31、(2009年四川卷)25．如圖所示，輕彈簧一端連于固定點O，可在豎直平面內自由轉動，另一端連接一帶電小球P，其質量m=2×10^-2 kg，電荷量q=0.2 C。將彈簧拉至水平后，以初速度V₀=20 m/s豎直向下射出小球P，小球P到達O點的正下方O₁點時速度恰好水平，其大小V=15 m/s。.若O、O₁相距R=1.5 m,小球P在O₁點與另一由細繩懸掛的、不帶電的、質量M=1.6×10^-1 kg的靜止絕緣小球N相碰。碰后瞬間，小球P脫離彈簧，小球N脫離細繩，同時在空間加上豎直向上的勻強電場E和垂直于紙面的磁感應強度B=1T的弱強磁場。此后，小球P在豎直平面內做半徑r=0.5 m的圓周運動。小球P、N均可視為質點，小球P的電荷量保持不變，不計空氣阻力，取g=10 m/s²。那么，

(1)彈簧從水平擺至豎直位置的過程中，其彈力做功為多少？

(2)請通過計算并比較相關物理量，判斷小球P、N碰撞后能否在某一時刻具有相同的速度。

　(3)若題中各量為變量，在保證小球P、N碰撞后某一時刻具有相同速度的前提下，請推導出r的表達式(要求用B、q、m、θ表示，其中θ為小球N的運動速度與水平方向的夾角)。

[解析](1)設彈簧的彈力做功為W，有：　

　　　　　�、�

代入數(shù)據(jù)，得：W＝J　　　　　�、�

(2)由題給條件知，N碰后作平拋運動，P所受電場力和重力平衡，P帶正電荷。設P、N碰后的速度大小分別為v₁和V，并令水平向右為正方向，有： 　　③

而： 　　　　　　�、�

若P、N碰后速度同向時，計算可得V<v₁，這種碰撞不能實現(xiàn)。P、N碰后瞬時必為反向運動。有： 　　　　�、�

P、N速度相同時，N經過的時間為，P經過的時間為。設此時N的速度V₁的方向與水平方向的夾角為，有：

　　　　　　　　　　 ⑥

　　　　�、�

代入數(shù)據(jù)，得： 　　　　�、�

對小球P，其圓周運動的周期為T，有：

　　　　　　　　　 ⑨

經計算得： ＜T，

P經過時，對應的圓心角為，有： 　⑩

當B的方向垂直紙面朝外時，P、N的速度相同，如圖可知，有：

聯(lián)立相關方程得：

比較得， ，在此情況下，P、N的速度在同一時刻不可能相同。

當B的方向垂直紙面朝里時，P、N的速度相同，同樣由圖，有： ，

同上得： ，

比較得， ，在此情況下，P、N的速度在同一時刻也不可能相同。

(3)當B的方向垂直紙面朝外時，設在t時刻P、N的速度相同， ，

再聯(lián)立④⑦⑨⑩解得：

當B的方向垂直紙面朝里時，設在t時刻P、N的速度相同，

同理得： ，

考慮圓周運動的周期性，有:

(給定的B、q、r、m、等物理量決定n的取值)

30、(2009年浙江卷)24．某校物理興趣小組決定舉行遙控塞車比賽。比賽路徑如圖所示，賽車從起點A出發(fā)，沿水平直線軌道運動L后，出B點進入半徑為R的光滑豎直圓軌道，離開豎直圓軌道后繼續(xù)在光滑平直軌道上運動到C點，并能越過壕溝。已知賽車質量m＝0.1kg，通電后以額定功率ρ＝1.5W工作，進入豎直圓軌道前受到的阻值為0.3N，隨后在運動中受到的阻力均可不計。圖中L＝10.00m，R=0.32m，h＝1.25m,S＝1.50m。問：要使賽車完成比賽，電動機至少工作多長時間？(取g＝10 m/s²)

答案2.53s

[解析] 設賽車越過壕溝需要的最小速度為v₁，由平拋運動的規(guī)律

解得　　　　　

設賽車恰好越過圓軌道，對應圓軌道最高點的速度為v₂，最低點的速度為v₃，由牛頓第二定律及機械能守恒定律

解得　　 　　　　　　　　　m/s

通過分析比較，賽車要完成比賽，在進入圓軌道前的速度最小應該是

　　　　　　　　　　　　　 m/s

設電動機工作時間至少為t，根據(jù)功能原理

由此可得　　　　　　　　　 t=2.53s

29、(2009年福建卷)20．如圖所示，射擊槍水平放置，射擊槍與目標靶中心位于離地面足夠高的同一水平線上，槍口與目標靶之間的距離s=100 m，子彈射出的水平速度v=200m/s，子彈從槍口射出的瞬間目標靶由靜止開始釋放，不計空氣阻力，取重力加速度g為10 m/s²，求：

(1)從子彈由槍口射出開始計時，經多長時間子彈擊中目標靶？

(2)目標靶由靜止開始釋放到被子彈擊中，下落的距離h為多少？

答案(1)0.5s(2)1.25m

[解析](1)子彈做平拋運動，它在水平方向的分運動是勻速直線運動，設子彈經t時間集中目標靶，則

　　 t=

　　 代入數(shù)據(jù)得

　　 t=0.5s

　　 (2)目標靶做自由落體運動，則h=

代入數(shù)據(jù)得 h=1.25m

28、(2009年安徽卷)24．過山車是游樂場中常見的設施。下圖是一種過山車的簡易模型，它由水平軌道和在豎直平面內的三個圓形軌道組成，B、C、D分別是三個圓形軌道的最低點，B、C間距與C、D間距相等，半徑R₁=2.0m、R₂=1.4m。一個質量為m=1.0kg的小球(視為質點)，從軌道的左側A點以v₀=12.0m/s的初速度沿軌道向右運動，A、B間距L₁=6.0m。小球與水平軌道間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，圓形軌道是光滑的。假設水平軌道足夠長，圓形軌道間不相互重疊。重力加速度取g=10m/s²，計算結果保留小數(shù)點后一位數(shù)字。試求

　 (1)小球在經過第一個圓形軌道的最高點時，軌道對小球作用力的大��；

　 (2)如果小球恰能通過第二圓形軌道，B、C間距應是多少；

　 (3)在滿足(2)的條件下，如果要使小球不能脫離軌道，在第三個圓形軌道的設計中，半徑R₃應滿足的條件；小球最終停留點與起點的距離。

答案：(1)10.0N；(2)12.5m

(3) 當時， ；當時，

[解析](1)設小于經過第一個圓軌道的最高點時的速度為v₁根據(jù)動能定理

　　　　　　　 　　�、�

　 小球在最高點受到重力mg和軌道對它的作用力F，根據(jù)牛頓第二定律

　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

由①②得　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　③

(2)設小球在第二個圓軌道的最高點的速度為v₂，由題意

　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

　　　　　　　 　　　　　　　　⑤

由④⑤得　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

(3)要保證小球不脫離軌道，可分兩種情況進行討論：

I．軌道半徑較小時，小球恰能通過第三個圓軌道，設在最高點的速度為v₃，應滿足

　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

　　　　　　　　 　　　　　　　�、�

由⑥⑦⑧得　　　　　　

II．軌道半徑較大時，小球上升的最大高度為R₃，根據(jù)動能定理

解得　　　　　　　　　

為了保證圓軌道不重疊，R₃最大值應滿足　

解得　　　　　　　 R₃=27.9m

綜合I、II，要使小球不脫離軌道，則第三個圓軌道的半徑須滿足下面的條件

或　　　　　　　

當時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L′，則

當時，小球最終焦停留點與起始點A的距離為L〞，則

27、(2009年天津卷)12．2008年12月，天文學家們通過觀測的數(shù)據(jù)確認了銀河系中央的黑洞“人馬座A*”的質量與太陽質量的倍數(shù)關系。研究發(fā)現(xiàn)，有一星體S2繞人馬座A*做橢圓運動，其軌道半長軸為9.5010²天文單位(地球公轉軌道的半徑為一個天文單位)，人馬座A*就處在該橢圓的一個焦點上。觀測得到S2星的運行周期為15.2年。

(1)　　 若將S2星的運行軌道視為半徑r=9.5010²天文單位的圓軌道，試估算人馬座A*的質量M_A是太陽質量M_s的多少倍(結果保留一位有效數(shù)字)；

(2)　　 黑洞的第二宇宙速度極大，處于黑洞表面的粒子即使以光速運動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛。由于引力的作用，黑洞表面處質量為m的粒子具有勢能為E_p=-G(設粒子在離黑洞無限遠處的勢能為零)，式中M、R分別表示黑洞的質量和半徑。已知引力常量G=6.710^-11N·m²/kg²，光速c=3.010⁸m/s，太陽質量M_s=2.010³⁰kg，太陽半徑R_s=7.010⁸m，不考慮相對論效應，利用上問結果，在經典力學范圍內求人馬座A*的半徑R_A與太陽半徑之比應小于多少(結果按四舍五入保留整數(shù))。

答案：(1)，(2)

[解析](1)S2星繞人馬座A^*做圓周運動的向心力由人馬座A^*對S2星的萬有引力提供，設S2星的質量為m_S2，角速度為ω，周期為T，則

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　①

　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　②

設地球質量為m_E，公轉軌道半徑為r_E，周期為T_E，則　 　�、�

綜合上述三式得

　　　 式中　　　　 T_E=1年　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　④

　　　　　　　　 r_E=1天文單位　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ⑤

　　　 代入數(shù)據(jù)可得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

　　　 (2)引力對粒子作用不到的地方即為無限遠，此時料子的勢能為零。“處于黑洞表面的粒子即使以光速運動，其具有的動能也不足以克服黑洞對它的引力束縛”，說明了黑洞表面處以光速運動的粒子在遠離黑洞的過程中克服引力做功，粒子在到達無限遠之前，其動能便減小為零，此時勢能仍為負值，則其能量總和小于零，則有　 　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

依題意可知　　　 ，

可得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

代入數(shù)據(jù)得 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　⑨

　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、�

26、(2009年天津卷)11．如圖所示，直角坐標系xOy位于豎直平面內，在水平的x軸下方存在勻強磁場和勻強電場，磁場的磁感應為B,方向垂直xOy平面向里，電場線平行于y軸。一質量為m、電荷量為q的帶正電的小球，從y軸上的A點水平向右拋出，經x軸上的M點進入電場和磁場，恰能做勻速圓周運動，從x軸上的N點第一次離開電場和磁場，MN之間的距離為L，小球過M點時的速度方向與x軸的方向夾角為。不計空氣阻力，重力加速度為g，求

(1)　　 電場強度E的大小和方向；

(2)　　 小球從A點拋出時初速度v₀的大��；

(3)　　 A點到x軸的高度h.

答案：(1)，方向豎直向上　 (2)　　　 (3)

[解析](1)小球在電場、磁場中恰能做勻速圓周運動，說明電場力和重力平衡(恒力不能充當圓周運動的向心力)，有　　　　　　　　 　　　　　　　�、�

　　　　　　　　 ②

重力的方向豎直向下，電場力方向只能向上，由于小球帶正電，所以電場強度方向豎直向上。

(2)小球做勻速圓周運動，O′為圓心，MN為弦長，，如圖所示。設半徑為r，由幾何關系知　　　　　　 　　　　　　　　　　　　�、�

小球做勻速圓周運動的向心力由洛侖茲力白日提供，設小球做圓周運動的速率為v，有　　　　　 　　　　　　　　④

　　　 由速度的合成與分解知 　　　　　　　�、�

由③④⑤式得　　　　 　　　　　　⑥

(3)設小球到M點時的豎直分速度為v_y，它與水平分速度的關系為

　　　　　　　　　　　 　　　　　　　⑦

由勻變速直線運動規(guī)律　 　　　　　　　　⑧

由⑥⑦⑧式得　　　 　　　　　　　　�、�

25、(2009年北京卷)22．已知地球半徑為R，地球表面重力加速度為g，不考慮地球自轉的影響。

(1)推到第一宇宙速度v₁的表達式；

(2)若衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，運行軌道距離地面高度為h，求衛(wèi)星的運行周期T。

答案：(1)(2)

[解析](1)設衛(wèi)星的質量為m，地球的質量為M，

在地球表面附近滿足

得　　 　　　�、�

衛(wèi)星做圓周運動的向心力等于它受到的萬有引力

　 　　�、�

①式代入②式，得到

(2)考慮①式，衛(wèi)星受到的萬有引力為

　　　　 　　 ③

由牛頓第二定律 　　 ④

③、④聯(lián)立解得

24、(2009年全國卷Ⅱ)26．如圖，P、Q為某地區(qū)水平地面上的兩點，在P點正下方一球形區(qū)域內儲藏有石油，假定區(qū)域周圍巖石均勻分布，密度為ρ石油密度遠小于ρ，可將上述球形區(qū)域視為空腔。如果沒有這一空腔，則該地區(qū)重力加速度(正常值)沿豎直方向，當存在空腔時，該地區(qū)重力加速度的大小和方向會與正常情況有微小偏高，重力回速度在原豎直方向(即PO方向)上的投影相對于正常值的偏離叫做“重力加速度反常”。為了探尋石油區(qū)域的位置和石油儲量，常利用P點到附近重力加速度反常現(xiàn)象，已知引力常數(shù)為G

(1)設球形空腔體積為V，球心深度為d(遠小于地球半徑)，求空腔所引起的Q點處的重力加速度反常

(2)若在水平地面上半徑L的范圍內發(fā)現(xiàn)：重力加速度反常值在δ與kδ(k>1)之間變化,且重力加速度反常的最大值出現(xiàn)在半為L的范圍的中心，如果這種反常是于地下存在某一球形空腔造成的，試求此球形空腔球心的深度和空腔的體積

答案(1)

(2),

[解析](1)如果將近地表的球形空腔填滿密度為的巖石，則該地區(qū)重力加速度便回到正常值。因此，重力加速度反�？赏ㄟ^填充后的球形區(qū)域產生的附加引力………①來計算，式中的m是Q點處某質點的質量,M是填充后球形區(qū)域的質量,……………②

而r是球形空腔中心O至Q點的距離………③在數(shù)值上等于由于存在球形空腔所引起的Q點處重力加速度改變的大小。Q點處重力加速度改變的方向沿OQ方向，重力加速度反常是這一改變在豎直方向上的投影………④聯(lián)立以上式子得

,…………⑤

(2)由⑤式得,重力加速度反常的最大值和最小值分別為……⑥

……………⑦由提設有、……⑧

聯(lián)立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的體積分別為

,

23、(2009年廣東文科基礎)59．關于萬有引力及其應用，下列表述正確的是

A．人造地球衛(wèi)星運行時不受地球引力作用

B．兩物體間的萬有引力跟它們質量的乘積成反比

C．兩物體間的萬有引力跟它們的距離成反比

D．人造衛(wèi)星在地面附近繞地球作勻速圓周運動所必須具有的速度，稱為第一宇宙速度

答案：D

[解析]重力是由于地球吸引而是物體受到的力，人造地球衛(wèi)星運行時也受到地球的吸引，A錯；根據(jù)萬有引力公式F＝可知兩物體間的萬有引力跟它們質量的乘積成正比、跟它們之間距離的平方成反比，B、C錯；近地衛(wèi)星的速度等于第一宇宙速度，D對。

22、(2009年廣東文科基礎)57．如圖8所示，用一輕繩系一小球懸于O點�，F(xiàn)將小球拉至水平位置，然后釋放，不計阻力。小球下落到最低點的過程中，下列表述正確的是

A．小球的機械能守恒

B．小球所受的合力不變

C．小球的動能不斷減小

D．小球的重力勢能增加

答案：A

[解析]小球釋放后作圓周運動，受到細繩指向圓心的拉力F和豎直向下的大小不變的重力G，因為F始終指向O點，則合力始終變化，B錯；F始終和速度垂直、不做功，則小球只有重力做功、機械能守恒，A對；小球的重力作正功，應用動能定理可知小球動能增加，C錯；小球向下運動，位置降低(或重力作正功)、重力勢能減小，D錯。