半徑為，則，設(shè)為北緯圈的圓心，，

∴，∴，

∴，∴，

∴中，，

所以，兩點(diǎn)的球面距離等于．

點(diǎn)評(píng)：要求兩點(diǎn)的球面距離，必須先求出兩點(diǎn)的直線(xiàn)距離，再求出這兩點(diǎn)的球心角，進(jìn)而求出這兩點(diǎn)的球面距離。