5．導數(shù)的應用

(1)一般地，設函數(shù)在某個區(qū)間可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內恒有，則為常數(shù)；

(2)曲線在極值點處切線的斜率為0，極值點處的導數(shù)為0；曲線在極大值點左側切線的斜率為正，右側為負；曲線在極小值點左側切線的斜率為負，右側為正；

(3)一般地，在區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f在[a，b]上必有最大值與最小值。①求函數(shù)ƒ在(a，b)內的極值； ②求函數(shù)ƒ在區(qū)間端點的值ƒ(a)、ƒ(b)； ③將函數(shù)ƒ 的各極值與ƒ(a)、ƒ(b)比較，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。

4．兩個函數(shù)的和、差、積的求導法則

法則1：兩個函數(shù)的和(或差)的導數(shù),等于這兩個函數(shù)的導數(shù)的和(或差)，

即： (

法則2：兩個函數(shù)的積的導數(shù),等于第一個函數(shù)的導數(shù)乘以第二個函數(shù),加上第一個

函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導數(shù)，即：

若C為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導數(shù)：

法則3兩個函數(shù)的商的導數(shù)，等于分子的導數(shù)與分母的積，減去分母的導數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：‘=(v0)。

形如y=f的函數(shù)稱為復合函數(shù)。復合函數(shù)求導步驟：分解--求導--回代。法則：y＇|= y＇| ·u＇|

3．常見函數(shù)的導出公式．

　(1)(C為常數(shù))　　(2)

　(3)　　　　(4)

2．導數(shù)的幾何意義

　 函數(shù)y=f(x)在點x處的導數(shù)的幾何意義是曲線y=f(x)在點p(x，f(x))　處的切線的斜率。也就是說，曲線y=f(x)在點p(x，f(x))處的切線的斜率是f’(x)。相應地，切線方程為y－y=f^/(x)(x－x)。

1．導數(shù)的概念

函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x處有增量，那么函數(shù)y相應地有增量=f(x+)－f(x)，比值叫做函數(shù)y=f(x)在x到x+之間的平均變化率，即=。

　如果當時，有極限，我們就說函數(shù)y=f(x)在點x處可導，并把這個極限叫做f(x)在點x處的導數(shù)，記作f’(x)或y’|。

即f(x)==。

說明：

(1)函數(shù)f(x)在點x處可導，是指時，有極限。如果不存在極限，就說函數(shù)在點x處不可導，或說無導數(shù)。

(2)是自變量x在x處的改變量，時，而是函數(shù)值的改變量，可以是零。

　由導數(shù)的定義可知，求函數(shù)y=f(x)在點x處的導數(shù)的步驟(可由學生來歸納)：

(1)求函數(shù)的增量=f(x+)－f(x)；

(2)求平均變化率=；

(3)取極限，得導數(shù)f’(x)=。

導數(shù)是高中數(shù)學中重要的內容，是解決實際問題的強有力的數(shù)學工具，運用導數(shù)的有關知識，研究函數(shù)的性質：單調性、極值和最值是高考的熱點問題。在高考中考察形式多種多樣，以選擇題、填空題等主觀題目的形式考察基本概念、運算及導數(shù)的應用，也經常以解答題形式和其它數(shù)學知識結合起來，綜合考察利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值，估計2007年高考繼續(xù)以上面的幾種形式考察不會有大的變化：

(1)考查形式為：選擇題、填空題、解答題各種題型都會考察，選擇題、填空題一般難度不大，屬于高考題中的中低檔題，解答題有一定難度，一般與函數(shù)及解析幾何結合，屬于高考的中低檔題；

(2)07年高考可能涉及導數(shù)綜合題，以導數(shù)為數(shù)學工具考察：導數(shù)的物理意義及幾何意義，復合函數(shù)、數(shù)列、不等式等知識。

定積分是新課標教材新增的內容，主要包括定積分的概念、微積分基本定理、定積分的簡單應用，由于定積分在實際問題中非常廣泛，因而07年的高考預測會在這方面考察，預測07年高考呈現(xiàn)以下幾個特點：

(1)新課標第1年考察，難度不會很大，注意基本概念、基本性質、基本公式的考察及簡單的應用；高考中本講的題目一般為選擇題、填空題，考查定積分的基本概念及簡單運算，屬于中低檔題；

(2)定積分的應用主要是計算面積，諸如計算曲邊梯形的面積、變速直線運動等實際問題要很好的轉化為數(shù)學模型。

1．導數(shù)及其應用

(1)導數(shù)概念及其幾何意義

① 通過對大量實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數(shù)概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數(shù)，體會導數(shù)的思想及其內涵；

②通過函數(shù)圖像直觀地理解導數(shù)的幾何意義。

(2)導數(shù)的運算

① 能根據導數(shù)定義求函數(shù)y=c，y=x，y=x²，y=x³，y=1/x，y=x 的導數(shù)；

② 能利用給出的基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和導數(shù)的四則運算法則求簡單函數(shù)的導數(shù)，能求簡單的復合函數(shù)(僅限于形如f(ax+b))的導數(shù)；

③ 會使用導數(shù)公式表。

(3)導數(shù)在研究函數(shù)中的應用

① 結合實例，借助幾何直觀探索并了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調區(qū)間；

② 結合函數(shù)的圖像，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求不超過三次的多項式函數(shù)的極大值、極小值，以及閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)最大值、最小值；體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質中的一般性和有效性。

(4)生活中的優(yōu)化問題舉例

例如，使利潤最大、用料最省、效率最高等優(yōu)化問題，體會導數(shù)在解決實際問題中的作用。

(5)定積分與微積分基本定理

① 通過實例(如求曲邊梯形的面積、變力做功等)，從問題情境中了解定積分的實際背景；借助幾何直觀體會定積分的基本思想，初步了解定積分的概念；

② 通過實例(如變速運動物體在某段時間內的速度與路程的關系)，直觀了解微積分基本定理的含義。

(6)數(shù)學文化

收集有關微積分創(chuàng)立的時代背景和有關人物的資料，并進行交流；體會微積分的建立在人類文化發(fā)展中的意義和價值。具體要求見本《標準》中"數(shù)學文化"的要求。

4．注意數(shù)學中的轉化思想的運用

(1)常用等角定理或平行移動直線及平面的方法轉化所求角的位置；

(2)常用平行線間、平行線面間或平行平面間距離相等為依據轉化所求距離的位置；

(3)常用割補法或等積(等面積或等體積)變換解決有關距離及體積問題。

3．求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點：

①注意根據定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置；

②作線面角的方法除平移外，補形也是常用的方法之一；求線面角的關鍵是尋找兩“足”(斜足與垂足)，而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質定理；

③求二面角高考中每年必考，復習時必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種：

根據定義或圖形特征作；根據三垂線定理(或其逆定理)作，難點在于找到面的垂線。解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質定理即可找到面的垂線；作棱的垂面。

作二面角的平面角應把握先找后作的原則。此外在解答題中一般不用公式“cosθ＝”求二面角否則要適當扣分。

④求點到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點在面內的射影，此時�？紤]面面垂直的性質定理與幾何圖形的特殊性質。而間接法中常用的是等積法及轉移法；

⑤求角與距離的關鍵是將空間的角與距離靈活轉化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個三角形中，通過解三角形最終求得所需的角與距離。

2．把空間問題轉化為平面問題，從解決平面問題而使空間問題得以解決。求角的三個基本步驟：“作”、“證”、“算”。