4.在△ABC中，A=105°，C=45°,AB=
，則AC= .
答案 1
3.如圖所示，已知梯形ABCD中，AB∥CD，且AB=3CD，M，N分別是AB，CD的中點，設(shè)
=e1, 
=e2,
可表示為
(用e1,e2表示).
答案 e2-
e1
2.向量a,b滿足|a|=1,|b|=,(a+b)⊥(2a-b),則向量a與b的夾角為 .
答案 90°
1.(2008·遼寧理)已知O、A、B是平面上的三個點，直線AB上有一點C，滿足2
+ 
=0，則
=
(用
、
表示).
答案 2-
12.已知ABCD是平行四邊形，P點是ABCD所在平面外的一點，連接PA、PB、PC、PD.設(shè)點E、F、G、H分別為△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心.
(1)試用向量方法證明E、F、G、H四點共面；
(2)試判斷平面EFGH與平面ABCD的位置關(guān)系，并用向量方法證明你的判斷.
(1)證明 分別延長PE、PF、PG、PH交對邊于M、N、Q、R點，因為E、F、G、H分別是所在三角形的重心，所以M、N、Q、R為所在邊的中點，順次連接M、N、Q、R得到的四邊形為平行四邊形，且有
=
，
=
，
=
，
=
∴
=
+
=(-)+(-)
=
(-)+(-)
=(
+
)
又∵=-=-=
∴=(+),∴=+
由共面向量定理知：E、F、G、H四點共面.
(2)解 由(1)得=,故∥.
又∵
平面ABC，EG
平面ABC.
∴EG∥平面ABC.
又∵=-=-=
∴MN∥EF，又∵M(jìn)N平面ABC，EF平面ABC，
EF∥平面ABC.
∵EG與EF交于E點，
∴平面EFGH∥平面ABCD.
11.如圖所示，在空間直角坐標(biāo)系中BC=2，原點O是BC的中點，點A的坐標(biāo)是(
，
，0)，點D在平面yOz內(nèi)，且∠BDC=90°，∠DCB=30°.
(1)求
的坐標(biāo)；
(2)設(shè)
和
的夾角為
，求cos的值.
解 (1)如圖所示，過D作DE⊥BC，垂足為E，
在Rt△BDC中，由∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，
得BD=1，CD=
.
∴DE=CD·sin30°=.
OE=OB-BD·cos60°=1-=.
∴D點坐標(biāo)為(0，-，)，
即的坐標(biāo)為(0，-，).
(2)依題意：
=(，，0)，
=(0，-1，0)，
=(0，1，0).
∴=- =(-，-1，)，
=- =(0，2，0).
設(shè)和的夾角為，
則cos=
=
=
=-
.
∴cos=-.
10.如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1，M為AA1的中點，N為A1B1上的點，且滿足A1N=
NB1，P為底面正方形A1B1C1D1的中心.求證：MN⊥MC，MP⊥B1C.
證明 設(shè)
=a，
=b，=c
則a、b、c兩兩垂直且模相等.
∴a·b=b·c=a·c=0，
又∵
=NB1
∴
=
=b，
=
+=a+b,
=
++=-a+b+c,
∴·=(a+b)·(b+c-a)
=
-
=0.
∴MN⊥MC，
又
=+
=
+(b+c)=(a+b+c)，
=
+=-a+c.
∴·=(a+b+c)(c-a)=0.∴MP⊥B1C.
9.
如圖所示，平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長度都為1，且兩
兩夾角為60°.
(1)求AC1的長；
(2)求BD1與AC夾角的余弦值.
解 記=a，=b，=c，
則|a|=|b|=|c|=1，〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
∴a·b=b·c=c·a=.
(1)|
|2=(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)
=1+1+1+2×(++)=6,
∴||=
,即AC1的長為.
(2)
=b+c-a,
=a+b,
∴||=
,||=,
·=(b+c-a)·(a+b)
=b2-a2+a·c+b·c=1.
∴cos〈,〉=
=
.
∴AC與BD1夾角的余弦值為.
8.已知a=(1-t，1-t，t)，b=(2，t，t)，則|b-a|的最小值為 .
答案 
7.
如圖所示，已知空間四邊形ABCD，F(xiàn)為BC的中點，E為AD的中點，若=
(+
)，則
= .
答案
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