6．函數(shù)的單調(diào)性是在定義域或定義域的某個(gè)子區(qū)間上考慮的，要比較兩三角函數(shù)值的大小一般先將它們化歸為同一單調(diào)區(qū)間的同名函數(shù)再由該函數(shù)的單調(diào)性來(lái)比較大小。

5．求三角函數(shù)式的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為只含一個(gè)三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

4．求定義域時(shí)，若需先把式子化簡(jiǎn)，一定要注意變形時(shí)x的取值范圍不能發(fā)生變化。

3．對(duì)于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個(gè)函數(shù)的圖象。

2．作函數(shù)的圖象時(shí)，首先要確定函數(shù)的定義域。

1．?dāng)?shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)中重要的思想方法，在中學(xué)階段，對(duì)各類函數(shù)的研究都離不開圖象，很多函數(shù)的性質(zhì)都是通過觀察圖象而得到的。

題型1：三角函數(shù)的圖象

例1．(2000全國(guó)，5)函數(shù)y＝－xcosx的部分圖象是(　　 )

解析：因?yàn)楹瘮?shù)y＝－xcosx是奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以排除A、C，當(dāng)x∈(0，)時(shí)，y＝－xcosx＜0。答案為D。

例2．(2002上海，15)函數(shù)y=x+sin|x|，x∈［－π，π］的大致圖象是(　　 )

解析：由奇偶性定義可知函數(shù)y=x+sin|x|，x∈［－π，π］為非奇非偶函數(shù)。選項(xiàng)A、D為奇函數(shù)，B為偶函數(shù)，C為非奇非偶函數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)的性質(zhì)來(lái)描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。

題型2：三角函數(shù)圖象的變換

例3．試述如何由y=sin(2x+)的圖象得到y=sinx的圖象。

解析：y=sin(2x+)

另法答案：

(1)先將y=sin(2x+)的圖象向右平移個(gè)單位，得y=sin2x的圖象；

(2)再將y=sin2x上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變)，得y=sinx的圖象；

(3)再將y=sinx圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來(lái)的3倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y=sinx的圖象。

例4．(2003上海春，15)把曲線ycosx+2y－1=0先沿x軸向右平移個(gè)單位，再沿y軸向下平移1個(gè)單位，得到的曲線方程是(　　 )

A．(1－y)sinx+2y－3=0　 　　　　　　　　　　 B．(y－1)sinx+2y－3=0

C．(y+1)sinx+2y+1=0　 　　　　　　　　　　　 D．－(y+1)sinx+2y+1=0

解析：將原方程整理為：y=，因?yàn)橐獙⒃�曲線向右、向下分別移動(dòng)個(gè)單位和1個(gè)單位，因此可得y=－1為所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+1=0.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了曲線平移的基本方法及三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式。如果對(duì)平移有深刻理解，可直接化為：(y+1)cos(x－)+2(y+1)－1=0，即得C選項(xiàng)。

題型3：三角函數(shù)圖象的應(yīng)用

例5．已知電流I與時(shí)間t的關(guān)系式為。

(1)右圖是(ω＞0，)

在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求

的解析式；

(2)如果t在任意一段秒的時(shí)間內(nèi)，電流都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整數(shù)值是多少？

　解析:本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯推理能力．

(1)由圖可知 A＝300。

設(shè)t₁＝－，t₂＝，

則周期T＝2(t₂－t₁)＝2(+)＝。

∴ ω＝＝150π。

又當(dāng)t＝時(shí)，I＝0，即sin(150π·+)＝0，

而， ∴ ＝。

故所求的解析式為。

(2)依題意，周期T≤，即≤，(ω>0)

∴ ω≥300π＞942，又ω∈N^*，

故最小正整數(shù)ω＝943。

點(diǎn)評(píng):本題解答的開竅點(diǎn)是將圖形語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言．其中，讀圖、識(shí)圖、用圖是形數(shù)結(jié)合的有效途徑。

例6．(1)(2003上海春，18)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+)(A>0，ω>0，x∈R)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，求直線y=與函數(shù)f(x)圖象的所有交點(diǎn)的坐標(biāo)。

解析：根據(jù)圖象得A=2，T=π－(－)=4π，

∴ω=，∴y=2sin(+)，

又由圖象可得相位移為－，∴－=－，∴=.即y=2sin(x+)。

根據(jù)條件=2sin()，∴=2kπ+(k∈Z)或=2kπ+π(k∈Z)，

∴x=4kπ+(k∈Z)或x=4kπ+π(k∈Z)。

∴所有交點(diǎn)坐標(biāo)為(4kπ+)或(4kπ+)(k∈Z)。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。

(2)(2002全國(guó)文5，理4)在(0，2π)內(nèi)，使sinx＞cosx成立的x取值范圍為(　　 )

A．(，)∪(π，)　　　　 B．(，π)

C．(，)　　　　　　　　　　 D．(，π)∪(，)

解析：C；

解法一：作出在(0，2π)區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象，解出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)和，由圖1可得C答案。

圖1　　　　　　　　　　　 圖2

解法二：在單位圓上作出一、三象限的對(duì)角線，由正弦線、余弦線知應(yīng)選C。(如圖2)

題型4：三角函數(shù)的定義域、值域

例7．(1)已知f(x)的定義域?yàn)椋?，1］，求f(cosx)的定義域；

(2)求函數(shù)y=lgsin(cosx)的定義域；

分析：求函數(shù)的定義域：(1)要使0≤cosx≤1，(2)要使sin(cosx)＞0，這里的cosx以它的值充當(dāng)角。

解析：(1)0≤cosx＜12kπ－≤x≤2kπ+，且x≠2kπ(k∈Z)。

∴所求函數(shù)的定義域?yàn)閧x｜x∈［2kπ－，2kπ+］且x≠2kπ，k∈Z}。

(2)由sin(cosx)＞02kπ＜cosx＜2kπ+π(k∈Z)。

又∵－1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1。

故所求定義域?yàn)閧x｜x∈(2kπ－，2kπ+)，k∈Z}。

點(diǎn)評(píng)：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數(shù)線。

例8．(2003京春，18)已知函數(shù)f(x)=，求f(x)的定義域，判斷它的奇偶性，并求其值域。

解析：由cos2x≠0得2x≠kπ+，解得x≠，k∈Z，所以f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R且x≠，k∈Z}，

因?yàn)?i>f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

且f(－x)==f(x)。

所以f(x)是偶函數(shù)。

又當(dāng)x≠(k∈Z)時(shí)，

f(x)=。

所以f(x)的值域?yàn)閧y|－1≤y<或<y≤2}。

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。

題型5：三角函數(shù)的單調(diào)性

例9．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(1)y=sin(－)；(2)y=－｜sin(x+)｜。

分析：(1)要將原函數(shù)化為y=－sin(x－)再求之。

(2)可畫出y=－|sin(x+)|的圖象。

解：(1)y=sin(－)=－sin(－)。

故由2kπ－≤－≤2kπ+。

3kπ－≤x≤3kπ+(k∈Z)，為單調(diào)減區(qū)間；

由2kπ+≤－≤2kπ+。

3kπ+≤x≤3kπ+(k∈Z)，為單調(diào)增區(qū)間。

∴遞減區(qū)間為［3kπ－，3kπ+］，

遞增區(qū)間為［3kπ+，3kπ+］(k∈Z)。

(2)y=－|sin(x+)|的圖象的增區(qū)間為［kπ+，kπ+］，減區(qū)間為［kπ－，kπ+］。

例10．(2002京皖春文，9)函數(shù)y=2^sinx的單調(diào)增區(qū)間是(　　 )

A．［2kπ－，2kπ+］(k∈Z)

B．［2kπ+，2kπ+］(k∈Z)

C．［2kπ－π，2kπ］(k∈Z)

D．［2kπ，2kπ+π］(k∈Z)

解析：A；函數(shù)y=2^x為增函數(shù)，因此求函數(shù)y=2^sinx的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)y=sinx的單調(diào)增區(qū)間。

題型6：三角函數(shù)的奇偶性

例11．判斷下面函數(shù)的奇偶性：f(x)=lg(sinx+)。

分析：判斷奇偶性首先應(yīng)看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，然后再看f(x)與f(－x)的關(guān)系。

解析：定義域?yàn)镽，又f(x)+f(－x)=lg1=0，

即f(－x)=－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)。

點(diǎn)評(píng)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要(但不充分)條件。

例12．(2001上海春)關(guān)于x的函數(shù)f(x)=sin(x+)有以下命題：

①對(duì)任意的，f(x)都是非奇非偶函數(shù)；

②不存在，使f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；

③存在，使f(x)是奇函數(shù)；

④對(duì)任意的，f(x)都不是偶函數(shù)。

其中一個(gè)假命題的序號(hào)是_____.因?yàn)楫?dāng)=_____時(shí)，該命題的結(jié)論不成立。

答案：①，kπ(k∈Z)；或者①，+kπ(k∈Z)；或者④，+kπ(k∈Z)

解析：當(dāng)=2kπ，k∈Z時(shí)，f(x)=sinx是奇函數(shù)。當(dāng)=2(k+1)π，k∈Z時(shí)f(x)=－sinx仍是奇函數(shù)。當(dāng)=2kπ+，k∈Z時(shí)，f(x)=cosx，或當(dāng)=2kπ－，k∈Z時(shí)，f(x)=－cosx，f(x)都是偶函數(shù).所以②和③都是正確的。無(wú)論為何值都不能使f(x)恒等于零。所以f(x)不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。①和④都是假命題。

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式以及分析問題的能力，注意k∈Z不能不寫，否則不給分，本題的答案不惟一，兩個(gè)空全答對(duì)才能得分。

題型7：三角函數(shù)的周期性

例13．求函數(shù)y=sin⁶x+cos⁶x的最小正周期，并求x為何值時(shí)，y有最大值。

分析：將原函數(shù)化成y=Asin(ωx+)+B的形式，即可求解。

解析：y=sin⁶x+cos⁶x=(sin²x+cos²x)(sin⁴x－sin²xcos²x+cos⁴x)

=1－3sin²xcos²x=1－sin²2x=cos4x+。

∴T=。

當(dāng)cos4x=1，即x=(k∈Z)時(shí)，y_max=1。

例14．設(shè)的周期，最大值，

(1)求、、的值；

(2)。

解析：(1) ， ， ，

又 的最大值。

， �、佟� ，且 ②，

由 ①、②解出　 a=2 ,　 b=3.

(2) ， ，

　，　

，　 或　 ，　

即　 　( 共線，故舍去) ，　 或　 ，

　 。

點(diǎn)評(píng)：方程組的思想是解題時(shí)常用的基本思想方法；在解題時(shí)不要忘記三角函數(shù)的周期性。

題型8：三角函數(shù)的最值

例15．(2003京春文，2)設(shè)M和m分別表示函數(shù)y=cosx－1的最大值和最小值，則M+m等于(　　 )

A．　　　　　　　 B．－　　　　　 　C．－　　　　　　　 D．－2

解析：D；因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=cosx的最大值、最小值分別為1和－1。所以y=cosx－1的最大值、最小值為－和－。因此M+m=－2。

例16．(2000京、皖春理，10)函數(shù)y＝的最大值是(　　 )

A．－1　　 　　　　　 B．+1 　　　　　　　 C．1－　　 　　　　　 D．－1－

解析：B；。

9．五點(diǎn)法作y=Asin(ωx+)的簡(jiǎn)圖：

五點(diǎn)取法是設(shè)x=ωx+，由x取0、、π、、2π來(lái)求相應(yīng)的x值及對(duì)應(yīng)的y值，再描點(diǎn)作圖。

8．求三角函數(shù)的周期的常用方法：

經(jīng)過恒等變形化成“、”的形式，在利用周期公式，另外還有圖像法和定義法。

7．求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意A、的正負(fù)利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；