2．，∴

當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

∴函數(shù)在和上是增函數(shù)，在(－1，1)上是減函數(shù)．

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值．

說(shuō)明：解題的成功要靠正確思路的選擇．本題從逆向思維的角度出發(fā)，根據(jù)題設(shè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行逆向聯(lián)想，合理地實(shí)現(xiàn)了問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，使抽象的問(wèn)題具體化，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中充分運(yùn)用了已知條件確定了解題的大方向．可見(jiàn)出路在于“思想認(rèn)識(shí)”．在求導(dǎo)之后，不會(huì)應(yīng)用的隱含條件，因而造成了解決問(wèn)題的最大思維障礙．

2．試判斷是函數(shù)的極小值還是極大值，并說(shuō)明理由．

分析：考察函數(shù)是實(shí)數(shù)域上的可導(dǎo)函數(shù)，可先求導(dǎo)確定可能的極值點(diǎn)，再通過(guò)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，即極值點(diǎn)必為的根建立起由極值點(diǎn)所確定的相關(guān)等式，運(yùn)用待定系數(shù)法求出參數(shù)a、b、c的值．

解：1．解法一：．

是函數(shù)的極值點(diǎn)，

∴是方程，即的兩根，

由根與系數(shù)的關(guān)系，得

又，∴，　　 (3)

由(1)、(2)、(3)解得．

解法二：由得

，　　 (1)

　　　 (2)

又，∴， 　　(3)

解(1)、(2)、(3)得．

1．試求常數(shù)a、b、c的值；

2．

∴

令，得．

當(dāng)或時(shí)，，

∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；

當(dāng)或時(shí)，，

∴函數(shù)在和上是增函數(shù)．

∴當(dāng)和時(shí)，函數(shù)有極小值0，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值．

說(shuō)明：在確定極值時(shí)，只討論滿足的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化情況，確定極值是不全面的．在函數(shù)定義域內(nèi)不可導(dǎo)的點(diǎn)處也可能存在極值．本題1中處，2中及處函數(shù)都不可導(dǎo)，但在這些點(diǎn)處左右兩側(cè)異號(hào)，根據(jù)極值的判定方法，函數(shù)在這些點(diǎn)處仍取得極值．從定義分析，極值與可導(dǎo)無(wú)關(guān)．

根據(jù)函數(shù)的極值確定參數(shù)的值

例　 已知在時(shí)取得極值，且．

1． ；2．

分析：利用求導(dǎo)的方法，先確定可能取到極值的點(diǎn)，然后依據(jù)極值的定義判定．在函數(shù)的定義域內(nèi)尋求可能取到極值的“可疑點(diǎn)”，除了確定其導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)外，還必須確定函數(shù)定義域內(nèi)所有不可導(dǎo)的點(diǎn)．這兩類點(diǎn)就是函數(shù)在定義內(nèi)可能取到極值的全部“可疑點(diǎn)”．

解：1．

令，解得，但也可能是極值點(diǎn)．

當(dāng)或時(shí)，，

∴函數(shù)在和上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)在(0，2)上是減函數(shù)．

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值．

3．函數(shù)的定義域?yàn)镽．

令，得．

當(dāng)或時(shí)，，

∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)在(－1，1)上是增函數(shù)．

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值

說(shuō)明：思維的周密性是解決問(wèn)題的基礎(chǔ)，在解題過(guò)程中，要全面、系統(tǒng)地考慮問(wèn)題，注意各種條件 綜合運(yùn)用，方可實(shí)現(xiàn)解題的正確性．解答本題時(shí)應(yīng)注意只是函數(shù)在處有極值的必要條件，如果再加之附近導(dǎo)數(shù)的符號(hào)相反，才能斷定函數(shù)在處取得極值．反映在解題上，錯(cuò)誤判斷極值點(diǎn)或漏掉極值點(diǎn)是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的失誤．

復(fù)雜函數(shù)的極值

例 　求下列函數(shù)的極值：

2．函數(shù)定義域?yàn)镽．

令，得或．

當(dāng)或時(shí)，，

∴函數(shù)在和上是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)在(0，2)上是增函數(shù)．

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值．

1．；2．；3．

分析：按照求極值的基本方法，首先從方程求出在函數(shù)定義域內(nèi)所有可能的極值點(diǎn)，然后按照函數(shù)極值的定義判斷在這些點(diǎn)處是否取得極值．

解：1．函數(shù)定義域?yàn)镽．

令，得．

當(dāng)或時(shí)，，

∴函數(shù)在和上是增函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，

∴函數(shù)在(－2，2)上是減函數(shù)．

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值，

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值

4．函數(shù)定義域?yàn)?sub>，當(dāng)時(shí)，

令，解得，∴，

又，∴

說(shuō)明：對(duì)于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，如果在相應(yīng)開(kāi)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，求上最值可簡(jiǎn)化過(guò)程，即直接將極值點(diǎn)與端點(diǎn)的函數(shù)值比較，即可判定最大(或最小)的函數(shù)值，就是最大(或最小)值．解決這類問(wèn)題，運(yùn)算欠準(zhǔn)確是普遍存在的一個(gè)突出問(wèn)題，反映出運(yùn)算能力上的差距．運(yùn)算的準(zhǔn)確要依靠運(yùn)算方法的合理與簡(jiǎn)捷，需要有效的檢驗(yàn)手段，只有全方位的“綜合治理”才能在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上形成運(yùn)算能力，解決運(yùn)算不準(zhǔn)確的弊病．

求兩變量乘積的最大值

例　 已知為正實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式，求的最大值．

分析：題中有兩個(gè)變量x和y，首先應(yīng)選擇一個(gè)主要變量，將表示為某一變量(x或y或其它變量)的函數(shù)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，同時(shí)根據(jù)題設(shè)條件確定變量的取值范圍，再利用導(dǎo)數(shù)(或均值不等式等)求函數(shù)的最大值．

解：解法一：，

∴．

由解得．

設(shè)

當(dāng)時(shí)，

　　　　　　 　　　　．

令，得或(舍)．

∴，又，∴函數(shù)的最大值為．

即的最大值為．

解法二：由得，

設(shè)，

∴，設(shè)，

則

令，得或．

，此時(shí)

∴

即當(dāng)時(shí)，

說(shuō)明：進(jìn)行一題多解訓(xùn)練，是一種打開(kāi)思路，激發(fā)思維，鞏固基礎(chǔ)，溝通聯(lián)系的重要途徑，但要明確解決問(wèn)題的策略、指向和思考方法，需要抓住問(wèn)題的本質(zhì)，領(lǐng)悟真諦，巧施轉(zhuǎn)化，方可快捷地與熟悉的問(wèn)題接軌，在實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的過(guò)程中，關(guān)鍵是要注意變量的取值范圍必須滿足題設(shè)條件，以免解題陷于困境，功虧一簣．

3．．

令，即，解得

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

∴函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值，也是最小值為

即．