3、熱平衡問題

例9　 家電電熱驅(qū)蚊器中電熱部分的主要元件是PTC，它是由鈦酸鋇等半導(dǎo)體材料制成的電阻器，其電阻率與溫度的個(gè)關(guān)系圖象如圖1-13。電熱驅(qū)蚊器的原理是：通電后電阻器開始發(fā)熱，溫度上升，使藥片散發(fā)出驅(qū)蚊藥，當(dāng)電熱器產(chǎn)生的熱與向外散發(fā)的熱平衡時(shí)，溫度達(dá)到一個(gè)穩(wěn)定值。由圖象可以判定：通電后，PTC電阻器的功率變化情況是　　　 ，穩(wěn)定時(shí)的溫度應(yīng)取　　 區(qū)間的某一值。

分析　 通電后應(yīng)認(rèn)為電壓U不變。隨著溫度的升高，在(0~t₁)范圍內(nèi)，電阻率隨溫度的升高而減小，因此電阻減小，電功率增大，驅(qū)蚊器溫度持續(xù)上升；在(t₁~t₂)范圍內(nèi)，電阻率隨溫度的升高而增大，因此電阻增大，電功率減小。當(dāng)電熱器產(chǎn)生的熱與向外散發(fā)的熱平衡時(shí)，溫度、電阻、電功率都穩(wěn)定在某一值。

解答　 功率變化是先增大后減小，最后穩(wěn)定在某一值。這時(shí)溫度應(yīng)在t₁~t₂間。

2、電磁學(xué)中的平衡

(1)電橋平衡

若沒有R，則R₁和R₂串聯(lián)后與R₃和R₄串聯(lián)后再并聯(lián)

設(shè)通過R₁的電流為I₁，通過R₃的電流I₂

如有：I₁R₁=I₂R₃，I₁R₂=I₂R₄　 則R兩端電勢(shì)差為0所以R中的電流為0，即電橋平衡。

(2)靜電平衡

例8　 一金屬球，原來不帶電�，F(xiàn)沿球的直徑的延長(zhǎng)線放置一均勻帶電的細(xì)桿MN，如圖1-12所示。金屬球上感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)在球內(nèi)直徑上、、三點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為、、，三者相比，

A、最大　　 B、最大　　 C、最大　　 D、==

解析：

當(dāng)金屬球在帶電桿激發(fā)的電場(chǎng)中達(dá)到以靜電平衡時(shí)，其內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)為0，即細(xì)桿在、、產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)與金屬球上的感應(yīng)電荷在、、產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向相反，故答案C正確。

1、力學(xué)中的平衡：運(yùn)動(dòng)狀態(tài)未發(fā)生改變，即。表現(xiàn)：靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)

(1)在重力、彈力、摩擦力作用下的平衡

例1　 質(zhì)量為的物體置于動(dòng)摩擦因數(shù)為的水平面上，現(xiàn)對(duì)它施加一個(gè)拉力，使它做勻速直線運(yùn)動(dòng)，問拉力與水平方向成多大夾角時(shí)這個(gè)力最�。�

解析　 取物體為研究對(duì)象，物體受到重力，地面的支持力N，摩擦力及拉力T四個(gè)力作用，如圖1-1所示。

由于物體在水平面上滑動(dòng)，則，將和N合成，得到合力F，由圖知F與的夾角：

不管拉力T方向如何變化，F(xiàn)與水平方向的夾角不變，即F為一個(gè)方向不發(fā)生改變的變力。這顯然屬于三力平衡中的動(dòng)態(tài)平衡問題，由前面討論知，當(dāng)T與F互相垂直時(shí)，T有最小值，即當(dāng)拉力與水平方向的夾角時(shí)，使物體做勻速運(yùn)動(dòng)的拉力T最小。

(2)摩擦力在平衡問題中的表現(xiàn)

這類問題是指平衡的物體受到了包括摩擦力在內(nèi)的力的作用。在共點(diǎn)力平衡中，當(dāng)物體雖然靜止但有運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，屬于靜摩擦力；當(dāng)物體滑動(dòng)時(shí)，屬于動(dòng)摩擦力。由于摩擦力的方向要隨運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的方向的改變而改變，靜摩擦力大小還可在一定范圍內(nèi)變動(dòng)，因此包括摩擦力在內(nèi)的平衡問題常常需要多討論幾種情況，要復(fù)雜一些。因此做這類題目時(shí)要注意兩點(diǎn)

①由于靜摩擦力的大小和方向都要隨運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的改變而改變，因此維持物體靜止?fàn)顟B(tài)所需的外力允許有一定范圍；又由于存在著最大靜摩擦力，所以使物體起動(dòng)所需要的力應(yīng)大于某一最小的力。總之，包含摩擦力在內(nèi)的平衡問題，物體維持靜止或起動(dòng)需要的動(dòng)力的大小是允許在一定范圍內(nèi)的，只有當(dāng)維持勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，外力才需確定的數(shù)值。

②由于滑動(dòng)摩擦力F=，要特別注意題目中正壓力的大小的分析和計(jì)算，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤。

例2　 重力為G的物體A受到與豎直方向成角的外力　　　 F后，靜止在豎直墻面上，如圖1-2所示，試求墻對(duì)物體A的靜摩擦力。

分析與解答　 這是物體在靜摩擦力作用下平衡問題。首先確定研究對(duì)象，對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析，畫出受力圖。A受豎直向下的重力G，外力F，墻對(duì)A水平向右的支持力(彈力)N，以及還可能有靜摩擦力。這里對(duì)靜摩擦力的有無及方向的判斷是極其重要的。物體之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，它們之間就有靜摩擦力；物體間沒有相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，它們之間就沒有靜摩擦力�？梢约僭O(shè)接觸面是光滑的，若不會(huì)相對(duì)運(yùn)動(dòng)，物體將不受靜摩擦力，若有相對(duì)運(yùn)動(dòng)就有靜摩擦力。(注意：這種假設(shè)的方法在研究物理問題時(shí)是常用方法，也是很重要的方法。)具體到這個(gè)題目，在豎直方向物體A受重力G以及外力F的豎直分量，即。當(dāng)接觸面光滑，時(shí)，物體能保持靜止；當(dāng)時(shí)，物體A有向下運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，那么A應(yīng)受到向上的靜摩擦力；當(dāng)時(shí)，物體A則有向上運(yùn)動(dòng)的趨勢(shì)，受到的靜摩擦力的方向向下，因此應(yīng)分三種情況說明。

從這里可以看出，由于靜摩擦力方向能夠改變，數(shù)值也有一定的變動(dòng)范圍，滑動(dòng)摩擦力雖有確定數(shù)值，但方向則隨相對(duì)滑動(dòng)的方向而改變，因此，討論使物體維持某一狀態(tài)所需的外力F的許可范圍和大小是很重要的。何時(shí)用等號(hào)，何時(shí)用不等號(hào)，必須十分注意。

(3)彈性力作用下的平衡問題

例3　 如圖1-3所示，一個(gè)重力為的小環(huán)套在豎直的半徑為的光滑大圓環(huán)上，一勁度系數(shù)為k，自然長(zhǎng)度為L(zhǎng)(L<2r)彈簧的一端固定在小環(huán)上，另一端固定在大圓環(huán)的最高點(diǎn)A。當(dāng)小環(huán)靜止時(shí)，略去彈簧的自重和小環(huán)與大圓環(huán)間的摩擦。求彈簧與豎直方向之間的夾角

分析　 選取小環(huán)為研究對(duì)象，孤立它進(jìn)行受力情況分析：小環(huán)受重力、大圓環(huán)沿半徑方向的支持力N、彈簧對(duì)它的拉力F的作用，顯然，

解法1　 運(yùn)用正交分解法。如圖1-4所示，選取坐標(biāo)系，以小環(huán)所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，過原點(diǎn)沿水平方向?yàn)?sub>軸，沿豎直方向?yàn)?sub>軸。

解得　

解法2　 用相似比法。若物體在三個(gè)力F₁、F₂、F₃作用下處于平衡狀態(tài)，這三個(gè)力必組成首尾相連的三角形F₁、F₂、F₃，題述中恰有三角形AO與它相似，則必有對(duì)應(yīng)邊成比例。

(4)在電場(chǎng)、磁場(chǎng)中的平衡

例4　 如圖1-5所示，勻強(qiáng)電場(chǎng)方向向右，勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，一質(zhì)量為帶電量為q的微粒以速度與磁場(chǎng)垂直、與電場(chǎng)成45˚角射入復(fù)合場(chǎng)中，恰能做勻速直線運(yùn)動(dòng)，求電場(chǎng)強(qiáng)度E的大小，磁感強(qiáng)度B的大小。

解析　 由于帶電粒子所受洛侖茲力與垂直，電場(chǎng)力方向與電場(chǎng)線平行，知粒子必須還受重力才能做勻速直線運(yùn)動(dòng)。假設(shè)粒子帶負(fù)電受電場(chǎng)力水平向左，則它受洛侖茲力就應(yīng)斜向右下與垂直，這樣粒子不能做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以粒子應(yīng)帶正電，畫出受力分析圖根據(jù)合外力為零可得，

　　 (1)　　 　　(2)

由(1)式得，由(1)，(2)得

(5)動(dòng)態(tài)收尾平衡問題

例5　 如圖1-6所示，AB、CD是兩根足夠長(zhǎng)的固定平行金屬導(dǎo)軌，兩導(dǎo)軌間距離為，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為。在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)都有垂直于導(dǎo)軌平面斜向上方的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度為B。在導(dǎo)軌的A、C端連接一個(gè)阻值為R的電阻。一根垂直于導(dǎo)軌放置的金屬棒，質(zhì)量為，從靜止開始沿導(dǎo)軌下滑。求棒的最大速度。(已知和導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為，導(dǎo)軌和金屬棒的電阻不計(jì))

解析　 本題的研究對(duì)象為棒，畫出棒的平面受力圖，如圖1-7。棒所受安培力F沿斜面向上，大小為，則棒下滑的加速度

。

棒由靜止開始下滑，速度不斷增大，安培力F也增大，加速度減小。當(dāng)=0時(shí)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，此后棒做勻速運(yùn)動(dòng)，速度達(dá)最大。

。

解得棒的最大速度

。

例6　 圖1-8是磁流體發(fā)電機(jī)工作原理圖。磁流體發(fā)電機(jī)由燃燒室(O)、發(fā)電通道(E)和偏轉(zhuǎn)磁場(chǎng)(B)組成。在2500K以上的高溫下，燃料與氧化劑在燃燒室混合、燃燒后，電離為正負(fù)離子(即等離子體)，并以每秒幾百米的高速噴入磁場(chǎng)，在洛侖茲力的作用下，正負(fù)離子分別向上、下極板偏轉(zhuǎn)，兩極板因聚積正負(fù)電荷而產(chǎn)生靜電場(chǎng)。這時(shí)等離子體同時(shí)受到方向相反的洛侖茲力()與電場(chǎng)力(F)的作用，當(dāng)F=時(shí)，離子勻速穿過磁場(chǎng)，兩極板電勢(shì)差達(dá)到最大值，即為電源的電動(dòng)勢(shì)。設(shè)兩板間距為d，板間磁場(chǎng)的磁感強(qiáng)度為B，等離子體速度為，負(fù)載電阻為R，電源內(nèi)阻不計(jì)，通道截面是邊長(zhǎng)為d的正方形，試求：

(1)磁流體發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)？

(2)發(fā)電通道兩端的壓強(qiáng)差？

解析　 根據(jù)兩板電勢(shì)差最大值的條件

所以，磁流發(fā)電機(jī)的電動(dòng)勢(shì)為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

設(shè)電源內(nèi)阻不計(jì)，通道橫截面邊長(zhǎng)等于的正方形，且入口處壓強(qiáng)為，出口處的壓強(qiáng)為；當(dāng)開關(guān)S閉合后，發(fā)電機(jī)電功率為

根據(jù)能量的轉(zhuǎn)化和守恒定律有

所以，通道兩端壓強(qiáng)差為

(6)共點(diǎn)的三力平衡的特征規(guī)律

例7　 圖1-9中重物的質(zhì)量為，輕細(xì)線AO和BO的A、B端是固定的，平衡時(shí)AD是水平的，BO與水平的夾角為。AO的拉力F₁和BO的拉力F₂的大小是：

A、　　 B、

C、　　 D、

解析　 如圖1-10，三根細(xì)繩在O點(diǎn)共點(diǎn)，取O點(diǎn)(結(jié)點(diǎn))為研究對(duì)象，分析O點(diǎn)受力如圖1-10。O點(diǎn)受到AO繩的拉力F₁、BO繩的拉力F₂以及重物對(duì)它的拉力T三個(gè)力的作用。

圖1-10(a)選取合成法進(jìn)行研究，將F₁、F₂合成，得到合力F，由平衡條件知：

則：

圖1-10(b)選取分解法進(jìn)行研究，將F₂分解成互相垂直的兩個(gè)分力、，由平衡條件知：

則：

問題：若BO繩的方向不變，則細(xì)線AO與BO繩的方向成幾度角時(shí)，細(xì)線AO的拉力最小？

結(jié)論：共點(diǎn)的三力平衡時(shí)，若有一個(gè)力的大小和方向都不變，另一個(gè)力的方向不變，則第三個(gè)力一定存在著最小值。

(7)動(dòng)中有靜，靜中有動(dòng)問題

如圖1-11所示，質(zhì)量為M的木箱放在水平面上，木箱中的立桿上著一個(gè)質(zhì)量為的小球，開始時(shí)小球在桿的頂端，由靜止釋放后，小球沿桿下滑的加速度為重力加速度的二分之一，則在小球下滑的過程中，木箱對(duì)地面的壓力為。因?yàn)榍蚣铀傧禄瑫r(shí)，桿受向上的摩擦力根據(jù)第二定律有，所以。對(duì)木箱進(jìn)行受力分析有：重力、地面支持力N、及球?qū)�桿向下的摩擦力。由平衡條件有。

7、相似三角形法：利用力的三角形和線段三角形相似。

6、正弦定理法：三力平衡時(shí)，三個(gè)力可構(gòu)成一封閉三角形，若由題設(shè)條件尋找到角度關(guān)系，則可用正弦定理列式求解。

5、對(duì)稱法：利用物理學(xué)中存在的各種對(duì)稱關(guān)系分析問題和處理問題的方法叫做對(duì)稱法。在靜力學(xué)中所研究對(duì)象有些具有對(duì)稱性，模型的對(duì)稱往往反映出物體或系統(tǒng)受力的對(duì)稱性。解題中注意到這一點(diǎn)，會(huì)使解題過程簡(jiǎn)化。

4、矢量三角形法：物體受同一平面內(nèi)三個(gè)互不平行的力作用平衡時(shí)，這三個(gè)力的矢量箭頭首尾相接恰好構(gòu)成三角形，則這三個(gè)力的合力必為零，利用三角形法求得未知力。

3、正交分解法：將各力分解到軸上和軸上，運(yùn)用兩坐標(biāo)軸上的合力等于零的條件多用于三個(gè)以上共點(diǎn)力作用下的物體的平衡。值得注意的是，對(duì)、方向選擇時(shí)，盡可能使落在、軸上的力多；被分解的力盡可能是已知力。

2、力匯交原理：如果一個(gè)物體受三個(gè)不平行外力的作用而平衡，這三個(gè)力的作用線必在同一平面上，而且必有共點(diǎn)力。

1、力的合成、分解法：對(duì)于三力平衡，一般根據(jù)“任意兩個(gè)力的合力與第三力等大反向”的關(guān)系，借助三角函數(shù)、相似三角形等手段求解；或?qū)⒛骋粋�(gè)力分解到另外兩個(gè)力的反方向上，得到這兩個(gè)分力必與另外兩個(gè)力等大、反向；對(duì)于多個(gè)力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。