3、功能關(guān)系

做功的過程是能量轉(zhuǎn)化的過程，功是能的轉(zhuǎn)化的量度。

　　 能量守恒和轉(zhuǎn)化定律是自然界最基本的定律之一。而在不同形式的能量發(fā)生相互轉(zhuǎn)化的過程中，功扮演著重要的角色。本章的主要定理、定律都是由這個基本原理出發(fā)而得到的。

需要強調(diào)的是：功是一種過程量，它和一段位移(一段時間)相對應(yīng)；而能是一種狀態(tài)量，它個一個時刻相對應(yīng)。兩者的單位是相同的(都是J)，但不能說功就是能，也不能說“功變成了能”。

　　 “功是能量轉(zhuǎn)化的量度”這一基本概念。

⑴物體動能的增量由外力做的總功來量度：W_外=ΔE_k，這就是動能定理。

⑵物體重力勢能的增量由重力做的功來量度：W_G= -ΔE_P，這就是勢能定理。

⑶物體機械能的增量由重力以外的其他力做的功來量度：W_其=ΔE_機，(W_其表示除重力以外的其它力做的功)，這就是機械能定理。

⑷當(dāng)W_其=0時，說明只有重力做功，所以系統(tǒng)的機械能守恒。

⑸一對互為作用力反作用力的摩擦力做的總功，用來量度該過程系統(tǒng)由于摩擦而減小的機械能，也就是系統(tǒng)增加的內(nèi)能。f žd=Q(d為這兩個物體間相對移動的路程)。

例題：質(zhì)量為m的物體在豎直向上的恒力F作用下減速上升了H，在這個過程中，下列說法中正確的有

A.物體的重力勢能增加了mgH 　　B.物體的動能減少了FH

C.物體的機械能增加了FH　　　 D.物體重力勢能的增加小于動能的減少

解析：由以上三個定理不難得出正確答案是A、C

例題： 如圖所示，一根輕彈簧下端固定，豎立在水平面上。其正上方A位置有一只小球。小球從靜止開始下落，在B位置接觸彈簧的上端，在C位置小球所受彈力大小等于重力，在D位置小球速度減小到零。小球下降階段下列說法中正確的是

　　 A.在B位置小球動能最大

　　 B.在C位置小球動能最大

　　 C.從A→C位置小球重力勢能的減少大于小球動能的增加

　　 D.從A→D位置小球重力勢能的減少等于彈簧彈性勢能的增加

解析：小球動能的增加用合外力做功來量度，A→C小球受的合力一直向下，對小球做正功，使動能增加；C→D小球受的合力一直向上，對小球做負(fù)功，使動能減小，所以B正確。從A→C小球重力勢能的減少等于小球動能的增加和彈性勢能之和，所以C正確。A、D兩位置動能均為零，重力做的正功等于彈力做的負(fù)功，所以D正確。選B、C、D。

　 例題：如圖所示，a、b、c三個相同的小球，a從光滑斜面頂端由靜止開始自由下滑，同時b、c從同一高度分別開始自由下落和平拋。下列說法正確的有

A.它們同時到達同一水平面　

B.重力對它們的沖量相同

C.它們的末動能相同　 　　　

D.它們動量變化的大小相同

解析：b、c飛行時間相同(都是)；a與b比較，兩者平均速度大小相同(末動能相同)；但顯然a的位移大，所以用的時間長，因此A、B都不對。由于機械能守恒，c的機械能最大(有初動能)，到地面時末動能也大，因此C也不對。a、b的初動量都是零，末動量大小又相同，所以動量變化大小相同；b、c所受沖量相同，所以動量變化大小也相同，故D正確。

　　 這道題看似簡單，實際上考察了平均速度、功、沖量等很多知識。另外，在比較中以b為中介：a、b的初、末動能相同，平均速度大小相同，但重力作用時間不同；b、c飛行時間相同(都等于自由落體時間)，但初動能不同。本題如果去掉b球可能更難做一些。

例題：質(zhì)量為m的汽車在平直公路上以速度v勻速行駛，發(fā)動機實際功率為P。若司機突然減小油門使實際功率減為并保持下去，汽車所受阻力不變，則減小油門瞬間汽車加速度大小是多少？以后汽車將怎樣運動？

解析：由公式F- f=ma和P=Fv，原來牽引力F等于阻力f，減小油門瞬間v未變，由P=Fv，F將減半，合力變?yōu)?sub>，方向和速度方向相反，加速度大小為；以后汽車做恒定功率的減速運動，F又逐漸增大，當(dāng)增大到F=f時，a=0，速度減到最小為v/2，再以后一直做勻速運動。

　　 這道題是恒定功率減速的問題，和恒定功率加速的思路是完全相同的。

例題： 質(zhì)量為M的小車A左端固定一根輕彈簧，車靜止在光滑水平面上，一質(zhì)量為m的小物塊B從右端以速度v₀沖上小車并壓縮彈簧，然后又被彈回，回到車右端時剛好與車保持相對靜止。求這過程彈簧的最大彈性勢能E_P和全過程系統(tǒng)摩擦生熱Q各多少？簡述B相對于車向右返回過程中小車的速度變化情況。

解析：全過程系統(tǒng)動量守恒，小物塊在車左端和回到車右端兩個時刻，系統(tǒng)的速度是相同的，都滿足：mv₀=(m+M)v；第二階段初、末系統(tǒng)動能相同，說明小物塊從車左端返回車右端過程中彈性勢能的減小恰好等于系統(tǒng)內(nèi)能的增加，即彈簧的最大彈性勢能E_P恰好等于返回過程的摩擦生熱，而往、返兩個過程中摩擦生熱是相同的，所以E_P是全過程摩擦生熱Q的一半。又因為全過程系統(tǒng)的動能損失應(yīng)該等于系統(tǒng)因摩擦而增加的內(nèi)能，所以ΔE_K=Q=2E_P

 而，　 ∴

至于B相對于車向右返回過程中小車的速度變化，則應(yīng)該用牛頓運動定律來分析：剛開始向右返回時刻，彈簧對B的彈力一定大于滑動摩擦力，根據(jù)牛頓第三定律，小車受的彈力F也一定大于摩擦力f，小車向左加速運動；彈力逐漸減小而摩擦力大小不變，所以到某一時刻彈力和摩擦力大小相等，這時小車速度最大；以后彈力將小于摩擦力，小車受的合外力向右，開始做減速運動；B脫離彈簧后，小車在水平方向只受摩擦力，繼續(xù)減速，直到和B具有向左的共同速度，并保持勻速運動。

例題：海岸炮將炮彈水平射出。炮身質(zhì)量(不含炮彈)為M，每顆炮彈質(zhì)量為m。當(dāng)炮身固定時，炮彈水平射程為s，那么當(dāng)炮身不固定時，發(fā)射同樣的炮彈，水平射程將是多少？

解析：兩次發(fā)射轉(zhuǎn)化為動能的化學(xué)能E是相同的。第一次化學(xué)能全部轉(zhuǎn)化為炮彈的動能；第二次化學(xué)能轉(zhuǎn)化為炮彈和炮身的動能，而炮彈和炮身水平動量守恒，由動能和動量的關(guān)系式知，在動量大小相同的情況下，物體的動能和質(zhì)量成反比，炮彈的動能，由于平拋的射高相等，兩次射程的比等于拋出時初速度之比，

　　 這是典型的把動量和能量結(jié)合起來應(yīng)用的應(yīng)用題。要熟練掌握一個物體的動能和它的動量大小的關(guān)系；要善于從能量守恒的觀點(本題是系統(tǒng)機械能增量相同)來分析問題。

例題： 質(zhì)量為m的長木板A靜止在光滑水平面上，另兩個質(zhì)量也是m的鐵塊B、C同時從A的左右兩端滑上A的上表面，初速度大小分別為v和2v，B、C與A間的動摩擦因數(shù)均為μ。⑴試分析B、C滑上長木板A后，A的運動狀態(tài)如何變化？⑵為使B、C不相撞，A木板至少多長？

解析：B、C都相對于A滑動時，A所受合力為零，保持靜止。這段時間為。B剛好相對于A 靜止時，C的速度為v，A開向左做勻加速運動，由動量守恒可求出A、B、C最終的共同速度，這段加速經(jīng)歷的時間為，最終A將以做勻速運動。

　　 全過程系統(tǒng)動能的損失都將轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能，而摩擦生熱，由能量守恒定律列式：。這就是A木板應(yīng)該具有的最小長度。

　　 本題還可以求系統(tǒng)機械能損失(摩擦生熱)和B、C與A摩擦生熱之比：第一階段B對A的位移就是對地的位移：s_B=v²/2μg，C的平均速度是其3倍因此C對A的位移是其3倍：s_C=3v²/2μg；第二階段A、B共同向左運動的加速度是μg/2，對地位移是s=v²/9μg，C平均速度是其4倍，對地位移是s/= 4v²/9μg，相對于A位移是v²/3μg，故B、C與A間的相對位移大小依次是d_B= v²/2μg和d_C=11v²/6μg，于是系統(tǒng)摩擦生熱為μmg(d_B+ d_C)=7mv²/3，d_B∶d_C=3∶11

例題： 質(zhì)量M的小車左端放有質(zhì)量m的鐵塊，以共同速度v沿光滑水平面向豎直墻運動，車與墻碰撞的時間極短，不計動能損失。動摩擦因數(shù)μ，車長L，鐵塊不會到達車的右端。到最終相對靜止為止，摩擦生熱多少？

解析：車與墻碰后瞬間，小車的速度向左，大小是v，而鐵塊的速度未變，仍是v，方向向左。根據(jù)動量守恒定律，車與鐵塊相對靜止時的速度方向決定于M與m的大小關(guān)系：當(dāng)M>m時，相對靜止是的共同速度必向左，不會再次與墻相碰，可求得摩擦生熱是；當(dāng)M=m時，顯然最終共同速度為零，當(dāng)M<m時，相對靜止時的共同速度必向右，再次與墻相碰，直到小車停在墻邊，后兩種情況的摩擦生熱都等于系統(tǒng)的初動能

例題：一傳送帶裝置示意圖如圖，其中傳送帶經(jīng)過AB區(qū)域時是水平的，經(jīng)過BC區(qū)域時變?yōu)閳A弧形(圓弧由光滑模板形成，為畫出)，經(jīng)過CD區(qū)域時是傾斜的，AB和CD都與BC相切�，F(xiàn)將大量的質(zhì)量均為m的小貨箱一個一個在A處放到傳送帶上，放置時初速為零，經(jīng)傳送帶運送到D處，D和A的高度差為h。穩(wěn)定工作時傳送帶速度不變，CD段上各箱等距排列，相鄰兩箱的距離為L。每個箱子在A處投放后，在到達B之前已經(jīng)相對于傳送帶靜止，且以后也不再滑動(忽略經(jīng)BC段時的微小滑動)。已知在一段相當(dāng)長的時間T內(nèi)，共運送小貨箱的數(shù)目為N。這裝置由電動機帶動，傳送帶與輪子間無相對滑動，不計輪軸處的摩擦。求電動機的平均輸出功率P。

解析：電動機做功的過程，電能除了轉(zhuǎn)化為小貨箱的機械能，還有一部分由于小貨箱和傳送帶間的滑動摩擦而轉(zhuǎn)化成內(nèi)能。摩擦生熱可以由Q=f　d求得，其中f是相對滑動的兩個物體間的摩擦力大小，d是這兩個物體間相對滑動的路程。本題中設(shè)傳送帶速度一直是v，則相對滑動過程中傳送帶的平均速度就是小貨箱的2倍，相對滑動路程d和小貨箱的實際位移s大小相同，故摩擦生熱和小貨箱的末動能大小相同Q=mv²/2。因此有W=mv²+mgh。又由已知，在一段相當(dāng)長的時間T內(nèi)，共運送小貨箱的數(shù)目為N，所以有，vT=NL，帶入后得到。

2、機械能守恒定律

⑴機械能守恒定律的兩種表述

①在只有重力做功的情形下，物體的動能和重力勢能發(fā)生相互轉(zhuǎn)化，但機械能的總量保持不變。

②如果沒有摩擦和介質(zhì)阻力，物體只發(fā)生動能和重力勢能的相互轉(zhuǎn)化時，機械能的總量保持不變。

　 ⑵對機械能守恒定律的理解：

　　 ①機械能守恒定律的研究對象一定是系統(tǒng)，至少包括地球在內(nèi)。通常我們說“小球的機械能守恒”其實一定也就包括地球在內(nèi)，因為重力勢能就是小球和地球所共有的。另外小球的動能中所用的v，也是相對于地面的速度。

　　 ②當(dāng)研究對象(除地球以外)只有一個物體時，往往根據(jù)是否“只有重力做功”來判定機械能是否守恒；當(dāng)研究對象(除地球以外)由多個物體組成時，往往根據(jù)是否“沒有摩擦和介質(zhì)阻力”來判定機械能是否守恒。

　　 ③“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。在該過程中，物體可以受其它力的作用，只要這些力不做功，或所做功的代數(shù)和為零，就可以認(rèn)為是“只有重力做功”。

⑶機械能守恒定律的各種表達形式

①，即；

②；；

　　 用①時，需要規(guī)定重力勢能的參考平面。用②時則不必規(guī)定重力勢能的參考平面，因為重力勢能的改變量與參考平面的選取沒有關(guān)系。尤其是用ΔE_增=ΔE_減，只要把增加的機械能和減少的機械能都寫出來，方程自然就列出來了。

⑷解題步驟

①確定研究對象和研究過程。

②判斷機械能是否守恒。

③選定一種表達式，列式求解。

例題： 如圖物塊和斜面都是光滑的，物塊從靜止沿斜面下滑過程中，物塊機械能是否守恒？系統(tǒng)機械能是否守恒？

解析：以物塊和斜面系統(tǒng)為研究對象，很明顯物塊下滑過程中系統(tǒng)不受摩擦和介質(zhì)阻力，故系統(tǒng)機械能守恒。又由水平方向系統(tǒng)動量守恒可以得知：斜面將向左運動，即斜面的機械能將增大，故物塊的機械能一定將減少。

有些同學(xué)一看本題說的是光滑斜面，容易錯認(rèn)為物塊本身機械能就守恒。這里要提醒兩條：⑴由于斜面本身要向左滑動，所以斜面對物塊的彈力N和物塊的實際位移s的方向已經(jīng)不再垂直，彈力要對物塊做負(fù)功，對物塊來說已經(jīng)不再滿足“只有重力做功”的條件。⑵由于水平方向系統(tǒng)動量守恒，斜面一定會向右運動，其動能也只能是由物塊的機械能轉(zhuǎn)移而來，所以物塊的機械能必然減少。

例題：如圖所示，質(zhì)量分別為2 m和3m的兩個小球固定在一根直角尺的兩端A、B，直角尺的頂點O處有光滑的固定轉(zhuǎn)動軸。AO、BO的長分別為2L和L。開始時直角尺的AO部分處于水平位置而B在O的正下方。讓該系統(tǒng)由靜止開始自由轉(zhuǎn)動，求：⑴當(dāng)A到達最低點時，A小球的速度大小v；⑵ B球能上升的最大高度h；⑶開始轉(zhuǎn)動后B球可能達到的最大速度v_m。

解析：以直角尺和兩小球組成的系統(tǒng)為對象，由于轉(zhuǎn)動過程不受摩擦和介質(zhì)阻力，所以該系統(tǒng)的機械能守恒。

⑴過程中A的重力勢能減少， A、B的動能和B的重力勢能增加，A的即時速度總是B的2倍。，解得

⑵B球不可能到達O的正上方，它到達最大高度時速度一定為零，設(shè)該位置比OA豎直位置向左偏了α角。2mgž2Lcosα=3mgžL(1+sinα)，此式可化簡為4cosα-3sinα=3，利用三角公式可解得sin(53°-α)=sin37°，α=16°

⑶B球速度最大時就是系統(tǒng)動能最大時，而系統(tǒng)動能增大等于系統(tǒng)重力做的功W_G。設(shè)OA從開始轉(zhuǎn)過θ角時B球速度最大，=2mgž2Lsinθ-3mgžL(1-cosθ)

=mgL(4sinθ+3cosθ-3)≤2mgžL，解得

⑴　　　　　　　　　　　　　　 ⑵　　　　　　　　　　　 ⑶

本題如果用E_P+E_K= E_P^/+E_K^/這種表達形式，就需要規(guī)定重力勢能的參考平面，顯然比較煩瑣。用ΔE_增=ΔE_減就要簡潔得多。

例題： 如圖所示，粗細(xì)均勻的U形管內(nèi)裝有總長為4L的水。開始時閥門K閉合，左右支管內(nèi)水面高度差為L。打開閥門K后，左右水面剛好相平時左管液面的速度是多大？(管的內(nèi)部橫截面很小，摩擦阻力忽略不計)

解析：由于不考慮摩擦阻力，故整個水柱的機械能守恒。從初始狀態(tài)到左右支管水面相平為止，相當(dāng)于有長L/2的水柱由左管移到右管。系統(tǒng)的重力勢能減少，動能增加。該過程中，整個水柱勢能的減少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力勢能的減少。不妨設(shè)水柱總質(zhì)量為8m，則，得。

　　 本題在應(yīng)用機械能守恒定律時仍然是用ΔE_增=ΔE_減 建立方程，在計算系統(tǒng)重力勢能變化時用了等效方法。需要注意的是：研究對象仍然是整個水柱，到兩個支管水面相平時，整個水柱中的每一小部分的速率都是相同的。

1、動能定理

⑴動能定理的表述

合外力做的功等于物體動能的變化。(這里的合外力指物體受到的所有外力的合力，包括重力)。表達式為W=ΔE_K

動能定理也可以表述為：外力對物體做的總功等于物體動能的變化。實際應(yīng)用時，后一種表述比較好操作。不必求合力，特別是在全過程的各個階段受力有變化的情況下，只要把各個力在各個階段所做的功都按照代數(shù)和加起來，就可以得到總功。

和動量定理一樣，動能定理也建立起過程量(功)和狀態(tài)量(動能)間的聯(lián)系。這樣，無論求合外力做的功還是求物體動能的變化，就都有了兩個可供選擇的途徑。和動量定理不同的是：功和動能都是標(biāo)量，動能定理表達式是一個標(biāo)量式，不能在某一個方向上應(yīng)用動能定理。

⑵注意：①不管是否恒力做功，也不管是否做直線運動，該定理都成立；

②對變力做功，應(yīng)用動能定理要更方便、更迅捷。

③動能為標(biāo)量，但ΔE_k=E_k2-E_k1仍有正負(fù)，分別表動能的增減。

⑶應(yīng)用動能定理解題的步驟

①確定研究對象和研究過程。和動量定理不同，動能定理的研究對象只能是單個物體，如果是系統(tǒng)，那么系統(tǒng)內(nèi)的物體間不能有相對運動。(原因是：系統(tǒng)內(nèi)所有內(nèi)力的總沖量一定是零，而系統(tǒng)內(nèi)所有內(nèi)力做的總功不一定是零)。

②對研究對象進行受力分析。(研究對象以外的物體施于研究對象的力都要分析，含重力)。

③寫出該過程中合外力做的功，或分別寫出各個力做的功(注意功的正負(fù))。如果研究過程中物體受力情況有變化，要分別寫出該力在各個階段做的功。

④寫出物體的初、末動能。

⑤按照動能定理列式求解。

例題：如圖所示，斜面傾角為α，長為L，AB段光滑，BC段粗糙，且BC=2 AB。質(zhì)量為m的木塊從斜面頂端無初速下滑，到達C端時速度剛好減小到零。求物體和斜面BC段間的動摩擦因數(shù)μ。

解析：以木塊為對象，在下滑全過程中用動能定理：重力做的功為mgLsinα，摩擦力做的功為，支持力不做功。初、末動能均為零。

mgLsinα=0，

　　 從本例題可以看出，由于用動能定理列方程時不牽扯過程中不同階段的加速度，所以比用牛頓定律和運動學(xué)方程解題簡潔得多。

例題：將小球以初速度v₀豎直上拋，在不計空氣阻力的理想狀況下，小球?qū)⑸仙侥骋蛔畲蟾叨�。由于有空氣阻力，小球�(qū)嶋H上升的最大高度只有該理想高度的80%。設(shè)空氣阻力大小恒定，求小球落回拋出點時的速度大小v。

解析：有空氣阻力和無空氣阻力兩種情況下分別在上升過程對小球用動能定理：

　　 和，可得H=v₀²/2g，

再以小球為對象，在有空氣阻力的情況下對上升和下落的全過程用動能定理。全過程重力做的功為零，所以有：，解得

　　 從本題可以看出：根據(jù)題意靈活地選取研究過程可以使問題變得簡單。有時取全過程簡單；有時則取某一階段簡單。原則是盡量使做功的力減少，各個力的功計算方便；或使初、末動能等于零。

例題： 質(zhì)量為M的木塊放在水平臺面上，臺面比水平地面高出h=0.20m，木塊離臺的右端L=1.7m。質(zhì)量為m=0.10M的子彈以v₀=180m/s的速度水平射向木塊，并以v=90m/s的速度水平射出，木塊落到水平地面時的落地點到臺面右端的水平距離為s=1.6m，求木塊與臺面間的動摩擦因數(shù)為μ。

解析：本題的物理過程可以分為三個階段，在其中兩個階段中有機械能損失：子彈射穿木塊階段和木塊在臺面上滑行階段。所以本題必須分三個階段列方程：

子彈射穿木塊階段，對系統(tǒng)用動量守恒，設(shè)木塊末速度為v₁，mv₀= mv+Mv₁……①

木塊在臺面上滑行階段對木塊用動能定理，設(shè)木塊離開臺面時的速度為v₂，

有：……②

木塊離開臺面后的平拋階段，……③

由①、②、③可得μ=0.50

　　 從本題應(yīng)引起注意的是：凡是有機械能損失的過程，都應(yīng)該分段處理。

從本題還應(yīng)引起注意的是：不要對系統(tǒng)用動能定理。在子彈穿過木塊階段，子彈和木塊間的一對摩擦力做的總功為負(fù)功。如果對系統(tǒng)在全過程用動能定理，就會把這個負(fù)功漏掉。

例題：如圖所示，小球以大小為v₀的初速度由A端向右運動，到B端時的速度減小為v_B；若以同樣大小的初速度由B端向左運動，到A端時的速度減小為v_A。已知小球運動過程中始終未離開該粗糙軌道。比較v_A 、v_B的大小，結(jié)論是

　　 A.v_A>v_B　　　　 B.v_A=v_B

　　 C.v_A<v_B　　　　 D.無法確定

解析：小球向右通過凹槽C時的速率比向左通過凹槽C時的速率大，由向心力方程可知，對應(yīng)的彈力N一定大，滑動摩擦力也大，克服阻力做的功多；又小球向右通過凸起D時的速率比向左通過凸起D時的速率小，由向心力方程可知，對應(yīng)的彈力N一定大，滑動摩擦力也大，克服阻力做的功多。所以小球向右運動全過程克服阻力做功多，動能損失多，末動能小，選A。

5、勢能：

⑴勢能的概念：相互作用的物體間，由其相對位置所決定的能量。

⑵勢能和種類：有重力勢能和彈性勢能等。

重力勢能：地球與地球附近的物體之間由于重力的作用而是有的勢能。

彈性勢能：物體發(fā)生彈性形變時，由于其各部分間存在彈力的相互作用的是有的勢能。

⑶重力勢能：公式E_p=mgh

①表示物體的重力勢能等于物體的質(zhì)量、重力加速度和它所處的高度三者的乘積。

②根據(jù)功是能量轉(zhuǎn)化的量度，也可以看做是外力把物體舉高了h，外力做功W=mgh全轉(zhuǎn)化成物體的重力勢能，即E_p=mgh。

③重力勢能是標(biāo)量。在國際單位制中，它的單位跟功的單位相同：焦耳(J)。

④公式中h的含義要特別注意：

重力勢能公式E_p=mgh中的h表示高度，用來表示物體所在的位置，是個狀態(tài)量，是由規(guī)定的高度零點(如地面)開始量度的，向上為正；而自由落體公式 中的h表示自由下落物體的位移，是個過程量，是由起始位置開始量度的，向下為正，二者不能混為一談。

⑤重力做功的特點：

重力對物體所做的功只跟起點和終點的位置有關(guān)，而跟物體運動路徑無關(guān)。

⑥重力做功和重力勢能的變化：重力做正功,勢能減少；重力做負(fù)功，勢能增加。重力做多少功，就改變多少重力勢能。其數(shù)學(xué)表示式為W=－△＝－，式中、分別表示初態(tài)和終態(tài)的重力勢能。

a重力做正功時，重力勢能減少，減少的重力勢能等于重力所做的功；重力做負(fù)功時，重力勢能增加，增加的重力勢能等于克服重力所做的功．即重力做多少功，重力勢能就改變多少．

　　 b重力做功只跟初末位置的高度有關(guān)，跟物體運動的路徑無關(guān)，即W=mg△h。

　 　⑷彈性勢能：物體由于發(fā)生彈性形變而具有的能叫彈性勢能。彈性勢能的大小與形變量及勁度系數(shù)有關(guān)，彈簧的形變量越大，勁度系數(shù)越大，彈簧的彈性勢能越大。

⑸勢能是相互作用的物體由相對位置而決定的一種能量。離開物體間的相互作用也就無所謂勢能。因此勢能只能屬于系統(tǒng)，說某個物體具有多少勢能，顯然是一種簡略的說法。

例題：如圖所示，勁度系數(shù)為K₁的輕質(zhì)彈簧兩端分別與質(zhì)量為m₁、m₂的物體1、 2拴接，勁度系數(shù)為K₂ 的輕質(zhì)彈簧上端與物塊2拴接，下端壓在桌面上(不拴接)，整個系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，現(xiàn)施力將物塊1緩慢地豎直上提，直到下面那個彈簧的下端脫離桌面．在此過程中，物塊2的重力勢能增加了　　　　　 ，物塊1的重力勢能增加了　　　　 。

解析：該題難度較大，在方法的選用上應(yīng)注意借助整體法和隔離法輔助求解．在求解m₁上升高度時，要找準(zhǔn)m₁相對水平面的高度變化，不要漏加m₂上升高度；考慮k₁的變化時不要忽略彈簧k₂的變化．很容易考慮不全面，顧此失彼．可做如下分析：下面彈簧受到壓力大小為(m+m)g，壓縮量x=, 要使其離開桌面，m應(yīng)上升高度x,則增加的重力勢能為E＝mgx= ,　 對彈簧k₁拉起的過程中，k₁是由壓縮狀態(tài)轉(zhuǎn)為拉伸狀態(tài)，壓縮的長度x=,當(dāng)k離開桌面時，k伸長了x= ，　 則上面物體能上升的高度為x+x+x＝(m+m)g(+),所以m增加的重力勢能為E= m(m+m)(+)g.

4、動能：

⑴動能：物體由于運動而具有的能量。

一個物體由靜止開始運動，必須受有外力的作用，那么這個外力做了多少功，就表示了有多少其它形式能量轉(zhuǎn)化為物體的動能了。我們利用這個辦法可求出物體的動能。

⑵動能公式的推導(dǎo)：在光滑的水平面上有一個質(zhì)量為m的靜止物體，在水平恒力作用下開始運動，經(jīng)過一段位移S，達到速度為。在此過程中：

外力做功W=Fs

物體的動能E_K

功是能量轉(zhuǎn)化的量度

　E_K= W=Fs

．

⑶動能公式：　 即物體的動能等于它的質(zhì)量跟它的速度平方的乘積的一半。

⑷動能是標(biāo)量，在國際單位制中，動能的單位是焦耳(J)。

⑸關(guān)于物體動能的變化：

①速度是一個描述物體運動狀態(tài)的物理量，動能也是一個描述物體運動狀態(tài)的物理量。速度變化時，動能不一定變化。如物體做圓周運動時，雖然速度在變化，但動能是恒量�？墒莿幽茏兓瘯r，速度一定發(fā)生變化。如物體做自由落體運動，物體動能變化，其運動速度也在變化。

②物體在一直線上運動時，其速度有正、負(fù)之分(表示方向)，但物體的動能卻永遠是正值�？墒莿幽艿淖兓靠梢杂姓�(fù)。

動能的變化量表示了運動物體的終了狀態(tài)的動能減去其初始狀態(tài)的動能。

如汽車加速運動，，則動能變化量為正值。

若汽車做減速運動，即，則其動能變化量為負(fù)值。

③物體動能的變化是與外力做功有關(guān)的，這個“功”，指的是合外力做的功，或合功。如果以動力做功為主，則物體動能變化量為正。若以阻力做功為主，則物體動能變化量為負(fù)。

3、功和能：

⑴能的最基本性質(zhì)：能就是指能量，如果物體能夠做功，就說這個物體。如水流的機械能，帶動水輪機發(fā)電，這是機械能轉(zhuǎn)化為電能；電動機能電后，把電能轉(zhuǎn)變成機械能；大力發(fā)電是把熱能轉(zhuǎn)化成電能，電熱取暖則又是把電能轉(zhuǎn)化成熱能；這些現(xiàn)象都告訴了我們各種不同形式的能是可以互相轉(zhuǎn)化的，而且在轉(zhuǎn)化過程中，能的總量是守恒的。這就是能的最基本性質(zhì)。

⑵功和能的關(guān)系：功是能量轉(zhuǎn)化的量度

①做功的過程就是能的轉(zhuǎn)化過程，能的轉(zhuǎn)化是通過做功來實現(xiàn)的。

②做多少功就有多少能量發(fā)生轉(zhuǎn)化(用功的數(shù)值來量度能量轉(zhuǎn)化的多少)

2、功率：

⑴功率的概念：功率是表示物體(施力物)做功快慢的物理量，表示了單位時間內(nèi)，施力物做功的多少。是用功與完成這些功所用時間的比值表示。

⑵功率的公式：

　　 該式表示了在某一段時間t內(nèi)物體做功的平均功率。當(dāng)力的方向和位移的方向一致時，上式中的W=Fs，則：

重力的功率可表示為P_G=mgv_y，即重力的瞬時功率等于重力和物體在該時刻的豎直分速度之積。

⑶功率的單位：在國際單位制中，功率的單位是瓦特。

1瓦特=1焦耳/秒，符號：1W=1J/s

除了“瓦”這個單位以外，技術(shù)上常用“千瓦”(KW)做功率的單位。

⑷公式P=Fv 中三個物理量的相依關(guān)系：

當(dāng)力F與物體運動方向相同時，P=Fv，在功率一定的情況下，力越大，速度就越小，如汽車從平地開始上坡時，在保持發(fā)動機功率不變的條件下，需換檔降低速度以增大牽引力。在力大小不變時，功率越大，速度越大，如在豎直方向上勻速吊起重物，起重機輸出功率越大，起吊速度就越大。保持速度不變時，功率越大，力越大，如汽車從平路轉(zhuǎn)入上坡時，要保持速度不變，就需要加大油門增大牽引功率以增大牽引力。

⑸注意區(qū)別P=、P=Fvcosα、P=Fv三個公式的適用范圍：

對P=，P是時間t內(nèi)的平均功率；對P=Fvcosα，若v是瞬時速度，P是瞬時功率，若v是平 均速度，P是平均功率；對P=Fv，F(xiàn)與v必須同方向，功率P與速度對應(yīng)，即瞬時速度對應(yīng)瞬時 功率，平均速度對應(yīng)平均功率。

⑹額定功率：任何一個動力機器，它的功率都是有一定的限制的，這就是該機器的額定功率，額定功率都要在銘牌上標(biāo)明，機器工作時受額定功率的限制。而機器功率的發(fā)揮是可以人為控制的。如汽車可通過控制給油的多少(油門)，確定功率的大小。但功率不管如何改變，功率的最大值是額定功率。

⑺關(guān)于機車的兩種起動方式：⑷汽車的兩種加速問題。當(dāng)汽車從靜止開始沿水平面加速運動時，有兩種不同的加速過程，但分析時采用的基本公式都是P=Fv和F-f = ma

①以額定功率起動：由公式P=Fv和F-f=ma知a= ，由于P恒定，隨著v的增大，F必將減小，a也必將減小，汽車做加速度不斷減小的加速運動，直到F=f，a=0，這時v達到最大值�？梢�恒定功率的加速一定不是勻加速。這種加速過程發(fā)動機做的功只能用W=Pt計算，不能用W=Fs計算(因為F為變力)。

②以加速度a勻加速起動：由公式P=Fv和F-f=ma知，由于F恒定，所以a恒定，汽車做勻加速運動，而隨著v的增大，P也將不斷增大，直到P達到額定功率P_m，功率不能再增大了。這時勻加速運動結(jié)束，其最大速度為，此后汽車要想繼續(xù)加速就只能做恒定功率的變加速運動了。可見恒定牽引力的加速時功率一定不恒定。這種加速過程發(fā)動機做的功只能用W=Fžs計算，不能用W=Pžt計算(因為P為變功率)。例題：解析：

　　 要注意兩種加速運動過程的最大速度的區(qū)別。

例題：如圖所示，質(zhì)量為m的小球用長L的細(xì)線懸掛而靜止在豎直位置。在下列三種情況下，分別用水平拉力F將小球拉到細(xì)線與豎直方向成θ角的位置。在此過程中，拉力F做的功各是多少？⑴用F緩慢地拉；⑵F為恒力；⑶若F為恒力，而且拉到該位置時小球的速度剛好為零�？晒┻x擇的答案有

A.　 B.　 C.　 D.

解：⑴若用F緩慢地拉，則顯然F為變力，只能用動能定理求解。F做的功等于該過程克服重力做的功。選D

⑵若F為恒力，則可以直接按定義求功。選B

⑶若F為恒力，而且拉到該位置時小球的速度剛好為零，那么按定義直接求功和按動能定理求功都是正確的。選B、D

　　 在第三種情況下，由=，可以得到，可見在擺角為時小球的速度最大。實際上，因為F與mg的合力也是恒力，而繩的拉力始終不做功，所以其效果相當(dāng)于一個擺，我們可以把這樣的裝置叫做“歪擺”。

例題：質(zhì)量為2t的農(nóng)用汽車，發(fā)動機額定功率為30kW，汽車在水平路面行駛時能達到的最大時速為54km/h。若汽車以額定功率從靜止開始加速，當(dāng)其速度達到v=36km/h時的瞬時加速度是多大？　

解析：汽車在水平路面行駛達到最大速度時牽引力F等于阻力f，即P_m=fžv_m，而速度為v時的牽引力F=P_m/v，再利用F-f=ma，可以求得這時的a=0.50m/s²

基本概念	定義	物理意義	表示
功	力與力方向上位移的乘積	力對空間(位移)的積效果	W=F·s cosα
功率	功與做功對應(yīng)時間的比值	做功的快慢	P==F·v·
動能	由于運動具有的能	反映物體處于某運動的快慢時所具有能的多少	Ek=mv2
重力勢能	地球上物體具有的與高度有關(guān)的能	反映物體處于某相對高度時具有能的多少	EB=mgh
彈性勢能	由于發(fā)生彈性形變具有的能	反映彈性形變物體儲藏的勢能及對外做功的能力大小	EB= kx2
機械能	動能和勢能(重力勢能和彈性勢能)統(tǒng)稱機械能	反映機械運動中對外做功能力的大小	E機＝Ek+Ep

基本規(guī)律	內(nèi)容	適用條件	表示
動能定理	外力對物體所做總功等于物體的能的變化量	不管恒力、變力做功；不管直線、曲線運動都適用	W總=Ek2-Ek1 =mv22- mv21
機械能守恒定律	只有重力做功，物體機械能守恒	只有重力做功才適用	E初=E末
能的轉(zhuǎn)化和守恒定律	能量既不能憑空產(chǎn)生，也不能無影無蹤的消失，不同形式的能量在相互轉(zhuǎn)化中守恒	整個自然界，整個宇宙普遍適用	E=C(常數(shù))或 △E=0

1、功：

⑴功的概念：一個物體在力的作用下，如果在力的方向上發(fā)生一段位移，我們就說這個力對物體做了功。這里特別強調(diào)：力和在力的方向上發(fā)生的位移，是做功的兩個不可缺少的因素。

⑵功的公式：力對物體所做的功(W)、等于力的大小(F)、位移的大小(s)、力的方向和位移方向間的夾角的余弦三者的乘積。

⑶功是標(biāo)量：功是由力的大小和位移的大小確定的，它沒有方向，是個標(biāo)量，

⑷功的單位：在國際單位制中，功的單位是焦耳，符號J。1J就1N的力使物體在力的方向上發(fā)生1m位移所做的功。

　　 (請注意千萬不要把力矩的單位與功的單位相混淆)

⑸功的正負(fù)：當(dāng)時F做正功，當(dāng)時F不做功，當(dāng)時F做負(fù)功。

⑹什么叫克服阻力做功：

a.　　　 力對物體做負(fù)功時，通常也可說成是物體克服阻力做功。如剎車時摩擦力對汽車做負(fù)功，意味著汽車克服摩擦力做功；重力對豎直上拋物體做負(fù)功，意味著物體克服重力做功，計算物體克服某個力所做的功時，其值要取絕對值。

b.　　　 另一種是外力克服阻力做功。如我們把一個質(zhì)量為m的物體勻速舉高時。我們必須用一個與物體所受到力G=mg大小相等、方向相反的外力，克服重力做功，物體被舉高為h時，外力克服重力所做的功為W=mgh。

⑺一對作用力和反作用力做功的特點：

①一對作用力和反作用力在同一段時間內(nèi)做的總功可能為正、可能為負(fù)、也可能為零。

②一對互為作用反作用的摩擦力做的總功可能為零(靜摩擦力)、可能為負(fù)(滑動摩擦力)，但不可能為正。

⑻關(guān)于摩擦力或介質(zhì)阻力做功的特點：摩擦力做功的大小是摩擦力與所作用的物體 在力的方向上通過的路程，而非位移。

⑼在兩個接觸面上因相對滑動而產(chǎn)生的熱量：Q=f_滑s_相對，其中f_滑為滑動摩擦力，s_相對為接觸物的相對位移。

2、由動量定理可知I_合＝ΔP，而I_合＝mgt，豎起上拋過程t₂為最大，而mg均相同。所以ΔI₂為最大。正確答案為B

　[小結(jié)] 對于動量變化問題，一般要注意兩點：

　(1)動量是矢量，用初、末狀態(tài)的動量之差求動量變化，一定要注意用矢量的運算法則，即平行四邊形法則。

　(2) 由于矢量的減法較為復(fù)雜，如本題解答中的第一種解法，因此對于初、末狀態(tài)動量不在一條直線上的情況，通常采用動量定理，利用合外力的沖量計算動量變化。如本題解答中的第二種解法，但要注意，利用動量定理求動量變化時，要求合外力一定為恒力。

例題： 向空中發(fā)射一物體．不計空氣阻力，當(dāng)物體的速度恰好沿水平方向時，物體炸裂為a,b兩塊．若質(zhì)量較大的a塊的速度方向仍沿原來的方向則 [ ]

　A．b的速度方向一定與原速度方向相反

　B．從炸裂到落地這段時間里，a飛行的水平距離一定比b的大

　C．a(chǎn)，b一定同時到達地面

　D．炸裂的過程中，a、b中受到的爆炸力的沖量大小一定相等　

　解析： 物體炸裂過程發(fā)生在物體沿水平方向運動時，由于物體沿水平方向不受外力，所以沿水平方向動量守恒，根據(jù)動量守恒定律有：(m_A+m_B)v = m_Av_A+m_Bv_B

　當(dāng)v_A與原來速度v同向時,v_B可能與v_A反向，也可能與v_A同向,第二種情況是由于v_A的大小沒有確定，題目只講的質(zhì)量較大，但若v_A很小，則m_Av_A還可能小于原動量(m_A+m_B)v。這時,v_B的方向會與v_A方向一致，即與原來方向相同所以A不對。

a，　 b兩塊在水平飛行的同時，豎直方向做自由落體運動即做平拋運運動，落地時間由決定。因為h相等，所以勤務(wù)地時間一定相等，所以選項C是正確的

　由于水平飛行距離x = v·t，a、b兩塊炸裂后的速度v_A、v_B不一定相等，而落地時間t又相等，所以水平飛行距離無法比較大小，所以B不對。

　根據(jù)牛頓第三定律，a，b所受爆炸力F_A=－F_B，力的作用時間相等，所以沖量I=F·t的大小一定相等。所以D是正確的。

　此題的正確答案是：C，D。

6． 功和能的關(guān)系

做功的過程是物體能量的轉(zhuǎn)化過程，做了多少功，就有多少能量發(fā)生了變化，功是能量轉(zhuǎn)化的量度．
動能定理	合外力對物體做的功等于物體動能的增量．即
重力做功與重力勢能增量的關(guān)系	重力做正功，重力勢能減少；重力做負(fù)功，重力勢能增加．重力對物體所做的功等于物體重力勢能增量的負(fù)值．即WG=EP1-EP2= -ΔEP
彈力做功與彈性勢能增量的關(guān)系	彈力做正功，彈性勢能減少；彈力做負(fù)功，彈性勢能增加．彈力對物體所做的功等于物體彈性勢能增量的負(fù)值．即W彈力=EP1-EP2= -ΔEP
功能原理	除重力和彈簧的彈力外，其他力對物體做的功等于物體機械能的增量．即 WF=E2-E1=ΔE
機械能守恒定律	在只有重力和彈簧的彈力做功的物體系內(nèi)，動能和勢能可以互相轉(zhuǎn)化，但機械能的總量保持不變．即　 EK2+EP2 = EK1+EP1， 或　 ΔEK = -ΔEP
靜摩擦力做功的 特點	(1)靜摩擦力可以做正功，也可以做負(fù)功，還可以不做功； (2)在靜摩擦力做功的過程中，只有機械能的互相轉(zhuǎn)移，而沒有機械能與其他形式的能的轉(zhuǎn)化，靜摩擦力只起著傳遞機械能的作用； (3)相互摩擦的系統(tǒng)內(nèi)，一對靜摩擦力對系統(tǒng)所做功的和總是等于零．
滑動摩擦力做功的特點	(1)滑動摩擦力可以做正功，也可以做負(fù)功，還可以不做功； (2)相互摩擦的系統(tǒng)內(nèi)，一對滑動摩擦力對系統(tǒng)所做功的和總表現(xiàn)為負(fù)功，其大小為　 W= -fS相對　 (S相對為相互摩擦的物體間的相對位移；若相對運動有往復(fù)性，則S相對為相對運動的路程．) (3)在滑動摩擦力對系統(tǒng)做功的過程中，系統(tǒng)的機械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能，其大小為　 Q= fS相對
一對作用力與反作用力做功的特點	(1)作用力做正功時，反作用力可以做正功，也可以做負(fù)功，還可以不做功；作用力做負(fù)功、不做功時，反作用力亦同樣如此． (2)一對作用力與反作用力對系統(tǒng)所做功的總和可以是正功,也可以是負(fù)功,還可以零．

例題： 質(zhì)量為M的楔形物塊上有圓弧軌道，靜止在水平面上。質(zhì)量為m的小球以速度v₁向物塊運動。不計一切摩擦，圓弧小于90°且足夠長。求小球能上升到的最大高度H 和物塊的最終速度v。解析：

解析：系統(tǒng)水平方向動量守恒，全過程機械能也守恒。

在小球上升過程中，由水平方向系統(tǒng)動量守恒得：

由系統(tǒng)機械能守恒得：　　　 解得

全過程系統(tǒng)水平動量守恒，機械能守恒，得

　　 本題和上面分析的彈性碰撞基本相同，唯一的不同點僅在于重力勢能代替了彈性勢能。

例題：動量分別為5kgžm/s和6kgžm/s的小球A、B沿光滑平面上的同一條直線同向運動，A追上B并發(fā)生碰撞后。若已知碰撞后A的動量減小了2kgžm/s，而方向不變，那么A、B質(zhì)量之比的可能范圍是什么？

解析：A能追上B，說明碰前v_A>v_B,∴；碰后A的速度不大于B的速度， ；又因為碰撞過程系統(tǒng)動能不會增加， ，由以上不等式組解得：

此類碰撞問題要考慮三個因素：①碰撞中系統(tǒng)動量守恒；②碰撞過程中系統(tǒng)動能不增加；③碰前、碰后兩個物體的位置關(guān)系(不穿越)和速度大小應(yīng)保證其順序合理。

例題：設(shè)質(zhì)量為m的子彈以初速度v₀射向靜止在光滑水平面上的質(zhì)量為M的木塊，并留在木塊中不再射出，子彈鉆入木塊深度為d。求木塊對子彈的平均阻力的大小和該過程中木塊前進的距離。

解析：子彈和木塊最后共同運動，相當(dāng)于完全非彈性碰撞。

從動量的角度看，子彈射入木塊過程中系統(tǒng)動量守恒：　

從能量的角度看，該過程系統(tǒng)損失的動能全部轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的內(nèi)能。設(shè)平均阻力大小為f，設(shè)子彈、木塊的位移大小分別為s₁、s₂，如圖所示，顯然有s₁-s₂=d

對子彈用動能定理：　　　　　　　 ……①

對木塊用動能定理：　　　　　　　　　 ……②

①、②相減得： ……③

這個式子的物理意義是：fžd恰好等于系統(tǒng)動能的損失；根據(jù)能量守恒定律，系統(tǒng)動能的損失應(yīng)該等于系統(tǒng)內(nèi)能的增加；可見，即兩物體由于相對運動而摩擦產(chǎn)生的熱(機械能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能)，等于摩擦力大小與兩物體相對滑動的路程的乘積(由于摩擦力是耗散力，摩擦生熱跟路徑有關(guān)，所以這里應(yīng)該用路程，而不是用位移)。

由上式不難求得平均阻力的大�。�

至于木塊前進的距離s₂，可以由以上②、③相比得出：

從牛頓運動定律和運動學(xué)公式出發(fā)，也可以得出同樣的結(jié)論。由于子彈和木塊都在恒力作用下做勻變速運動，位移與平均速度成正比：

　　 一般情況下，所以s₂<<d。這說明，在子彈射入木塊過程中，木塊的位移很小，可以忽略不計。這就為分階段處理問題提供了依據(jù)。象這種運動物體與靜止物體相互作用，動量守恒，最后共同運動的類型，全過程動能的損失量可用公式：…④

　　 當(dāng)子彈速度很大時，可能射穿木塊，這時末狀態(tài)子彈和木塊的速度大小不再相等，但穿透過程中系統(tǒng)動量仍然守恒，系統(tǒng)動能損失仍然是ΔE_K= f žd(這里的d為木塊的厚度)，但由于末狀態(tài)子彈和木塊速度不相等，所以不能再用④式計算ΔE_K的大小。

　　 做這類題目時一定要畫好示意圖，把各種數(shù)量關(guān)系和速度符號標(biāo)在圖上，以免列方程時帶錯數(shù)據(jù)。

　 　以上所列舉的人、船模型的前提是系統(tǒng)初動量為零。如果發(fā)生相互作用前系統(tǒng)就具有一定的動量，那就不能再用m₁v₁=m₂v₂這種形式列方程，而要利用(m₁+m₂)v₀= m₁v₁+ m₂v₂列式。

例題：在距地面高為h，同時以相等初速V₀分別平拋，豎直上拋，豎直下拋一質(zhì)量相等的物體m，當(dāng)它們從拋出到落地時，比較它們的動量的增量△P，有[ ]

　A．平拋過程較大 　　B．豎直上拋過程較大

　C．豎直下拋過程較大 　D．三者一樣大的。

　解析：1．由動量變化圖中可知，△P₂最大，即豎直上拋過程動量增量最大，所以應(yīng)選B。