11.平移公式：如果點(diǎn)按向量平移至，則；曲線(xiàn)按向量平移得曲線(xiàn).注意：(1)函數(shù)按向量平移與平�！白蠹佑覝p”有何聯(lián)系？(2)向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了啊！如(1)按向量把平移到，則按向量把點(diǎn)平移到點(diǎn)______(答：(－8，3))；(2)函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則＝________(答：)

10.線(xiàn)段的定比分點(diǎn)：

(1)定比分點(diǎn)的概念：設(shè)點(diǎn)P是直線(xiàn)PP上異于P、P的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù) ，使，則叫做點(diǎn)P分有向線(xiàn)段所成的比，P點(diǎn)叫做有向線(xiàn)段的以定比為的定比分點(diǎn)；

(2)的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系：當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段 PP上時(shí)>0；當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段 PP的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)<－1；當(dāng)P點(diǎn)在線(xiàn)段PP的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)；若點(diǎn)P分有向線(xiàn)段所成的比為，則點(diǎn)P分有向線(xiàn)段所成的比為。如若點(diǎn)分所成的比為，則分所成的比為_(kāi)______(答：)

(3)線(xiàn)段的定比分點(diǎn)公式：設(shè)、，分有向線(xiàn)段所成的比為，則，特別地，當(dāng)＝1時(shí)，就得到線(xiàn)段PP的中點(diǎn)公式。在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確，、的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比。如(1)若M(-3，-2)，N(6，-1)，且，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)______(答：)；(2)已知，直線(xiàn)與線(xiàn)段交于，且，則等于_______(答：2或－4)

9、向量垂直的充要條件： .特別地。如(1)已知，若，則　　　 (答：)；(2)以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB，，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是________ (答：(1,3)或(3，－1))；(3)已知向量，且，則的坐標(biāo)是________ (答：)

8、向量平行(共線(xiàn))的充要條件：＝0。如(1)若向量，當(dāng)＝_____時(shí)與共線(xiàn)且方向相同(答：2)；(2)已知，，，且，則x＝______(答：4)；(3)設(shè)，則k＝_____時(shí)，A,B,C共線(xiàn)(答：－2或11)

7、向量的運(yùn)算律：(1)交換律：，，；(2)結(jié)合律：，；(3)分配律：，。如下列命題中：① ；② ；③

；④ 若，則或；⑤若則；⑥；⑦；⑧；⑨。其中正確的是______(答：①⑥⑨)

提醒：(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類(lèi)似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；(2)向量的“乘法”不滿(mǎn)足結(jié)合律，即，為什么？

6、向量的運(yùn)算：

(1)幾何運(yùn)算：

①向量加法：利用“平行四邊形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線(xiàn)的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；

②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意：此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。如(1)化簡(jiǎn)：①___；②____；③_____(答：①；②；③)；(2)若正方形的邊長(zhǎng)為1，，則＝_____(答：)；(3)若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的形狀為_(kāi)___(答：直角三角形)；(4)若為的邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿(mǎn)足，設(shè)，則的值為_(kāi)__(答：2)；(5)若點(diǎn)是的外心，且，則的內(nèi)角為_(kāi)___(答：)；

(2)坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則：

①向量的加減法運(yùn)算：，。如(1)已知點(diǎn)，，若，則當(dāng)＝____時(shí)，點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線(xiàn)上(答：)；(2)已知，，則　　　 (答：或)；(3)已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力，則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是　　　　 (答：(9,1))

②實(shí)數(shù)與向量的積：。

③若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)，且，，則C、D的坐標(biāo)分別是__________(答：)；

④平面向量數(shù)量積：。如已知向量＝(sinx，cosx), ＝(sinx，sinx), ＝(－1，0)。(1)若x＝，求向量、的夾角；(2)若x∈，函數(shù)的最大值為，求的值(答：或)；

⑤向量的模：。如已知均為單位向量，它們的夾角為，那么＝_____(答：)；

⑥兩點(diǎn)間的距離：若，則。如如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，，平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為。(1)若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2，－2)，求P到O的距離｜PO｜；(2)求以O(shè)為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程。(答：(1)2；(2))；

5、平面向量的數(shù)量積：

(1)兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，，作，

稱(chēng)為向量，的夾角，當(dāng)＝0時(shí)，，同向，當(dāng)＝時(shí)，，反向，當(dāng)＝時(shí)，，垂直。

(2)平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作：，即＝。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0，注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量。如(1)△ABC中，，，，則_________(答：－9)；(2)已知，與的夾角為，則等于____(答：1)；(3)已知，則等于____(答：)；(4)已知是兩個(gè)非零向量，且，則的夾角為_(kāi)___(答：)

(3)在上的投影為，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知，，且，則向量在向量上的投影為_(kāi)_____(答：)

(4)的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。

(5)向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，，其夾角為，則：

①；

②當(dāng)，同向時(shí)，＝，特別地，；當(dāng)與反向時(shí)，＝－；當(dāng)為銳角時(shí)，＞0，且不同向，是為銳角的必要非充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，＜0，且不反向，是為鈍角的必要非充分條件；

③非零向量，夾角的計(jì)算公式：；④。如(1)已知，，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是______(答：或且)；(2)已知的面積為，且，若，則夾角的取值范圍是_________(答：)；(3)已知與之間有關(guān)系式，①用表示；②求的最小值，并求此時(shí)與的夾角的大小(答：①；②最小值為，)

4、實(shí)數(shù)與向量的積：實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：當(dāng)>0時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)<0時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)＝0時(shí)，，注意：≠0。

3.平面向量的基本定理：如果e₁和e₂是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、，使a=e₁+e₂。如(1)若

，則______(答：)；(2)下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. 　B. 　C. 　　D. (答：B)；(3)已知分別是的邊上的中線(xiàn),且,則可用向量表示為_(kāi)____(答：)；(4)已知中，點(diǎn)在邊上，且，，則的值是___(答：0)

2、向量的表示方法：(1)幾何表示法：用帶箭頭的有向線(xiàn)段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；(2)符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如，，等；(3)坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量，為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱(chēng)為向量的坐標(biāo)，＝叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。