3、熱平衡問題

例9　 家電電熱驅蚊器中電熱部分的主要元件是PTC，它是由鈦酸鋇等半導體材料制成的電阻器，其電阻率與溫度的個關系圖象如圖1-13。電熱驅蚊器的原理是：通電后電阻器開始發(fā)熱，溫度上升，使藥片散發(fā)出驅蚊藥，當電熱器產生的熱與向外散發(fā)的熱平衡時，溫度達到一個穩(wěn)定值。由圖象可以判定：通電后，PTC電阻器的功率變化情況是　　　 ，穩(wěn)定時的溫度應取　　 區(qū)間的某一值。

分析　 通電后應認為電壓U不變。隨著溫度的升高，在(0~t₁)范圍內，電阻率隨溫度的升高而減小，因此電阻減小，電功率增大，驅蚊器溫度持續(xù)上升；在(t₁~t₂)范圍內，電阻率隨溫度的升高而增大，因此電阻增大，電功率減小。當電熱器產生的熱與向外散發(fā)的熱平衡時，溫度、電阻、電功率都穩(wěn)定在某一值。

解答　 功率變化是先增大后減小，最后穩(wěn)定在某一值。這時溫度應在t₁~t₂間。

2、電磁學中的平衡

(1)電橋平衡

若沒有R，則R₁和R₂串聯后與R₃和R₄串聯后再并聯

設通過R₁的電流為I₁，通過R₃的電流I₂

如有：I₁R₁=I₂R₃，I₁R₂=I₂R₄　 則R兩端電勢差為0所以R中的電流為0，即電橋平衡。

(2)靜電平衡

例8　 一金屬球，原來不帶電�，F沿球的直徑的延長線放置一均勻帶電的細桿MN，如圖1-12所示。金屬球上感應電荷產生的電場在球內直徑上、、三點的場強大小分別為、、，三者相比，

A、最大　　 B、最大　　 C、最大　　 D、==

解析：

當金屬球在帶電桿激發(fā)的電場中達到以靜電平衡時，其內部的場強為0，即細桿在、、產生的場強與金屬球上的感應電荷在、、產生的場強大小相等，方向相反，故答案C正確。

1、力學中的平衡：運動狀態(tài)未發(fā)生改變，即。表現：靜止或勻速直線運動

(1)在重力、彈力、摩擦力作用下的平衡

例1　 質量為的物體置于動摩擦因數為的水平面上，現對它施加一個拉力，使它做勻速直線運動，問拉力與水平方向成多大夾角時這個力最��？

解析　 取物體為研究對象，物體受到重力，地面的支持力N，摩擦力及拉力T四個力作用，如圖1-1所示。

由于物體在水平面上滑動，則，將和N合成，得到合力F，由圖知F與的夾角：

不管拉力T方向如何變化，F與水平方向的夾角不變，即F為一個方向不發(fā)生改變的變力。這顯然屬于三力平衡中的動態(tài)平衡問題，由前面討論知，當T與F互相垂直時，T有最小值，即當拉力與水平方向的夾角時，使物體做勻速運動的拉力T最小。

(2)摩擦力在平衡問題中的表現

這類問題是指平衡的物體受到了包括摩擦力在內的力的作用。在共點力平衡中，當物體雖然靜止但有運動趨勢時，屬于靜摩擦力；當物體滑動時，屬于動摩擦力。由于摩擦力的方向要隨運動或運動趨勢的方向的改變而改變，靜摩擦力大小還可在一定范圍內變動，因此包括摩擦力在內的平衡問題常常需要多討論幾種情況，要復雜一些。因此做這類題目時要注意兩點

①由于靜摩擦力的大小和方向都要隨運動趨勢的改變而改變，因此維持物體靜止狀態(tài)所需的外力允許有一定范圍；又由于存在著最大靜摩擦力，所以使物體起動所需要的力應大于某一最小的力�？傊Σ亮υ趦鹊钠胶鈫栴}，物體維持靜止或起動需要的動力的大小是允許在一定范圍內的，只有當維持勻速運動時，外力才需確定的數值。

②由于滑動摩擦力F=，要特別注意題目中正壓力的大小的分析和計算，防止出現錯誤。

例2　 重力為G的物體A受到與豎直方向成角的外力　　　 F后，靜止在豎直墻面上，如圖1-2所示，試求墻對物體A的靜摩擦力。

分析與解答　 這是物體在靜摩擦力作用下平衡問題。首先確定研究對象，對研究對象進行受力分析，畫出受力圖。A受豎直向下的重力G，外力F，墻對A水平向右的支持力(彈力)N，以及還可能有靜摩擦力。這里對靜摩擦力的有無及方向的判斷是極其重要的。物體之間有相對運動趨勢時，它們之間就有靜摩擦力；物體間沒有相對運動趨勢時，它們之間就沒有靜摩擦力�？梢约僭O接觸面是光滑的，若不會相對運動，物體將不受靜摩擦力，若有相對運動就有靜摩擦力。(注意：這種假設的方法在研究物理問題時是常用方法，也是很重要的方法。)具體到這個題目，在豎直方向物體A受重力G以及外力F的豎直分量，即。當接觸面光滑，時，物體能保持靜止；當時，物體A有向下運動的趨勢，那么A應受到向上的靜摩擦力；當時，物體A則有向上運動的趨勢，受到的靜摩擦力的方向向下，因此應分三種情況說明。

從這里可以看出，由于靜摩擦力方向能夠改變，數值也有一定的變動范圍，滑動摩擦力雖有確定數值，但方向則隨相對滑動的方向而改變，因此，討論使物體維持某一狀態(tài)所需的外力F的許可范圍和大小是很重要的。何時用等號，何時用不等號，必須十分注意。

(3)彈性力作用下的平衡問題

例3　 如圖1-3所示，一個重力為的小環(huán)套在豎直的半徑為的光滑大圓環(huán)上，一勁度系數為k，自然長度為L(L<2r)彈簧的一端固定在小環(huán)上，另一端固定在大圓環(huán)的最高點A。當小環(huán)靜止時，略去彈簧的自重和小環(huán)與大圓環(huán)間的摩擦。求彈簧與豎直方向之間的夾角

分析　 選取小環(huán)為研究對象，孤立它進行受力情況分析：小環(huán)受重力、大圓環(huán)沿半徑方向的支持力N、彈簧對它的拉力F的作用，顯然，

解法1　 運用正交分解法。如圖1-4所示，選取坐標系，以小環(huán)所在位置為坐標原點，過原點沿水平方向為軸，沿豎直方向為軸。

解得　

解法2　 用相似比法。若物體在三個力F₁、F₂、F₃作用下處于平衡狀態(tài)，這三個力必組成首尾相連的三角形F₁、F₂、F₃，題述中恰有三角形AO與它相似，則必有對應邊成比例。

(4)在電場、磁場中的平衡

例4　 如圖1-5所示，勻強電場方向向右，勻強磁場方向垂直于紙面向里，一質量為帶電量為q的微粒以速度與磁場垂直、與電場成45˚角射入復合場中，恰能做勻速直線運動，求電場強度E的大小，磁感強度B的大小。

解析　 由于帶電粒子所受洛侖茲力與垂直，電場力方向與電場線平行，知粒子必須還受重力才能做勻速直線運動。假設粒子帶負電受電場力水平向左，則它受洛侖茲力就應斜向右下與垂直，這樣粒子不能做勻速直線運動，所以粒子應帶正電，畫出受力分析圖根據合外力為零可得，

　　 (1)　　 　　(2)

由(1)式得，由(1)，(2)得

(5)動態(tài)收尾平衡問題

例5　 如圖1-6所示，AB、CD是兩根足夠長的固定平行金屬導軌，兩導軌間距離為，導軌平面與水平面的夾角為。在整個導軌平面內都有垂直于導軌平面斜向上方的勻強磁場，磁感強度為B。在導軌的A、C端連接一個阻值為R的電阻。一根垂直于導軌放置的金屬棒，質量為，從靜止開始沿導軌下滑。求棒的最大速度。(已知和導軌間的動摩擦因數為，導軌和金屬棒的電阻不計)

解析　 本題的研究對象為棒，畫出棒的平面受力圖，如圖1-7。棒所受安培力F沿斜面向上，大小為，則棒下滑的加速度

。

棒由靜止開始下滑，速度不斷增大，安培力F也增大，加速度減小。當=0時達到穩(wěn)定狀態(tài)，此后棒做勻速運動，速度達最大。

。

解得棒的最大速度

。

例6　 圖1-8是磁流體發(fā)電機工作原理圖。磁流體發(fā)電機由燃燒室(O)、發(fā)電通道(E)和偏轉磁場(B)組成。在2500K以上的高溫下，燃料與氧化劑在燃燒室混合、燃燒后，電離為正負離子(即等離子體)，并以每秒幾百米的高速噴入磁場，在洛侖茲力的作用下，正負離子分別向上、下極板偏轉，兩極板因聚積正負電荷而產生靜電場。這時等離子體同時受到方向相反的洛侖茲力()與電場力(F)的作用，當F=時，離子勻速穿過磁場，兩極板電勢差達到最大值，即為電源的電動勢。設兩板間距為d，板間磁場的磁感強度為B，等離子體速度為，負載電阻為R，電源內阻不計，通道截面是邊長為d的正方形，試求：

(1)磁流體發(fā)電機的電動勢？

(2)發(fā)電通道兩端的壓強差？

解析　 根據兩板電勢差最大值的條件

所以，磁流發(fā)電機的電動勢為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

設電源內阻不計，通道橫截面邊長等于的正方形，且入口處壓強為，出口處的壓強為；當開關S閉合后，發(fā)電機電功率為

根據能量的轉化和守恒定律有

所以，通道兩端壓強差為

(6)共點的三力平衡的特征規(guī)律

例7　 圖1-9中重物的質量為，輕細線AO和BO的A、B端是固定的，平衡時AD是水平的，BO與水平的夾角為。AO的拉力F₁和BO的拉力F₂的大小是：

A、　　 B、

C、　　 D、

解析　 如圖1-10，三根細繩在O點共點，取O點(結點)為研究對象，分析O點受力如圖1-10。O點受到AO繩的拉力F₁、BO繩的拉力F₂以及重物對它的拉力T三個力的作用。

圖1-10(a)選取合成法進行研究，將F₁、F₂合成，得到合力F，由平衡條件知：

則：

圖1-10(b)選取分解法進行研究，將F₂分解成互相垂直的兩個分力、，由平衡條件知：

則：

問題：若BO繩的方向不變，則細線AO與BO繩的方向成幾度角時，細線AO的拉力最�。�

結論：共點的三力平衡時，若有一個力的大小和方向都不變，另一個力的方向不變，則第三個力一定存在著最小值。

(7)動中有靜，靜中有動問題

如圖1-11所示，質量為M的木箱放在水平面上，木箱中的立桿上著一個質量為的小球，開始時小球在桿的頂端，由靜止釋放后，小球沿桿下滑的加速度為重力加速度的二分之一，則在小球下滑的過程中，木箱對地面的壓力為。因為球加速下滑時，桿受向上的摩擦力根據第二定律有，所以。對木箱進行受力分析有：重力、地面支持力N、及球對桿向下的摩擦力。由平衡條件有。

7、相似三角形法：利用力的三角形和線段三角形相似。

6、正弦定理法：三力平衡時，三個力可構成一封閉三角形，若由題設條件尋找到角度關系，則可用正弦定理列式求解。

5、對稱法：利用物理學中存在的各種對稱關系分析問題和處理問題的方法叫做對稱法。在靜力學中所研究對象有些具有對稱性，模型的對稱往往反映出物體或系統(tǒng)受力的對稱性。解題中注意到這一點，會使解題過程簡化。

4、矢量三角形法：物體受同一平面內三個互不平行的力作用平衡時，這三個力的矢量箭頭首尾相接恰好構成三角形，則這三個力的合力必為零，利用三角形法求得未知力。

3、正交分解法：將各力分解到軸上和軸上，運用兩坐標軸上的合力等于零的條件多用于三個以上共點力作用下的物體的平衡。值得注意的是，對、方向選擇時，盡可能使落在、軸上的力多；被分解的力盡可能是已知力。

2、力匯交原理：如果一個物體受三個不平行外力的作用而平衡，這三個力的作用線必在同一平面上，而且必有共點力。

1、力的合成、分解法：對于三力平衡，一般根據“任意兩個力的合力與第三力等大反向”的關系，借助三角函數、相似三角形等手段求解；或將某一個力分解到另外兩個力的反方向上，得到這兩個分力必與另外兩個力等大、反向；對于多個力的平衡，利用先分解再合成的正交分解法。