2．與直線、圓錐曲線相結合的綜合型考題，等軸雙曲線基本不出題，坐標軸平移或平移化簡方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現。

近幾年來直線與圓錐曲線的位置關系在高考中占據高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關直線與圓錐曲線的位置關系的題目可能會涉及線段中點、弦長等。分析這類問題，往往利用數形結合的思想和“設而不求”的方法，對稱的方法及韋達定理等。

預測07年高考：

1．會出現1道關于直線與圓錐曲線的位置關系的解答題；

2．掌握直線與圓錐曲線的位置關系判定及其相關問題。

1．通過圓錐曲線與方程的學習，進一步體會數形結合的思想；

在復習過程中抓住以下幾點：

(1)堅持源于課本、高于課本，以考綱為綱的原則。高考命題的依據是《高考說明》.并明確考點及對知識點與能力的要求作出了明確規(guī)定，其實質是精通課本，而本章考題大多數是課本的變式題，即源于課本，因此掌握雙基、精通課本是關鍵；

(2)在注重解題方法、數學思想的應用的同時注意一些解題技巧，橢圓、雙曲線、拋物線的定義揭示了各自存在的條件、性質及幾何特征與圓錐曲線的焦點、焦半徑、準線、離心率有關量的關系問題，若能用定義法，可避免繁瑣的推理與運算；

(3)焦半徑公式：拋物線上一點P(x₁，y₁)，F為拋物線的焦點，對于四種拋物線的焦半徑公式分別為(p＞0)：

題型1：橢圓的概念及標準方程

例1．求適合下列條件的橢圓的標準方程：

(1)兩個焦點的坐標分別是、，橢圓上一點到兩焦點距離的和等于；

(2)兩個焦點的坐標分別是、，并且橢圓經過點；

(3)焦點在軸上，，；

(4)焦點在軸上，，且過點；

(5)焦距為，；

(6)橢圓經過兩點，。

解析：(1)∵橢圓的焦點在軸上，故設橢圓的標準方程為()，

∵，，∴，

所以，橢圓的標準方程為。

(2)∵橢圓焦點在軸上，故設橢圓的標準方程為()，

由橢圓的定義知，

，

∴，又∵，∴，

所以，橢圓的標準方程為。

(3)∵，∴，①

又由代入①得，

∴，∴，又∵焦點在軸上，

所以，橢圓的標準方程為。

(4)設橢圓方程為，

　∴，∴，

　又∵，∴，

所以，橢圓的標準方程為．

(5)∵焦距為，∴，

　∴，又∵，∴，，

所以，橢圓的標準方程為或．

(6)設橢圓方程為()，

　由得，

所以，橢圓方程為．

點評：求橢圓的方程首先清楚橢圓的定義，還要知道橢圓中一些幾何要素與橢圓方程間的關系。

例2．(1)(06山東)已知橢圓中心在原點，一個焦點為F(－2，0)，且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是 　　　　　　　　　　　　　　。

(2)(06天津理，8)橢圓的中心為點，它的一個焦點為，相應于焦點的準線方程為，則這個橢圓的方程是(　)

A．　　　 　　　　　　 　　 B．

C．　　　　　 　　　　　　 　　 D．

解析：(1)已知為所求；

(2)橢圓的中心為點它的一個焦點為

∴　 半焦距，相應于焦點F的準線方程為

∴ ，，則這個橢圓的方程是，選D。

點評：求橢圓方程的題目屬于中低檔題目，掌握好基礎知識就可以。

題型2：橢圓的性質

例3．(1)(06山東理，7)在給定橢圓中，過焦點且垂直于長軸的弦長為，焦點到相應準線的距離為1，則該橢圓的離心率為(　　 )

(A)　　　　　 (B)　　　　　　 (C)　 　　　　　　　　(D)

(2)(1999全國，15)設橢圓=1(a＞b＞0)的右焦點為F₁，右準線為l₁，若過F₁且垂直于x軸的弦的長等于點F₁到l₁的距離，則橢圓的離心率是　　　　 。

解析：(1)不妨設橢圓方程為(a>b>0)，則有，據此求出e＝，選B。

(2)；解析：由題意知過F₁且垂直于x軸的弦長為，

∴，∴，∴，即e=。

點評：本題重點考查了橢圓的基本性質。

例4．(1)(2000京皖春，9)橢圓短軸長是2，長軸是短軸的2倍，則橢圓中心到其準線距離是(　　 )

A.　　　　 　　　　　　　 B.　　　 　　　　　 C. 　　　　　　　　　　 D.

(2)(1998全國理，2)橢圓=1的焦點為F₁和F₂，點P在橢圓上.如果線段PF₁的中點在y軸上，那么|PF₁|是|PF₂|的(　　 )

A.7倍　　　 　　　 　B.5倍　　　　 　　　　　 C.4倍　　 　　　　　 　　D.3倍

解析：(1)D；由題意知a=2，b=1，c=，準線方程為x=±，

∴橢圓中心到準線距離為．

(2)A；不妨設F₁(－3，0)，F₂(3，0)由條件得P(3，±)，即|PF₂|=，|PF₁|=，因此|PF₁|=7|PF₂|，故選A。

點評：本題主要考查橢圓的定義及數形結合思想，具有較強的思辨性，是高考命題的方向。

題型3：雙曲線的方程

例5．(1)已知焦點，雙曲線上的一點到的距離差的絕對值等于，求雙曲線的標準方程；

(2)求與橢圓共焦點且過點的雙曲線的方程；

(3)已知雙曲線的焦點在軸上，并且雙曲線上兩點坐標分別為，求雙曲線的標準方程。

解析：(1)因為雙曲線的焦點在軸上，所以設它的標準方程為，

∵，∴，∴。

所以所求雙曲線的方程為；

(2)橢圓的焦點為，可以設雙曲線的方程為，則。

又∵過點，∴。

綜上得，，所以。

點評：雙曲線的定義；方程確定焦點的方法；基本量之間的關系。

(3)因為雙曲線的焦點在軸上，所以設所求雙曲線的標準方程為①；

∵點在雙曲線上，∴點的坐標適合方程①。

將分別代入方程①中，得方程組：

將和看著整體，解得，

∴即雙曲線的標準方程為。

點評：本題只要解得即可得到雙曲線的方程，沒有必要求出的值；在求解的過程中也可以用換元思想，可能會看的更清楚。

例6．(06上海卷)已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,且焦距與虛軸長之比為，則雙曲線的標準方程是____________________.

解析：雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,則焦點在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長之比為，即，解得，則雙曲線的標準方程是；

點評：本題主要考查雙曲線的基礎知識以及綜合運用知識解決問題的能力。充分挖掘雙曲線幾何性質，數形結合，更為直觀簡捷。

題型4：雙曲線的性質

例7．(1)(06福建卷)已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是(　 )

A.( 1,2)　　　　　 B. (1,2)　　　　　 C.[2,+∞]　　 　　　D.(2,+∞)

(2)(06湖南卷)過雙曲線M:的左頂點A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是 (　 )

A.　　　　　 B.　　　　　 C.　　　　　　 D.

(3)(06陜西卷)已知雙曲線 － =1(a>)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為(　 )

A.2　　　　　　　 B.　　　　　　　 C.　　　　　　　　 D.

解析：(1)雙曲線的右焦點為F，若過點F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則該直線的斜率的絕對值小于等于漸近線的斜率，

∴ ≥，離心率e²=，∴ e≥2，選C。

(2)過雙曲線的左頂點(1，0)作斜率為1的直線：y=x－1, 若與雙曲線的兩條漸近線分別相交于點,　 聯立方程組代入消元得，

∴ ，x₁+x₂=2x₁x₂，

又,則B為AC中點，2x₁=1+x₂，代入解得，

∴ b₂=9，雙曲線的離心率e=，選A。

(3)雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為，則，∴ a²=6，雙曲線的離心率為 ，選D。

點評：高考題以離心率為考察點的題目較多，主要實現三元素之間的關系。

例8．(1)(06江西卷)P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓(x+5)²+y²＝4和(x－5)²+y²＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為(　 )

A. 6　　　　　　　 B.7　　　　　　　 C.8　　　 　　　　　D.9

(2)(06全國卷I)雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則

A．　　　　　　　 B．　　　　　　 C．　　　　　 D．

(3)(06天津卷)如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準線間的距離是(　　 )

A． 　　　 B．　　　 C．　　　 　　 D．

解析：(1)設雙曲線的兩個焦點分別是F₁(－5，0)與F₂(5，0)，則這兩點正好是兩圓的圓心，當且僅當點P與M、F₁三點共線以及P與N、F₂三點共線時所求的值最大，此時|PM|－|PN|＝(|PF₁|－2)－(|PF₂|－1)＝10－1＝9故選B。

(2)雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，∴ m<0，且雙曲線方程為，∴ m=，選A。

(3)如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，

∴ ，解得，所以它的兩條準線間的距離是，選C。

點評：關于雙曲線漸近線、準線及許多距離問題也是考察的重點。

題型5：拋物線方程

例9．(1))焦點到準線的距離是2；

(2)已知拋物線的焦點坐標是F(0，2)，求它的標準方程。

解析：(1)y=4x，y=4x，x=4y，x=4y；

方程是x=8y。

點評：由于拋物線的標準方程有四種形式，且每一種形式中都只含一個系數p，因此只要給出確定p的一個條件，就可以求出拋物線的標準方程。當拋物線的焦點坐標或準線方程給定以后，它的標準方程就唯一確定了；若拋物線的焦點坐標或準線方程沒有給定，則所求的標準方程就會有多解。

題型6：拋物線的性質

例10．(1)(06安徽卷)若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為(　　 )

A．　　　　　　　 B．　　 C．　　　　　　 D．

(2)(浙江卷)拋物線的準線方程是(　 )

　(A) 　　　　(B)　 　　　(C) 　　　　　　(D)

(3)(06上海春)拋物線的焦點坐標為(　　 )

(A).　　　 (B).　　　 (C).　　　 (D)

解析：(1)橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則，故選D；

(2)2p＝8，p＝4，故準線方程為x＝－2，選A；

(3)(直接計算法)因為p=2 ，所以拋物線y²=4x的焦點坐標為 。應選B。

點評：考察拋物線幾何要素如焦點坐標、準線方程的題目根據定義直接計算機即可。

例11．(1)(全國卷I)拋物線上的點到直線距離的最小值是(　 )

A．　　　　　　　 B．　　　　　 C．　　　　　　　 D．

(2)(2002全國文，16)對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：

①焦點在y軸上；

②焦點在x軸上；

③拋物線上橫坐標為1的點到焦點的距離等于6；

④拋物線的通徑的長為5；

⑤由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標為(2，1)。

(3)(2001廣東、河南，10)對于拋物線y²=4x上任意一點Q，點P(a，0)都滿足|PQ|≥|a|，則a的取值范圍是(　　 )

A.(－∞，0)　 　　　　　　　 B.(－∞，2　　　 C.［0，2］　　　　　　　　　 D.(0，2)

能使這拋物線方程為y²＝10x的條件是　　　　 ．(要求填寫合適條件的序號)

解析：(1)設拋物線上一點為(m，－m²)，該點到直線的距離為，當m=時，取得最小值為，選A；

(2)答案：②，⑤

解析：從拋物線方程易得②，分別按條件③、④、⑤計算求拋物線方程，從而確定⑤。

(3)答案：B

解析：設點Q的坐標為(，y₀)，

由 |PQ|≥|a|，得y₀²+(－a)²≥a².

整理，得：y₀²(y₀²+16－8a)≥0，

∵y₀²≥0，∴y₀²+16－8a≥0.

即a≤2+恒成立.而2+的最小值為2.

∴a≤2.選B。

點評：拋物線問題多考察一些距離、最值及范圍問題。

3．拋物線

(1)拋物線的概念

平面內與一定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線(定點F不在定直線l上)。定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線。

方程叫做拋物線的標準方程。

注意：它表示的拋物線的焦點在x軸的正半軸上，焦點坐標是F(,0)，它的準線方程是 ；

(2)拋物線的性質

一條拋物線，由于它在坐標系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，所以拋物線的標準方程還有其他幾種形式：，，.這四種拋物線的圖形、標準方程、焦點坐標以及準線方程如下表：

標準方程
圖形
焦點坐標
準線方程
范圍
對稱性	軸	軸	軸	軸
頂點
離心率

說明：(1)通徑：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦稱為通徑；(2)拋物線的幾何性質的特點：有一個頂點，一個焦點，一條準線，一條對稱軸，無對稱中心，沒有漸近線；(3)注意強調的幾何意義：是焦點到準線的距離。

2．雙曲線

(1)雙曲線的概念

平面上與兩點距離的差的絕對值為非零常數的動點軌跡是雙曲線()。

注意：①(*)式中是差的絕對值，在條件下；時為雙曲線的一支(含的一支)；時為雙曲線的另一支(含的一支)；②當時，表示兩條射線；③當時，不表示任何圖形；④兩定點叫做雙曲線的焦點，叫做焦距。

橢圓和雙曲線比較：

	橢　　　　　　　　 圓	雙　　　　 曲　　　　 線
定義
方程
焦點
注意：如何有方程確定焦點的位置！

(2)雙曲線的性質

①范圍：從標準方程，看出曲線在坐標系中的范圍：雙曲線在兩條直線的外側。即，即雙曲線在兩條直線的外側。

②對稱性：雙曲線關于每個坐標軸和原點都是對稱的，這時，坐標軸是雙曲線的對稱軸，原點是雙曲線的對稱中心，雙曲線的對稱中心叫做雙曲線的中心。

③頂點：雙曲線和對稱軸的交點叫做雙曲線的頂點。在雙曲線的方程里，對稱軸是軸，所以令得，因此雙曲線和軸有兩個交點，他們是雙曲線的頂點。

令，沒有實根，因此雙曲線和y軸沒有交點。

1)注意：雙曲線的頂點只有兩個，這是與橢圓不同的(橢圓有四個頂點)，雙曲線的頂點分別是實軸的兩個端點。

2)實軸：線段叫做雙曲線的實軸，它的長等于叫做雙曲線的實半軸長。虛軸：線段叫做雙曲線的虛軸，它的長等于叫做雙曲線的虛半軸長。

④漸近線：注意到開課之初所畫的矩形，矩形確定了兩條對角線，這兩條直線即稱為雙曲線的漸近線。從圖上看，雙曲線的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近。

⑤等軸雙曲線：

1)定義：實軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。定義式：；

2)等軸雙曲線的性質：(1)漸近線方程為： ；(2)漸近線互相垂直。

注意以上幾個性質與定義式彼此等價。亦即若題目中出現上述其一，即可推知雙曲線為等軸雙曲線，同時其他幾個亦成立。

3)注意到等軸雙曲線的特征，則等軸雙曲線可以設為： ，當時交點在軸，當時焦點在軸上。

⑥注意與的區(qū)別：三個量中不同(互換)相同，還有焦點所在的坐標軸也變了。

1．橢圓

(1)橢圓概念

平面內與兩個定點、的距離的和等于常數(大于)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫橢圓的焦距。若為橢圓上任意一點，則有。

橢圓的標準方程為：()(焦點在x軸上)或()(焦點在y軸上)。

注：①以上方程中的大小，其中；

②在和兩個方程中都有的條件，要分清焦點的位置，只要看和的分母的大小。例如橢圓(，，)當時表示焦點在軸上的橢圓；當時表示焦點在軸上的橢圓。

(2)橢圓的性質

①范圍：由標準方程知，，說明橢圓位于直線，所圍成的矩形里；

②對稱性：在曲線方程里，若以代替方程不變，所以若點在曲線上時，點也在曲線上，所以曲線關于軸對稱，同理，以代替方程不變，則曲線關于軸對稱。若同時以代替，代替方程也不變，則曲線關于原點對稱。

所以，橢圓關于軸、軸和原點對稱。這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是對稱中心，橢圓的對稱中心叫橢圓的中心；

③頂點：確定曲線在坐標系中的位置，常需要求出曲線與軸、軸的交點坐標。在橢圓的標準方程中，令，得，則，是橢圓與軸的兩個交點。同理令得，即，是橢圓與軸的兩個交點。

所以，橢圓與坐標軸的交點有四個，這四個交點叫做橢圓的頂點。

同時，線段、分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別為和，和分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。

由橢圓的對稱性知：橢圓的短軸端點到焦點的距離為；在中，，，，且，即；

④離心率：橢圓的焦距與長軸的比叫橢圓的離心率�！�，∴，且越接近，就越接近，從而就越小，對應的橢圓越扁；反之，越接近于，就越接近于，從而越接近于，這時橢圓越接近于圓。當且僅當時，，兩焦點重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。

本講內容是圓錐曲線的基礎內容，也是高考重點考查的內容，在每年的高考試卷中一般有2-3道客觀題，難度上易、中、難三檔題都有，主要考查的內容是圓錐曲線的概念和性質，從近十年高考試題看主要考察圓錐曲線的概念和性質。圓錐曲線在高考試題中占有穩(wěn)定的較大的比例，且選擇題、填空題和解答題都涉及到，客觀題主要考察圓錐曲線的基本概念、標準方程及幾何性質等基礎知識和處理有關問題的基本技能、基本方法。

對于本講內容來講，預測07年：

(1)1至2道考察圓錐曲線概念和性質客觀題，主要是求值問題；

(2)可能會考察圓錐曲線在實際問題里面的應用，結合三種形式的圓錐曲線的定義。