0  436412  436420  436426  436430  436436  436438  436442  436448  436450  436456  436462  436466  436468  436472  436478  436480  436486  436490  436492  436496  436498  436502  436504  436506  436507  436508  436510  436511  436512  436514  436516  436520  436522  436526  436528  436532  436538  436540  436546  436550  436552  436556  436562  436568  436570  436576  436580  436582  436588  436592  436598  436606  447090 

18.證明:(法一)要證原不等式成立,只須證:

即只須證:

由柯西不等式易知上式顯然成立,所以原不等式成立。

(法二)由對稱性,不妨設:,則

所以:(順序和)(亂序和)

(順序和)(亂序和)

將以上兩式相加即得:.

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17. 提示:這是一個與整除有關的命題,它涉及全體正整數(shù),若用數(shù)學歸納法證明,第一步應證時命題成立;第二步要明確目標,即在假設能夠被6整除的前提下,證明也能被6整除.

證明:1)當時,顯然能夠被6整除,命題成立.

    2)假設當時,命題成立,即能夠被6整除.

    當時,

   

.

    由假設知能夠被6整除,而是偶數(shù),故能夠被6整除,從而能夠被6整除.因此,當時命題成立.

    由1)2)知,命題對一切正整數(shù)成立,即能夠被6整除;

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16.提示:

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15.提示:

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14.提示: .

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13.提示:

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12. 提示:利用不等式解決極值問題,通常設法在不等式一邊得到一個常數(shù),并尋找不等式取等號的條件.這個函數(shù)的解析式是兩部分的和,若能化為的形式就能利用柯西不等式求其最大值.

解:函數(shù)的定義域為,且.

   

當且僅當時,等號成立,即時函數(shù)取最大值.

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11. 提示:要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰.另外,如果從正面證明,需要對某一個分式小于2或兩個分式都小于2等進行分類討論,而從反面證明,則只要證明兩個分式都不小于2是不可能的即可.于是考慮采用反證法.

證明:假設,都不小于2,即,且.

因為,,所以,且.把這兩個不等式相加,得,

從而.這與已知條件矛盾.因此,,都不小于2是不可能的,即原命題成立.

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10.提示:觀察要證明的結(jié)論,左邊是個因式的乘積,右邊是2的次方,再結(jié)合,發(fā)現(xiàn)如果能將左邊轉(zhuǎn)化為,,…,的乘積,問題就能得到解決.

證明:因為,所以,即.

同理,,…….因為,,…,,由不等式的性質(zhì),

.

因為時,取等號,所以原式在時取等號.

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9.分析:觀察欲證不等式的特點,左邊3項每一項都是兩個數(shù)的平方之和與另一個數(shù)之積,右邊是三個數(shù)的積的6倍.這種結(jié)構特點啟發(fā)我們采用如下方法.

證明:因為,所以.       ①

因為,所以.          ②

因為,,所以.          ③

由于,不全相等,所以上述①②③式中至少有一個不取等號,把它們相加得.

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