4．空間四邊形的邊AB 、BC 、CD 、DA 的中點(diǎn)分別是E 、F 、G 、H ，若兩條對(duì)角線(xiàn)BD 、AC 的長(zhǎng)分別為2和4，則EG²+HF² 的值(　　 )．

A．5　B．10　　　 C．20　　　 D．40

3．若一直線(xiàn)和一個(gè)平面平行，夾在直線(xiàn)和平面間的兩條線(xiàn)段相等，那么這兩條線(xiàn)段的位置關(guān)系是(　　 )．

　A．平行　B．相交　C．異面　D．平行、相交或異面

2．一個(gè)面截空間四邊形的四邊得到四個(gè)交點(diǎn)，如果該空間四邊形僅有一條對(duì)角線(xiàn)與這個(gè)截面平行，那么此四個(gè)交點(diǎn)圍成的四邊形是(　　)．

　A．梯形　B．任意四邊形　C．平行四邊形　D．菱形

1．設(shè)a ，b 是空間兩條垂直的直線(xiàn)，且b∥平面　 ．則在“a∥平面 ”、“a ”、“a與相交”這三種情況中，能夠出現(xiàn)的情況有(　　 )．

　A．0個(gè)　B．1　C．2個(gè)　D．3個(gè)

[例1]已知平面∥平面，直線(xiàn)平面,點(diǎn)P直線(xiàn),平面、間的距離為8，則在內(nèi)到點(diǎn)P的距離為10，且到的距離為9的點(diǎn)的軌跡是(　 )

A.一個(gè)圓　　 B.四個(gè)點(diǎn)　　 C.兩條直線(xiàn)　　　 D .兩個(gè)點(diǎn)

錯(cuò)解：A.

錯(cuò)因：學(xué)生對(duì)點(diǎn)線(xiàn)距離、線(xiàn)線(xiàn)距離、面面距離的關(guān)系掌握不牢.

正解：B.　

[例2] a和b為異面直線(xiàn)，則過(guò)a與b垂直的平面(　　 ).

　 A．有且只有一個(gè)　　　　　　　　 B．一個(gè)面或無(wú)數(shù)個(gè)

　 C．可能不存在　　　　　　　　　 D．可能有無(wú)數(shù)個(gè)

錯(cuò)解：A.

錯(cuò)因：過(guò)a與b垂直的平面條件不清.

正解：C.

[例3]由平面外一點(diǎn)P引平面的三條相等的斜線(xiàn)段，斜足分別為A,B,C，O為⊿ABC的外心，求證：.

錯(cuò)解：因?yàn)镺為⊿ABC的外心，所以O(shè)A＝OB＝OC，又因?yàn)镻A＝PB＝PC，PO公用，所以⊿POA，⊿POB，⊿POC都全等，所以POA＝POB＝POC＝，所以.

錯(cuò)因：上述解法中POA＝POB＝POC＝RT，是對(duì)的，但它們?yōu)槭裁词侵苯悄�？這里缺少必要的證明.

正解：取BC的中點(diǎn)D，連PD、OD，

[例4]如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=3，AA₁=4,M為AA₁的中點(diǎn)，P是BC上一點(diǎn)，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)棱CC₁到M點(diǎn)的最短路線(xiàn)長(zhǎng)為，設(shè)這條最短路線(xiàn)與C₁C的交點(diǎn)為N,

求: (1)該三棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)；

(2)PC和NC的長(zhǎng)；

(3)平面NMP和平面ABC所成二面角(銳角)的大小(用反三角函數(shù)表示)

錯(cuò)因：(1)不知道利用側(cè)面BCC₁ B₁展開(kāi)圖求解,不會(huì)找 的線(xiàn)段在哪里;(2)不會(huì)找二面角的平面角.

正解：(1)正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)為9，寬為4的矩形，其對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為

(2)如圖，將側(cè)面BC₁旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面AC₁在同一平面上，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P₁的位置，連接MP₁ ，則MP₁就是由點(diǎn)P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過(guò)CC₁到點(diǎn)M的最短路線(xiàn).

設(shè)PC＝，則P₁C＝，

在

(3)連接PP₁(如圖)，則PP₁就是平面NMP與平面ABC的交線(xiàn)，作NH于H，又CC₁平面ABC，連結(jié)CH，由三垂線(xiàn)定理的逆定理得，.

[例5] P是平行四邊形ABCD 所在平面外一點(diǎn)，Q 是PA 的中點(diǎn)，求證：PC∥ 平面BDQ ．

　分析：要證明平面外的一條直線(xiàn)和該平面平行，只要在該平面內(nèi)找到一條直線(xiàn)和已知直線(xiàn)平行就可以了．

證明：如圖所示，連結(jié)AC ，交BD 于點(diǎn)O ，

∵四邊形ABCD 是平行四邊形.

∴AO=CO ，連結(jié)OQ ，則OQ 在平面BDQ 內(nèi)，且OQ 是 的中位線(xiàn)，∴PC∥OQ ．

∵PC 在平面BDQ 外，∴PC∥平面BDQ ．

點(diǎn)　評(píng)：應(yīng)用線(xiàn)面平行的判定定理證明線(xiàn)面平行時(shí)，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行.

[例6] 在正方體A₁B₁C₁D₁－ABCD中，E、F分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中點(diǎn)．求證：EF垂直平面BB₁O．

證明　： 如圖,連接AC、BD，則O為AC和BD的交點(diǎn)．

∵E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，

∴EF是△ABC的中位線(xiàn)，∴EF∥AC．

∵B₁B⊥平面ABCD,AC平面ABCD

∴AC⊥B₁B，由正方形ABCD知：AC⊥BO，

又BO與BB₁是平面BB₁O上的兩條相交直線(xiàn)，

∴AC⊥平面BB₁O(線(xiàn)面垂直判定定理)

∵AC∥EF，

∴ EF⊥平面BB₁O．

　[例7]如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，E 是BB₁ 的中點(diǎn)，O 是底面正方形ABCD 的中心，求證：OE 平面ACD₁ ．

分析：本題考查的是線(xiàn)面垂直的判定方法．根據(jù)線(xiàn)面垂直的判定方法，要證明OE 平面ACD₁ ，只要在平面ACD₁ 內(nèi)找兩條相交直線(xiàn)與OE 垂直．

證明：連結(jié)B₁D 、A_!D 、BD ，在△B₁BD 中，

　∵E,O 分別是B₁B 和DB 的中點(diǎn)，

　∴EO∥B₁D ．

　∵B₁A₁ 面AA₁D₁D ，

　∴DA₁ 為DB₁ 在面AA₁D₁D 內(nèi)的射影．

　又∵AD₁A₁D ，

　∴AD₁DB₁　 ．

　同理可證B₁DD₁C ．

　又∵AD₁，AD₁,D₁C 面ACD₁ ，

　∴B₁D 平面ACD₁ ．

　∵B₁D∥OE ，

　∴OE 平面ACD₁ ．

　點(diǎn)　評(píng)：要證線(xiàn)面垂直可找線(xiàn)線(xiàn)垂直，這是立體幾何證明線(xiàn)面垂直時(shí)常用的轉(zhuǎn)化方法．在證明線(xiàn)線(xiàn)垂直時(shí)既要注意三垂線(xiàn)定理及其逆定理的應(yīng)用，也要注意有時(shí)是從數(shù)量關(guān)系方面找垂直，即勾股定理或余弦定理的應(yīng)用．

[例8]．如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中,點(diǎn)N在BD上, 點(diǎn)M在B₁C上,且CM=DN,求證:MN∥平面AA₁B₁B.

證明：

證法一.如圖,作ME∥BC,交BB₁于E,作NF∥AD,交AB于F,連EF則EF平面AA₁B₁B.

ME=NF

又ME∥BC∥AD∥NF,MEFN為平行四邊形,

MN∥EF.　 　MN∥平面AA₁B₁B.

證法二.如圖,連接并延長(zhǎng)CN交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P,連B₁P,則B₁P平面AA₁B₁B.

∽,

又CM=DN,B₁C=BD,

∥B₁P.

　 B₁P平面AA₁B₁B, MN∥平面AA₁B₁B.

證法三.如圖,作MP∥BB₁,交BC于點(diǎn)P,連NP.

MP∥BB₁,

　 BD=B₁C,DN=CM,

NP∥CD∥AB.面MNP∥面AA₁B₁B.

MN∥平面AA₁B₁B.

4.直線(xiàn)與平面的距離一般是利用直線(xiàn)上某一點(diǎn)到平面的距離.“如果在平面的同一側(cè)有兩點(diǎn)到平面的距離(大于0)相等，則經(jīng)過(guò)這兩點(diǎn)的直線(xiàn)與這個(gè)平面平行.”要注意“同一側(cè)”、“距離相等”.

3.在證明垂直時(shí)注意線(xiàn)線(xiàn)垂直、線(xiàn)面垂直及面面垂直判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用，同時(shí)還要注意三垂線(xiàn)定理及其逆定理的運(yùn)用.要注意線(xiàn)面垂直的判定定理中的“兩條相交直線(xiàn)”，如果用“無(wú)數(shù)”或“兩條”都是錯(cuò)誤的.

2.在證明平行時(shí)注意線(xiàn)線(xiàn)平行、線(xiàn)面平行及面面平行判定定理和性質(zhì)定理的反復(fù)運(yùn)用.

1.斜線(xiàn)與平面所成的角關(guān)鍵在于找射影，斜線(xiàn)與平面所成的角，是這條斜線(xiàn)和這個(gè)平面內(nèi)的直線(xiàn)所成的一切角中最小的角.

7.　　　　　 從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線(xiàn)段和斜線(xiàn)段中：①射影相等的兩條斜線(xiàn)段相等，射影較長(zhǎng)的斜線(xiàn)段也較長(zhǎng)；②相等的斜線(xiàn)段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線(xiàn)段的射影也較長(zhǎng)；③垂線(xiàn)段比任何一條斜線(xiàn)段都短.