設(shè),則
設(shè),函數(shù)的反函數(shù)和的反函數(shù)的圖象關(guān)于
軸對稱 軸對稱 軸對稱 原點對稱
已知函數(shù),則的圖象只可能是
若與的圖象關(guān)于直線對稱,且點在指數(shù)函數(shù)的
圖象上,則
設(shè)函數(shù)滿足,則
己知:函數(shù),若的圖像是,它關(guān)于直線對稱
圖像是關(guān)于原點對稱的圖像為對應(yīng)的函數(shù)解析式是____________
若既在的圖象上,又在它反函數(shù)圖象上,求的值.
(湖南文)設(shè)是函數(shù)的反函數(shù),則下面不等式中恒成立的是
≤ ≤
≥ ≥
已知函數(shù)的反函數(shù)為,求函數(shù)的反函數(shù).
已知的反函數(shù)為,則不等式的解集為
已知函數(shù)(,且)
求函數(shù)的反函數(shù);
判定的單調(diào)性;解不等式
要使(≥)有反函數(shù),則的最小值為
設(shè),則
(新課程)函數(shù) 圖象與其反函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)為
若函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則函數(shù)的反函數(shù)圖象必經(jīng)過
(全國Ⅰ)已知函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)時,,設(shè)的反函數(shù)是,則
問題1. 求下列函數(shù)的反函數(shù):
(全國)(≥);(上海春) ()
(上海)();()
(); (≤);
(安徽).
問題2.
(北京文)已知函數(shù)的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點,則
已知,求的值
問題3.(遼寧)與方程的曲線關(guān)于直線對稱的
曲線方程為
函數(shù)的反函數(shù)
是奇函數(shù),且在是減函數(shù)是偶函數(shù),且在是減函數(shù)
是奇函數(shù),且在是增函數(shù)是偶函數(shù),且在是增函數(shù)
(全國)設(shè)函數(shù)(≤≤),則函數(shù)的圖像是
問題4.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱,求的值.
設(shè)函數(shù),又函數(shù)與的圖象關(guān)于對稱,求.
問題5.已知,是上的奇函數(shù).求的值,
求的反函數(shù),對任意的解不等式.
求反函數(shù)的一般步驟:求原函數(shù)的值域;反解,由解出;
寫出反函數(shù)的解析式(互換),并注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域).
注:析分段函數(shù)的反函數(shù)可以分別求出各段函數(shù)的反函數(shù)再合成.
若函數(shù)與互為反函數(shù),且在的圖像上,則在圖像上。
若函數(shù)與互為反函數(shù),若,則.
求證一個函數(shù)的圖象關(guān)于成軸對稱圖形,只須證明.
設(shè)函數(shù)的定義域為,值域為,由求出.如果對于中 每個值,在中都有唯一的值和它對應(yīng),那么為以為自變量的函數(shù),叫做的反函數(shù),記作,()
反函數(shù)存在的條件:從定義域到值域上的一一映射確定的函數(shù)才有反函數(shù);
反函數(shù)的定義域、值域上分別是原函數(shù)的值域、定義域,若與
互為反函數(shù),函數(shù)的定義域為、值域為,則,;
互為反函數(shù)的兩個函數(shù)具有相同的單調(diào)性,它們的圖象關(guān)于對稱.
一些結(jié)論:定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù);奇函數(shù)若存在反函數(shù),則其反函數(shù)也是奇函數(shù);定義域為非單元素集的偶函數(shù)不存在反函數(shù).周期函數(shù)在整個定義域內(nèi)不存在反函數(shù).
(福建)是定義在上的以為周期的奇函數(shù),且在區(qū)間內(nèi)解
的個數(shù)的最小值是
(安徽)定義在上的函數(shù)既是奇函數(shù),又是周期函數(shù),是它的一個正周期.
若將方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù)記為,則可能為
(全國)已知函數(shù)為上的奇函數(shù),且滿足,
當(dāng)時,,則等于( )
(安徽)函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件,若,
則
(福建文)已知是周期為的奇函數(shù),當(dāng)時,
設(shè)則
(天津)定義在上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若的最小正周期
是,且當(dāng)時,,則的值為
(天津)設(shè)是定義在上的奇函數(shù),且的圖象關(guān)于直線
對稱,則
(廣東)設(shè)函數(shù)在上滿足,,且在閉區(qū)間上,只有.
(Ⅰ)試判斷函數(shù)的奇偶性;
(Ⅱ)試求方程在閉區(qū)間上的根的個數(shù),并證明你的結(jié)論
已知函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),且當(dāng)時,,則
的值為
設(shè)偶函數(shù)對任意,都有,且當(dāng)時,
,則
設(shè)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),對于任意的,都有,
當(dāng)≤時,,則
已知是定義在實數(shù)集上的函數(shù),滿足,且時,.求時,的表達(dá)式;證明是上的奇函數(shù).
(朝陽模擬)已知函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱,且滿足,又,,求…的值
(北京春)若存在常數(shù),使得函數(shù)滿足,
的一個正周期為
設(shè)函數(shù)()是以為周期的奇函數(shù),且,則
函數(shù)既是定義域為的偶函數(shù),又是以為周期的周期函數(shù),若在上
是減函數(shù),那么在上是
增函數(shù) 減函數(shù) 先增后減函數(shù) 先減后增函數(shù)
設(shè),記,則
問題1.(山東)已知定義在上的奇函數(shù)滿足,則的值為
問題2.(上海) 設(shè)的最小正周期且為偶函數(shù),
它在區(qū)間上的圖象如右圖所示的線段,則在區(qū)間上,
已知函數(shù)是周期為的函數(shù),當(dāng)時,,
當(dāng) 時,的解析式是
是定義在上的以為周期的函數(shù),對,用表示區(qū)間,
已知當(dāng)時,,求在上的解析式。
問題3.(福建)定義在上的函數(shù)滿足,當(dāng)時,
,則 ; ;
(天津文) 設(shè)是定義在上以為周期的函數(shù),在內(nèi)單調(diào)遞減,
且的圖像關(guān)于直線對稱,則下面正確的結(jié)論是
問題4.定義在上的函數(shù),對任意,有,且,求證:;判斷的奇偶性;
若存在非零常數(shù),使,①證明對任意都有成立;
②函數(shù)是不是周期函數(shù),為什么?
問題5.(全國)設(shè)是定義在上的偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線對稱,對任
意的,都有.
設(shè),求、;證明:是周期函數(shù).
記,求.
判斷一個函數(shù)是否是周期函數(shù)要抓住兩點:一是對定義域中任意的恒有;
二是能找到適合這一等式的非零常數(shù),一般來說,周期函數(shù)的定義域均為無限集.
解決周期函數(shù)問題時,要注意靈活運用以上結(jié)論,同時要重視數(shù)形結(jié)合思想方法的運用,還要注意根據(jù)所要解決的問題的特征來進(jìn)行賦值。
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