3.已知命題p、q,“非p為真命題”是“p或q是假命題”的 ( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
2.與函數(shù)有相同圖象的一個(gè)函數(shù)是 ( )
A. B.
C. D.
1.若集合= ( )
A.{0} B.{-1,0} C.{-1,0,1} D.{-2,-1,0,1,2}
指數(shù)形式的函數(shù)定義域、值域的求法,判斷其單調(diào)性和奇偶性的方法
求下列函數(shù)的定義域和值域:
⑴ ⑵
解:⑴要使函數(shù)有意義,必須 ,
當(dāng)時(shí) ; 當(dāng)時(shí)
∵ ∴ ∴值域?yàn)?sub>
⑵要使函數(shù)有意義,必須 即
∵ ∴
又∵ ∴值域?yàn)?
例1求下列函數(shù)的定義域、值域:
⑴ ⑵ ⑶
分析:此題要利用指數(shù)函數(shù)的定義域、值域,并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象注意向?qū)W生指出函數(shù)的定義域就是使函數(shù)表達(dá)式有意義的自變量x的取值范圍
解(1)由x-1≠0得x≠1
所以,所求函數(shù)定義域?yàn)閧x|x≠1}
由 ,得y≠1
所以,所求函數(shù)值域?yàn)閧y|y>0且y≠1}
說明:對(duì)于值域的求解,在向?qū)W生解釋時(shí),可以令,考察指數(shù)函數(shù)y=,并結(jié)合圖象直觀地得到,以下兩題可作類似處理
(2)由5x-1≥0得
所以,所求函數(shù)定義域?yàn)閧x|}
由 ≥0得y≥1
所以,所求函數(shù)值域?yàn)閧y|y≥1}
(3)所求函數(shù)定義域?yàn)镽
由>0可得+1>1
所以,所求函數(shù)值域?yàn)閧y|y>1}
通過此例題的訓(xùn)練,學(xué)會(huì)利用指數(shù)函數(shù)的定義域、值域去求解指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的定義域、值域,還應(yīng)注意書寫步驟與格式的規(guī)范性
例2求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并證明
解:設(shè)
則
∵ ∴
當(dāng)時(shí), 這時(shí)
即 ∴,函數(shù)單調(diào)遞增
當(dāng)時(shí), 這時(shí)
即 ∴,函數(shù)單調(diào)遞減
∴函數(shù)y在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減
解法二、(用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性):
設(shè): 則:
對(duì)任意的,有,又∵是減函數(shù)
∴ ∴在是減函數(shù)
對(duì)任意的,有,又∵是減函數(shù)
∴ ∴在是增函數(shù)
引申:求函數(shù)的值域 ()
小結(jié):復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷(見第8課時(shí))
例3設(shè)a是實(shí)數(shù),
試證明對(duì)于任意a,為增函數(shù);
分析:此題雖形式較為復(fù)雜,但應(yīng)嚴(yán)格按照單調(diào)性、奇偶性的定義進(jìn)行證明還應(yīng)要求學(xué)生注意不同題型的解答方法
(1)證明:設(shè)∈R,且
則
由于指數(shù)函數(shù) y=在R上是增函數(shù),且,
所以即<0,
又由>0得+1>0, +1>0
所以<0即
因?yàn)榇私Y(jié)論與a取值無關(guān),所以對(duì)于a取任意實(shí)數(shù),為增函數(shù)
評(píng)述:上述證明過程中,在對(duì)差式正負(fù)判斷時(shí),利用了指數(shù)函數(shù)的值域及單調(diào)性
的圖象和性質(zhì)
|
a>1 |
0<a<1 |
圖 象 |
|
|
性 質(zhì) |
(1)定義域:R |
|
(2)值域:(0,+∞) |
||
(3)過點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí),y=1 |
||
(4)在 R上是增函數(shù) |
(4)在R上是減函數(shù) |
22.(本小題滿分14分)
已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞),且對(duì)任意的正實(shí)數(shù)x,y都有,且當(dāng)x>1時(shí),f(x)>0,f(4)=1.
(1) 求證:f(1)=0;
(2) 求;
(3) 求證:f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù);
(4) 解不等式.
21.(本小題滿分12分)
已知二次函數(shù)g(x)的圖象經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),且滿足。設(shè)函數(shù),其中m為非零常數(shù).
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)當(dāng)-2<m<0時(shí),判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性并且說明理由;
(3)證明:對(duì)任意的正整數(shù)n,不等式恒成立.
20.(本小題滿分12分)
已知函數(shù)在x=1處有極值.
(1) 求實(shí)數(shù)的值;
(2) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3) 令g(x)= ,若曲線g(x)在(1,g(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)(為坐標(biāo)原點(diǎn)),求的面積.
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