8.(2008· 江西理，13)直角坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)A(1，2)、B(3，-2)、C(9，7)，若E、F為線段BC的三等分點(diǎn)，則·=　　 .

答案　 22

7.(2008·天津理，14)如圖所示，在平行四邊形ABCD中，

=(1，2)，=(-3，2)，則·=　　 .

答案　 3

6.(2009·成化高級中學(xué)高三期中)已知3a+4b+5c=0,且|a|=|b|=|c|=1,則a·(b+c)=　　　　　 .

答案　

5.已知a，b是非零向量，且滿足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，則a與b的夾角是　　　　 .

答案　

4.若a與b-c都是非零向量，則“a·b=a·c”是“a⊥(b-c)”的　　　　　 條件.

答案　 充要

3.已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=4,且a·b=2,則a與b的夾角為　　　　 .

答案　

2.若向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為60°,則a·b+b·b的值為　　　　 .

答案　 5

1.點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足·=· =·，則點(diǎn)O是△ABC的　　 心.

答案　 垂

12.已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，D為AB的中點(diǎn)，AC=BC=BB₁.求證：

(1)BC₁⊥AB₁；

(2)BC₁∥平面CA₁D.

證明　 如圖所示，以C₁為原點(diǎn)，C₁A₁，C₁B₁，C₁C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)AC=2，由于AC=BC=BB₁，則A(2，0，2)，B(0，2，2)，C(0,0,2),A₁(2，0，0)，B₁(0，2，0)，C₁(0，0，0)，D(1，1，2).

(1)由于=(0，-2，-2)，

=(-2，2，-2)，

所以·=0-4+4=0，因此⊥，

故⊥.

(2)方法一　 取A₁C的中點(diǎn)E，連接DE，由于E(1，0，1)，

所以=(0，1，1)，又=(0，-2，-2)，

所以=-·，又因?yàn)镋D和BC₁不共線，

所以ED∥BC₁，且DE平面CA₁D，BC₁平面CA₁D，

故BC₁∥平面CA₁D.

方法二　 由于=(2，0，-2)，=(1，1，0)，

若設(shè)=x+y，

則得，解得，

即=-2，

所以，，是共面向量，

又因?yàn)锽C₁平面CA₁D，因此BC₁∥平面CA₁D.

方法三　 求出平面CA₁D的法向量n,證明向量⊥n.

設(shè)n=(a,b,1),由于=(2，0，-2)，=(1，1，0)

∴,∴

∴n=(1，-1，1)，又∵=(0，-2，-2)，

∴n·=2-2=0，∴⊥n，

又∵平面CA₁D，∴∥平面CA₁D.

11.在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn).

(1)求證：平面AED⊥平面A₁FD₁；

(2)在AE上求一點(diǎn)M，使得A₁M⊥平面ADE.

(1)證明　 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz，

不妨設(shè)正方體的棱長為2，

則A(2，0，0)，E(2，2，1)，

F(0，1，0)，A₁(2，0，2)，D₁(0，0，2)，

設(shè)平面AED的法向量為n₁=(x₁，y₁，z₁)，

則n₁·=(x₁，y₁，z₁)·(2，0，0)=0，

n₁·=(x₁，y₁，z₁)·(2，2，1)=0，

∴2x₁=0，2x₁+2y₁+z₁=0.

令y₁=1,得n₁=(0,1,-2),

同理可得平面A₁FD₁的法向量n₂=(0,2,1).

∵n₁·n₂=0，∴n₁⊥n₂,

∴平面AED⊥平面A₁FD₁.

(2)解　 由于點(diǎn)M在直線AE上，

設(shè)==(0，2，1)=(0，2，).

可得M(2，2，)，∴=(0，2，-2)，

∵AD⊥A₁M，∴要使A₁M⊥平面ADE，

只需A₁M⊥AE，

∴·=(0，2，-2)·(0，2，1)=5-2=0，

解得=.

故當(dāng)=時，A₁M⊥平面ADE.