3. 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

　　 例3　 已知：如圖3，梯形ABCD中，AD//BC，對角線，M、N為底邊BC的三等分點，且BC=3AD，AM與BD交于點G，AC與DN交于點H。求證：四邊形AGHD是菱形。

　　 證明：因為BC=3AD

　　 M、N是BC的三等分點

　　 又1=2

　　 所以四邊形AGHD是平行四邊形

　　 又，所以四邊形AGHD是菱形。

2. 鄰邊相等的平行四邊形一定是菱形

　　 例2　 已知：如圖2，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，M、N分別是AD、BC的中點，E、F分別是BM、CM的中點。求證：四邊形MENF是菱形。

　　 證明：因為E是BM的中點，N是BC的中點，F(xiàn)是CM的中點

1. 證明四邊形的四條邊相等

　　 例1　 已知：如圖1，C是線段BD上一點，和都是等邊三角形，R、F、G、H分別是四邊形ABDE各邊的中點。求證：四邊形RFGH是菱形。

　　 證明：連結(jié)AD、BE

　　 因為和都是等邊三角形

　　 所以

　　 故四邊形RFGH是菱形

　　 例3. 設(shè)。

　　 試求：的值(用含m、n的式子表示)。

　　 分析：

　　 運用等比性質(zhì)可得：

　　 而條件中又告知：

　　 運用同樣的方法可得：

　 　編者語：以上三例我們用等比性質(zhì)，很簡捷地得出了結(jié)果。如用常規(guī)辦法，每題都很繁雜。但是用此法的關(guān)鍵是要熟記等比性質(zhì)，且能靈活應(yīng)用。

　　 例1. 化簡

　　 分析：注意到

　　 所以由等比性質(zhì)可得原式的被開方數(shù)為，故原式

　　 例2. 化簡

　　 分析：

3. 作射線OC，OC就是AOB的平分線。

　　 分析　 該作圖聯(lián)系了兩直線平行內(nèi)錯角相等和等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)。

　　 證明　 由作法，知DC//OA

　　 所以DCO=AOC

　　 又DC=DO

　　 所以DCO=DOC，AOC=DOC

　 以上幾種角平分線的尺規(guī)作圖方法，都是由幾何證明題改編而成的，可激發(fā)同學(xué)們學(xué)習(xí)幾何的興趣，開拓思路，增進(jìn)知識的橫縱聯(lián)系，鞏固基礎(chǔ)，培養(yǎng)動腦動手能力。

2. 在DE上取DC=DO。

1. 如圖5，過邊OB上任意一點D作OA邊的平行線DE。

4. 作射線OC，OC就是AOB的平分線。

　　 證明　 因為OD=OE，C是DE的中點，所以O(shè)C是等腰底邊DE的中線，也是高線，也是頂角AOB的平分線。

　　 注　 在學(xué)習(xí)等腰三角形性質(zhì)時，可插入該作圖方法，使學(xué)生加深對等腰三角形底邊上的中線，高線，頂角平分線，三線合一的理解。該作圖取線段DE的中點C應(yīng)運用線段垂直平分線的基本作法來解決，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力，提高基本作圖技能。

　　 作法5　

3. 取DE的中點C。