(北京)平面的斜線交于點(diǎn),過定點(diǎn)的動直線與垂直,且交
于點(diǎn),則動點(diǎn)的軌跡是 一條直線 一個圓 一個橢圓 雙曲線的一支
(北京文)設(shè)、、、是空間四個不同的點(diǎn),在下列命題中,不正確的是
若與共面,則與共面
若與是異面直線,則與是異面直線
若,,則
若,,則
(重慶)對于任意的直線與平面,在平面內(nèi)必有直線,使與
平行 相交 垂直 互為異面直線
(全國Ⅰ)在正方形中,過對角線的一個平面交于,交于,則
① 四邊形一定是平行四邊形;
② 四邊形有可能是正方形
③ 四邊形在底面內(nèi)的投影一定是正方形
④ 四邊形有可能垂直于平面
以上結(jié)論正確的為 (寫出所有正確結(jié)論的編號)
(浙江)若是兩條異面直線外的任意一點(diǎn),則
過點(diǎn)有且僅有一條直線與都平行過點(diǎn)有且僅有一條直線與都垂直
過點(diǎn)有且僅有一條直線與都相交 過點(diǎn)有且僅有一條直線與都異面
(天津)如圖,平面,,
且,則異面直線與所成角
的余弦值為
(江西文)如圖,已知三棱錐的側(cè)棱
、、兩兩垂直,且,,
是的中點(diǎn).略;求異面直線與所成的角;
略.
問題1.(上海)若空間中有四個點(diǎn),則“這四個點(diǎn)中有三點(diǎn)在同一直線上”
是“這四個點(diǎn)在同一平面上”的
充分非必要條件;必要非充分條件;充要條件;非充分非必要條件.
(全國Ⅲ)不共面的四個定點(diǎn)到平面的距離都相等,這樣的平面共有
個 個 個 個
(全國Ⅱ)正方體中,
、、分別是、、的中點(diǎn).
那么,正方體的過、、的截面圖形是
三角形 四邊形五邊形六邊形
如圖,,、,,
且,直線,過、、三點(diǎn)
的平面記作,則與的交線必通過
點(diǎn); 點(diǎn);
點(diǎn)但不通過點(diǎn); 點(diǎn)和點(diǎn)
(江蘇)如圖,已知是棱長
為的正方體,點(diǎn)在上,點(diǎn)在上,
且.求證:四點(diǎn)共面;(分)
略;略.
問題2.(全國Ⅱ)如圖,在直三棱柱中,,、分別
為、的中點(diǎn).證明:為異面直線與的公垂線;略.
( 要求用傳統(tǒng)方法和向量法,注意書寫的規(guī)范性)
證明:方法(用傳統(tǒng)方法):
方法(用向量法):
問題3.如圖,在正方體中,
棱長,求證:與是異面直線;
求于間的距離.
問題4.(上海春)在棱長為的正方體中,、分別是、 的中點(diǎn),求異面直線與所成的角( 要求用傳統(tǒng)方法和向量法,注意書寫的規(guī)范性).
解法1(傳統(tǒng)方法):
解法2(向量法):
(三)課后作業(yè):
如圖,在正方體中,、分別
是、的中點(diǎn),求證:
①、、、四點(diǎn)共面;
②、、三點(diǎn)共線.
角與的兩邊分別平行,當(dāng)時,
已知的直觀圖是邊長為的等邊,那么的面積為
如圖,在空間四邊形中,已知,
,且,對角線,
,求與所成的角.
公理:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi),那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個平面內(nèi).
作用:①作為判斷和證明是否在平面內(nèi)的依據(jù);②證明點(diǎn)在某平面內(nèi)的依據(jù);③檢驗(yàn)?zāi)趁媸欠衿矫娴囊罁?jù).
公理:如果兩個平面有一個公共點(diǎn),那么它們還有其他公共點(diǎn),且所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過這個公共點(diǎn)的直線.
作用:①作為判斷和證明兩平面是否相交;②證明點(diǎn)在某直線上;③證明三點(diǎn)共線;
④證明三線共點(diǎn).
公理: 經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個平面.
推論:經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn)有且只有一個平面.
推論:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面.
推論:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.
作用:公理及其推論是空間里確定平面的依據(jù),也是證明兩個平面重合的依據(jù),還為立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題提供了理論依據(jù)和具體辦法.
證明三點(diǎn)均在兩個平面的交線上,可以推證三點(diǎn)共線
證明直線共面通常的方法:先由其中兩條直線確定一個平面,再證明其余的直線都在此平面內(nèi)(納入法);分別過某些點(diǎn)作多個平面,然后證明這些平面重合(重合法);
也可利用共面向量定理來證明.
公理是證明直線共點(diǎn)的依據(jù),應(yīng)該這樣理解:如果、是交點(diǎn),那么是交線;
如果兩個不同平面有三個或者更多的交點(diǎn),那么它們共面;
如果,點(diǎn)是a、b的一個公共點(diǎn),那么
求兩條異面直線所成的角,首先要判斷兩條異面直線是否垂直,若垂直,則它們所成的角為;若不垂直,則利用平移法求角,一般的步驟是“作(找)-證-算”.注意,異面直線所成角的范圍是;求異面直線所成角的方法:①平移法:一般情況下應(yīng)用平行四邊形的對邊、梯形的平行對邊、三角形的中位線進(jìn)行平移.
②向量法:設(shè)、分別為異面直線、的方向向量,
則兩異面直線所成的角;③補(bǔ)體法
兩條異面直線的公垂線:①定義:和兩條異面直線都垂直相交的直線,叫做異面直線的公垂線;②證明:異面直線公垂線的證明常轉(zhuǎn)化為證明公垂線與兩條異面直線分別垂直.
兩條異面直線的距離:①定義:兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度.
②計(jì)算方法:公垂線法;轉(zhuǎn)化成線面距離(點(diǎn)面距離);轉(zhuǎn)化成面面距離.
(遼寧)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),離心率為.若它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合,則該雙曲線與拋物線的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是
(湖北)雙曲線的左準(zhǔn)線為,左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)分別為和;拋物線的準(zhǔn)線為,焦點(diǎn)為與的一個交點(diǎn)為,則等于
(天津文)設(shè)雙曲線的離心率為,且它的一條準(zhǔn)線與拋物線的準(zhǔn)線重合,則此雙曲線的方程為
(四川)設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).
若是該橢圓上的一個動點(diǎn),求的最大值和最小值;
設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且為銳角(其中為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線的斜率的取值范圍.
(上海)點(diǎn)、分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn),點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)在橢圓上,且位于軸上方,.求點(diǎn)的坐標(biāo);設(shè)是橢圓長軸上的一點(diǎn),到直線的距離等于,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值.
設(shè)集合,,且,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
正方體的面中有一動點(diǎn)到直線和的距離相等,則動點(diǎn)的軌跡是 一線段 拋物線的一部分 橢圓 橢圓的一部分
要建造一座跨度為米,拱高為米的拋物線拱橋,建橋時,每隔米用一根柱支撐,兩邊的柱長應(yīng)為
(南京模擬)已知拋物線的焦點(diǎn)恰好是橢圓的
右焦點(diǎn),且兩條曲線的公共點(diǎn)的連線過,則該橢圓的離心率為
若橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)、且是兩條曲線的一個交點(diǎn),則的面積是
已知橢圓的中心在原點(diǎn),離心率,且它的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,則此橢圓方程為
(屆高三攸縣一中)已知橢圓與雙曲線有相同的準(zhǔn)線,
則動點(diǎn)的軌跡為 橢圓的一部分 雙曲線的一部分
拋物線的一部分 直線的一部分
已知圓過雙曲線的一個頂點(diǎn)和一個焦點(diǎn),且圓心在此雙曲線上,則圓心到雙曲線中心的距離是
求與圓:和圓:都外切的圓的圓心的軌跡方程為
對于任意,拋物線與軸交于兩點(diǎn),以表示該兩點(diǎn)的距離,則的值是
問題1.(四川)已知兩定點(diǎn)滿足條件的點(diǎn)的軌跡是曲線,直線與曲線交于、兩點(diǎn)。如果且曲線上存在點(diǎn),使求的值和的面積.
問題2.(湖南)已知橢圓:,拋物線:,
且、的公共弦過橢圓的右焦點(diǎn)
當(dāng)軸時,求、的值,并判斷拋物線的焦點(diǎn)是否在直線上;
是否存在、的值,使拋物線的焦點(diǎn)恰在直線上?若存在,
求出符合條件的、的值;若不存在,請說明理由.
問題3.(寧夏)在平面直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點(diǎn)和.求的取值范圍;
設(shè)橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別為,是否存在常數(shù),使得向量與共線?如果存在,求值;如果不存在,請說明理由.
問題4.(重慶) 已知一列橢圓:,.….
若橢圓上有一點(diǎn),使到右準(zhǔn)線的距離是與
的等差中項(xiàng),其中、分別是的左、右焦點(diǎn)。
試證:≤(≥);
取,并用表示的面積,
試證:且 (≥)
問題5.某工程要挖一個橫斷面為半圓柱形的坑,挖出的土只能沿道路、運(yùn)到處(如圖),已知,,,試說明怎樣運(yùn)土最省工
圓錐曲線綜合問題包含內(nèi)部綜合、圓錐曲線與其它章節(jié)的綜合以及運(yùn)用圓錐曲線解決實(shí)際問題前者用到圓錐曲線重要的思想與方法,是高考的熱點(diǎn);圓錐曲線與其它章節(jié)的綜合要注意各部分知識點(diǎn)的聯(lián)系,后者要通過建立數(shù)學(xué)模型,把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解.
對于較為綜合的解析幾何問題,必須對題目的內(nèi)涵進(jìn)行深刻挖掘的基礎(chǔ)上,應(yīng)用整體思想,構(gòu)建轉(zhuǎn)化的“框架”,然后,綜合利用代數(shù)手段解題.
圓錐曲線的定義是解決綜合題的基礎(chǔ),定義在本質(zhì)上揭示了平面上的動點(diǎn)與定點(diǎn)(或定直線)的距離滿足某種特殊關(guān)系,從數(shù)形結(jié)合思想去理解圓錐曲線中的參數(shù)(等)的幾何意義以及這些參數(shù)間的相互關(guān)系,進(jìn)而通過它們之間組成題設(shè)條件的轉(zhuǎn)化.
綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置,因此,要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,應(yīng)用判別式、韋達(dá)定理的意識.
解析幾何應(yīng)用問題的解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,合理建立曲線模型,然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題作出定量或定性的分析與判斷.
(重慶)已知橢圓的方程為,雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為的左、右頂點(diǎn),而的左、右頂點(diǎn)分別是的左、右焦點(diǎn).(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)若直線:與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點(diǎn),且與的兩個交點(diǎn)和滿足(其中為原點(diǎn)),求的取值范圍.
(江西)是雙曲線的右支上一點(diǎn),分別是圓
和上的點(diǎn),則的最大值為
(重慶)如圖,中心在原點(diǎn)的橢圓的右焦點(diǎn)為,右準(zhǔn)線的方程為:.
求橢圓的方程;在橢圓上任取三個不同點(diǎn),使
證明:為定值,并求此定值.
(全國Ⅰ)已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,斜率為且過橢圓右焦點(diǎn)的直線交橢圓于、兩點(diǎn),與共線。
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)設(shè)為橢圓上任意一點(diǎn),且,證明為定值.
(全國Ⅱ)、、、四點(diǎn)都在橢圓上,為橢圓在軸正半軸上的焦點(diǎn).已知與共線,與共線,且.求四邊形的面積的最小值和最大值.
(浙江)已知雙曲線的中心在原點(diǎn),右頂點(diǎn)為,點(diǎn)、在雙曲線的右支上,點(diǎn)到直線的距離為, 若直線的斜率為,且, 求實(shí)數(shù)的取值范圍; 當(dāng)時,的內(nèi)心恰好是點(diǎn),求此雙曲線的方程.
(重慶文)如圖,傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn),且與拋物線交于、兩點(diǎn).
求拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線的方程;
若為銳角,作線段的垂直平分線交軸于點(diǎn),證明:為定值,并求此定值.
(山東)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最大值為,最小值為.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線:與橢圓相交于,兩點(diǎn)(不是左右頂點(diǎn)),且以為直徑的圓過橢圓的右頂點(diǎn),求證:直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
已知橢圓()的右焦點(diǎn)為,過作直線與橢圓相交于、兩點(diǎn),若有,求橢圓離心率的取值范圍.
過拋物線的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的弦、,
求證:交拋物線的對稱軸上一定點(diǎn).
如圖,在雙曲線的上支上有三點(diǎn),
,,它們與點(diǎn)的距離成等差數(shù)列.
求的值;證明:線段的垂直平分線經(jīng)過
某一定點(diǎn),并求此點(diǎn)坐標(biāo).
在幾何問題中,有些幾何量與參數(shù)無關(guān),這就構(gòu)成了定值問題,解決這類問題一種思路是進(jìn)行一般計(jì)算推理求出其結(jié)果;另一種是通過考查極端位置,探索出“定值”是多少,然后再進(jìn)行一般性證明或計(jì)算,即將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角形式,證明該式是恒定的.如果試題以客觀題形式出現(xiàn),特殊方法往往比較奏效.
對滿足一定條件曲線上兩點(diǎn)連結(jié)所得直線過定點(diǎn)或滿足一定條件的曲線過定點(diǎn)問題,設(shè)該直線(曲線)上兩點(diǎn)的坐標(biāo),利用坐標(biāo)在直線(或曲線)上,建立點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程(組),求出相應(yīng)的直線(或曲線),然后再利用直線(或曲線)過定點(diǎn)的知識加以解決.
解析幾何的最值和范圍問題,一般先根據(jù)條件列出所求目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、不等式法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值和最小值.
(二)典例分析:
問題1. (廣東)在平面直角坐標(biāo)系中,
拋物線上異于坐標(biāo)原點(diǎn)的兩不同動點(diǎn)、滿足.
(Ⅰ)求得重心的軌跡方程;
(Ⅱ)的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小值;
若不存在,請說明理由.
問題2.已知橢圓上的兩個動點(diǎn)及定點(diǎn) ,為橢圓的左焦點(diǎn),且,,成等差數(shù)列.求證:線段的垂直平分線經(jīng)過一個定點(diǎn);
設(shè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)是,求的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo).
問題3.(全國Ⅱ)已知拋物線的焦點(diǎn)為,、是拋物線上的兩動點(diǎn),且().過、兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,設(shè)其交點(diǎn)為.
(Ⅰ)證明為定值;
(Ⅱ)設(shè)的面積為,寫出的表達(dá)式,并求的最小值.
問題4.直線:和雙曲線的左支交于、兩點(diǎn),直線過點(diǎn)和線段的中點(diǎn),求在軸上的截距的取值范圍.
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