下列各題的四個選項中只有一個是正確的。請將你認為正確的一項的答案填寫在題后的表格內。

1．下圖中虛線或字母表示地形部位。下列選項中，地形部位名稱排序與圖序相符的是

A．①山谷②山脊③鞍部④山頂　 　　　B．①山谷②山谷③山頂④鞍部

C．①山谷②山脊③山頂④鞍部　 　　D．①山脊②山脊③山頂④鞍部

22.(本小題滿分14分)(2010·長郡模擬)已知函數(shù)f(x)＝x⁴+ax³+2x²+b(x∈R)，其中a，b∈R.

(1)當a＝－時，討論函數(shù)f(x)的單調性；

(2)若函數(shù)f(x)僅在x＝0時處有極值，求a的取值范圍；

(3)若對于任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,1]上恒成立，求b的取值范圍.

解：(1)f′(x)＝4x³+3ax²+4x＝x(4x²+3ax+4).

當a＝－時，f′(x)＝x(4x²－10x－4)

＝2x(2x－1)(x－2).

令f′(x)＝0，解得x₁＝0，x₂＝，x₂＝2.

當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：

x	(－∞，0)	0				2	(2，+∞)
f′(x)	－	0	+	0	－	0	+
f(x)	↘	極小值	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以f(x)在(0，)，(2，+∞)內是增函數(shù)，在(－∞，0)，(，2)內是減函數(shù).

(2)f′(x)＝x(4x³+3ax+4)，顯然x＝0不是方程4x³+3ax+4＝0的根.

為使f(x)僅在x＝0處有極值，必須4x²+3ax+4≥0，即有Δ＝9a²－64≤0.

解此不等式，得－≤a≤.這時，f(0)＝b是唯一極值.

因此滿足條件的a的取值范圍是[－，].

(3)由條件a∈[－2,2]，可知Δ＝9a²－64＜0，從而4x²+3ax+4＞0恒成立.

當x＜0時，f′(x)＜0；當x＞0時，f′(x)＞0.

因此函數(shù)f(x)在[－1,1]上的最大值是f(1)與f(－1)兩者中的較大者.

為使對任意的a∈[－2,2]，不等式f(x)≤1在[－1,1]上恒成立，當且僅當

即在a∈[－2,2]上恒成立.

所以b≤－4，因此滿足條件的b的取值范圍是(－∞，－4].

21.(本小題滿分12分)已知向量a＝(x²－1，－1)，b＝(x，y)，當|x|＜時，有a⊥b；當|x|≥ 時，a∥b.

(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；

(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調遞減區(qū)間；

(3)若對|x|≥ ，都有f(x)≤m，求實數(shù)m的最小值.

解：(1)當|x|＜時，由 a⊥b，得a·b＝(x²－1)x－y＝0，

即y＝x³－x(|x|＜)；

當|x|≥時，由a∥b，得y＝(|x|≥).

∴f(x)＝

　(2)當|x|＜時，由y′＝3x²－1＜0，解得－＜x＜，

當|x|≥時，y′＝＝＞0，

∴函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(－，).

(3)對∀x∈(－∞，－]∪[，+∞)，都有f(x)≤m，即m≥，

由(2)知當|x|≥時，y′＝＞0，

∴函數(shù)f(x)在(－∞，－]和[，+∞)上都單調遞增，

f(－)＝＝，f()＝＝－，

當x≤－時，y＝＞0，∴0＜f(x)≤f(－)＝，

同理可得，當x≥時，有－≤f(x)＜0，

綜上所述，對∀x∈(－∞，－]∪[，+∞)，f(x)取得最大值，

∴實數(shù)m的最小值為.

20.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝－x³+3x²+9x+a，

(1)求f(x)的單調區(qū)間；

(2)若f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值為20，求函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的最小值.

解：(1)f′(x)＝－3x²+6x+9，令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3，所以函數(shù)f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，－1)，(3，+∞)；

令f′(x)＞0，解得－1＜x＜3，所以函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(－1,3).

(2)因為f(－2)＝8+12－18+a＝2+a，f(2)＝－8+12+18+a＝22+a，

所以f(2)＞f(－2).

因為在區(qū)間(－1,3)上，f′(x)＞0，所以f(x)在(－1,2)上單調遞增.

又由于f(x)在(－2，－1)上單調遞減，

因此f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最大值和最小值，

于是有22+a＝20，解得a＝－2，

故f(x)＝－x³+3x²+9x－2，

因此f(－1)＝－7，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2,2]上的最小值為－7.

19.(本小題滿分12分)是否存在這樣的實數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x²+(3a－2)x+a－1在區(qū)間[－1,3]上與x軸恒有一個交點，且只有一個交點.若存在，求出范圍，若不存在，說明理　　　

由.

解：若實數(shù)a滿足條件，則只需f(－1)·f(3)≤0即可.

f(－1)·f(3)＝(1－3a+2+a－1)·(9+9a－6+a－1)＝4(1－a)(5a+1)≤0.所以a≤－或a≥1.

檢驗：(1)當f(－1)＝0時，a＝1.所以f(x)＝x²+x.令f(x)＝0，即x²+x＝0.得x＝0或x＝－1.

方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠1.

(2)當f(3)＝0時，a＝－，此時f(x)＝x²－x－.令f(x)＝0，即x²－x－＝0，解之得x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠－.

綜上所述，a＜－或a＞1.

18.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝x²+2ax+2，x∈[－5,5].

(1)當a＝－1時，求f(x)的最大值與最小值；

(2)求實數(shù)a的取值范圍，使y＝f(x)在區(qū)間[－5,5]上是單調函數(shù).

解：(1)當a＝－1時，f(x)＝x²－2x+2＝(x－1)²+1，

當x＝1時，f(x)取最小值為1，當x＝－5時，f(x)取最大值為37，所以f(x)的最大值是37；最小值是1.

(2)由于函數(shù)的對稱軸是x＝－a，要使函數(shù)在區(qū)間[－5,5]上是單調函數(shù)，必須且只需滿足|a|≥5，

故所求的a的取值范圍是a≤－5或a≥5.

17.(本小題滿分12分)(2010·東北師大附中模擬)已知函數(shù)f(x)＝2^x，g(x)＝+2.

(1)求函數(shù)g(x)的值域；

(2)求滿足方程f(x)－g(x)＝0的x的值.

解：(1)g(x)＝+2＝()^|x|+2，

因為|x|≥0，所以0＜()^|x|≤1，即2＜g(x)≤3，

故g(x)的值域是(2,3].

(2)由f(x)－g(x)＝0得2^x－－2＝0，

當x≤0時，顯然不滿足方程，即只有x＞0滿足2^x－－2＝0，

整理得(2^x)²－2·2^x－1＝0，(2^x－1)²＝2，

故2^x＝1±，

因為2^x＞0，所以2^x＝1+，即x＝log₂(1+).

16.(文)以下四個命題，是真命題的有　　(把你認為是真命題的序號都填上).

①若p：f(x)＝lnx－2+x在區(qū)間(1,2)上有一個零點；

q：e^0.2＞e^0.3，則p∧q為假命題；

②當x＞1時，f(x)＝x²，g(x)＝，h(x)＝x^－2的大小關系是h(x)＜g(x)＜f(x)；

③若f′(x₀)＝0，則f(x)在x＝x₀處取得極值；

④若不等式2－3x－2x²＞0的解集為P，函數(shù)y＝+的定義域為Q，則“x ∈P”是“x∈Q”的充分不必要條件.

解析：對于命題①，因為f(1)＝ln1－2+1＝－1＜0，f(2)＝ln2－2+2＝ln2＞0且f(x)在(1,2)上為增函數(shù)，故f(x)在(1,2)上有一個零點，即命題p為真；因為y＝e^x為增函數(shù)，所以e^0.2＜e^0.3，故命題q為假，所以p∧q為假命題；對于命題②，在同一個坐標系內作出三個函數(shù)的圖象有：

由函數(shù)圖象可知當x＞1時，有h(x)＜g(x)＜f(x)；

對于命題③，令f(x)＝x³，則有f′(0)＝0，

但x＝0不是f(x)的極值點，故該命題錯誤；

對于命題④，由題意得P＝{x|－2＜x＜}，又由　　　　　

得Q＝{x|－2≤x≤}，所以P⊂Q，所以x∈P是x∈Q的充分不必要條件.

答案：①②④

(理)定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x≥0時，f(x)＝　　　

則方程f(x)＝的所有解之和為　　.

解析：當x＜0時，函數(shù)的解析式是f(x)＝

故函數(shù)f(x)在x∈R上的圖象如圖所示，方程f(x)＝共有五個實根，最左邊兩根之和為－6，最右邊兩根之和為6，中間的一個根滿足log₂(1－x)＝，即x＝1－，故所有根的和為1－.

答案：1－

15.(文)已知曲線C：y＝lnx－4x與直線x＝1交于一點P，那么曲線C在點P處的切線方程是　　　　　.

解析：由已知得y′＝－4，所以當x＝1時有y′＝－3，即過點P的切線的斜率k＝－3，又y＝ln1－4＝－4，故切點P(1，－4)，所以點P處的切線方程為y+4＝－3(x－1)，即3x+y+1＝0.

答案：3x+y+1＝0

(理)已知函數(shù)f(x)＝3x²+2x+1，若∫f(x)dx＝2f(a)成立，則a＝　　.

解析：∫(3x²+2x+1)dx＝(x³+x²+x)|＝4，

所以2(3a²+2a+1)＝4，即3a²+2a－1＝0，

解得a＝－1或a＝.

答案：－1或

14.若x₁、x₂為方程2^x＝的兩個實數(shù)解，則x₁+x₂＝　　.

解析：∵2^x＝＝2，∴x＝－1，

即x²+x－1＝0，∴x₁+x₂＝－1.

答案：－1