(北京)平面的斜線交于點，過定點的動直線與垂直，且交

于點，則動點的軌跡是 一條直線 　一個圓 一個橢圓 　雙曲線的一支

(北京文)設、、、是空間四個不同的點，在下列命題中，不正確的是

若與共面，則與共面

若與是異面直線，則與是異面直線

若，，則

若，，則

(重慶)對于任意的直線與平面，在平面內必有直線，使與

平行　　　 　相交　　　 垂直　　　 互為異面直線

(全國Ⅰ)在正方形中，過對角線的一個平面交于，交于，則

①　　 四邊形一定是平行四邊形;

②　　 四邊形有可能是正方形

③　　 四邊形在底面內的投影一定是正方形

④　　 四邊形有可能垂直于平面

以上結論正確的為　　　　　　 　　　　(寫出所有正確結論的編號)

(浙江)若是兩條異面直線外的任意一點，則

過點有且僅有一條直線與都平行過點有且僅有一條直線與都垂直

過點有且僅有一條直線與都相交 過點有且僅有一條直線與都異面

(天津)如圖，平面，，

且，則異面直線與所成角

的余弦值為　　　　

(江西文)如圖，已知三棱錐的側棱

、、兩兩垂直，且，，

是的中點．略；求異面直線與所成的角；

略．

問題1．(上海)若空間中有四個點，則“這四個點中有三點在同一直線上”

是“這四個點在同一平面上”的　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

充分非必要條件；必要非充分條件；充要條件；非充分非必要條件．

(全國Ⅲ)不共面的四個定點到平面的距離都相等，這樣的平面共有

個　　　　　　 個　　　　　　 個　　　　　 個

(全國Ⅱ)正方體中，

、、分別是、、的中點．

那么，正方體的過、、的截面圖形是　

　三角形 四邊形五邊形六邊形

如圖，，、，，

且，直線，過、、三點

的平面記作，則與的交線必通過

點；　　　　　　　 點；

點但不通過點； 點和點

(江蘇)如圖，已知是棱長

為的正方體，點在上，點在上，

且.求證：四點共面；(分)

略；略.

問題2．(全國Ⅱ)如圖，在直三棱柱中，，、分別

為、的中點．證明：為異面直線與的公垂線；略.

( 要求用傳統(tǒng)方法和向量法，注意書寫的規(guī)范性)

證明：方法(用傳統(tǒng)方法)：

方法(用向量法)：

問題3．如圖，在正方體中，

棱長，求證：與是異面直線；

求于間的距離.

問題4．(上海春)在棱長為的正方體中，、分別是、 的中點，求異面直線與所成的角( 要求用傳統(tǒng)方法和向量法，注意書寫的規(guī)范性).

解法1(傳統(tǒng)方法)：

解法2(向量法)：

(三)課后作業(yè)：

如圖，在正方體中，、分別

是、的中點，求證：

①、、、四點共面；

②、、三點共線.

角與的兩邊分別平行，當時， 　　　　　

已知的直觀圖是邊長為的等邊，那么的面積為

如圖，在空間四邊形中，已知，

，且，對角線，

，求與所成的角.

公理：如果一條直線上的兩點在一個平面內，那么這條直線上所有的點都在這個平面內.

作用：①作為判斷和證明是否在平面內的依據(jù)；②證明點在某平面內的依據(jù)；③檢驗某面是否平面的依據(jù).

公理：如果兩個平面有一個公共點,那么它們還有其他公共點,且所有這些公共點的集合是一條過這個公共點的直線.

作用：①作為判斷和證明兩平面是否相交；②證明點在某直線上；③證明三點共線；

④證明三線共點.

公理： 經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.

推論:經(jīng)過一條直線和直線外的一點有且只有一個平面.

推論:經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面.

推論:經(jīng)過兩條平行直線有且只有一個平面.

　 作用：公理及其推論是空間里確定平面的依據(jù)，也是證明兩個平面重合的依據(jù)，還為立體幾何問題轉化為平面幾何問題提供了理論依據(jù)和具體辦法.

證明三點均在兩個平面的交線上，可以推證三點共線

證明直線共面通常的方法：先由其中兩條直線確定一個平面，再證明其余的直線都在此平面內(納入法)；分別過某些點作多個平面，然后證明這些平面重合(重合法)；

也可利用共面向量定理來證明.

公理是證明直線共點的依據(jù)，應該這樣理解：如果、是交點，那么是交線；

如果兩個不同平面有三個或者更多的交點，那么它們共面；

如果，點是a、b的一個公共點，那么

求兩條異面直線所成的角，首先要判斷兩條異面直線是否垂直，若垂直，則它們所成的角為；若不垂直，則利用平移法求角，一般的步驟是“作(找)-證-算”.注意，異面直線所成角的范圍是；求異面直線所成角的方法：①平移法：一般情況下應用平行四邊形的對邊、梯形的平行對邊、三角形的中位線進行平移.

②向量法：設、分別為異面直線、的方向向量,

則兩異面直線所成的角；③補體法

兩條異面直線的公垂線：①定義：和兩條異面直線都垂直相交的直線，叫做異面直線的公垂線；②證明：異面直線公垂線的證明常轉化為證明公垂線與兩條異面直線分別垂直.

兩條異面直線的距離：①定義：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度.

②計算方法：公垂線法；轉化成線面距離(點面距離)；轉化成面面距離.

(遼寧)已知雙曲線的中心在原點，離心率為.若它的一條準線與拋物線的準線重合，則該雙曲線與拋物線的交點到原點的距離是　　　　　

(湖北)雙曲線的左準線為，左焦點和右焦點分別為和；拋物線的準線為，焦點為與的一個交點為，則等于　　　　　 　　　　　　 　　 　　

(天津文)設雙曲線的離心率為，且它的一條準線與拋物線的準線重合，則此雙曲線的方程為

(四川)設、分別是橢圓的左、右焦點.

若是該橢圓上的一個動點，求的最大值和最小值；

設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點、，且為銳角(其中為坐標原點)，求直線的斜率的取值范圍.

(上海)點、分別是橢圓長軸的左、右端點，點是橢圓的右焦點，點在橢圓上，且位于軸上方，.求點的坐標；設是橢圓長軸上的一點，到直線的距離等于，求橢圓上的點到點的距離的最小值.

設集合，，且，求實數(shù)的取值范圍.

正方體的面中有一動點到直線和的距離相等，則動點的軌跡是　　 一線段　　 拋物線的一部分 　橢圓　　 橢圓的一部分

要建造一座跨度為米，拱高為米的拋物線拱橋，建橋時，每隔米用一根柱支撐，兩邊的柱長應為　　　　　　　　　

(南京模擬)已知拋物線的焦點恰好是橢圓的

右焦點，且兩條曲線的公共點的連線過，則該橢圓的離心率為

若橢圓和雙曲線有共同的焦點、且是兩條曲線的一個交點,則的面積是　　　 　　　　　　　　　　

已知橢圓的中心在原點，離心率，且它的一個焦點與拋物線的焦點重合，則此橢圓方程為　 　

(屆高三攸縣一中)已知橢圓與雙曲線有相同的準線，

則動點的軌跡為　 橢圓的一部分　　　　　　 雙曲線的一部分

拋物線的一部分　　　　　　　　　　　　　 直線的一部分

已知圓過雙曲線的一個頂點和一個焦點，且圓心在此雙曲線上，則圓心到雙曲線中心的距離是　　　　　　　　　　

求與圓：和圓：都外切的圓的圓心的軌跡方程為　　　　　　　　　　

對于任意，拋物線與軸交于兩點，以表示該兩點的距離，則的值是

問題1．(四川)已知兩定點滿足條件的點的軌跡是曲線，直線與曲線交于、兩點。如果且曲線上存在點，使求的值和的面積.

問題2．(湖南)已知橢圓：,拋物線：,

且、的公共弦過橢圓的右焦點

當軸時,求、的值，并判斷拋物線的焦點是否在直線上；

是否存在、的值，使拋物線的焦點恰在直線上？若存在，

求出符合條件的、的值；若不存在，請說明理由.

問題3．(寧夏)在平面直角坐標系中，經(jīng)過點且斜率為的直線與橢圓有兩個不同的交點和．求的取值范圍；

設橢圓與軸正半軸、軸正半軸的交點分別為，是否存在常數(shù)，使得向量與共線？如果存在，求值；如果不存在，請說明理由．

問題4．(重慶)　 已知一列橢圓：，.….

若橢圓上有一點，使到右準線的距離是與

的等差中項，其中、分別是的左、右焦點。

試證：≤(≥)；

取，并用表示的面積，

試證：且 (≥)

問題5．某工程要挖一個橫斷面為半圓柱形的坑，挖出的土只能沿道路、運到處(如圖)，已知，，，試說明怎樣運土最省工

圓錐曲線綜合問題包含內部綜合、圓錐曲線與其它章節(jié)的綜合以及運用圓錐曲線解決實際問題前者用到圓錐曲線重要的思想與方法，是高考的熱點；圓錐曲線與其它章節(jié)的綜合要注意各部分知識點的聯(lián)系，后者要通過建立數(shù)學模型，把實際問題轉化為數(shù)學問題求解.

對于較為綜合的解析幾何問題，必須對題目的內涵進行深刻挖掘的基礎上，應用整體思想，構建轉化的“框架”，然后，綜合利用代數(shù)手段解題.

圓錐曲線的定義是解決綜合題的基礎，定義在本質上揭示了平面上的動點與定點(或定直線)的距離滿足某種特殊關系，從數(shù)形結合思想去理解圓錐曲線中的參數(shù)(等)的幾何意義以及這些參數(shù)間的相互關系，進而通過它們之間組成題設條件的轉化.

綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置，因此，要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，應用判別式、韋達定理的意識.

解析幾何應用問題的解題關鍵是建立適當?shù)淖鴺讼担�合理建立曲線模型，然后轉化為相應的代數(shù)問題作出定量或定性的分析與判斷.

(重慶)已知橢圓的方程為，雙曲線的左、右焦點分別為的左、右頂點，而的左、右頂點分別是的左、右焦點.(Ⅰ)求雙曲線的方程；

(Ⅱ)若直線：與橢圓及雙曲線都恒有兩個不同的交點，且與的兩個交點和滿足(其中為原點)，求的取值范圍.

(江西)是雙曲線的右支上一點，分別是圓

和上的點，則的最大值為　　 　　　

(重慶)如圖，中心在原點的橢圓的右焦點為，右準線的方程為：.

求橢圓的方程；在橢圓上任取三個不同點，使

證明：為定值，并求此定值.

(全國Ⅰ)已知橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，斜率為且過橢圓右焦點的直線交橢圓于、兩點，與共線。

(Ⅰ)求橢圓的離心率；

(Ⅱ)設為橢圓上任意一點，且，證明為定值.

(全國Ⅱ)、、、四點都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點．已知與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最小值和最大值．

(浙江)已知雙曲線的中心在原點，右頂點為，點、在雙曲線的右支上，點到直線的距離為， 若直線的斜率為，且, 求實數(shù)的取值范圍； 當時，的內心恰好是點，求此雙曲線的方程.

(重慶文)如圖，傾斜角為的直線經(jīng)過拋物線的焦點，且與拋物線交于、兩點.

求拋物線的焦點的坐標及準線的方程；

若為銳角，作線段的垂直平分線交軸于點，證明:為定值，并求此定值.

(山東)已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為．

(Ⅰ)求橢圓的標準方程；

(Ⅱ)若直線：與橢圓相交于，兩點(不是左右頂點)，且以為直徑的圓過橢圓的右頂點，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

已知橢圓()的右焦點為，過作直線與橢圓相交于、兩點，若有，求橢圓離心率的取值范圍.

過拋物線的頂點任意作兩條互相垂直的弦、，

求證：交拋物線的對稱軸上一定點.

如圖，在雙曲線的上支上有三點，

，，它們與點的距離成等差數(shù)列.

求的值；證明：線段的垂直平分線經(jīng)過

某一定點，并求此點坐標.

在幾何問題中，有些幾何量與參數(shù)無關，這就構成了定值問題，解決這類問題一種思路是進行一般計算推理求出其結果；另一種是通過考查極端位置，探索出“定值”是多少，然后再進行一般性證明或計算，即將該問題涉及的幾何式轉化為代數(shù)式或三角形式，證明該式是恒定的.如果試題以客觀題形式出現(xiàn)，特殊方法往往比較奏效.

對滿足一定條件曲線上兩點連結所得直線過定點或滿足一定條件的曲線過定點問題，設該直線(曲線)上兩點的坐標，利用坐標在直線(或曲線)上，建立點的坐標滿足的方程(組)，求出相應的直線(或曲線)，然后再利用直線(或曲線)過定點的知識加以解決.

解析幾何的最值和范圍問題，一般先根據(jù)條件列出所求目標的函數(shù)關系式，然后根據(jù)函數(shù)關系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、不等式法、單調性法、導數(shù)法以及三角函數(shù)最值法等求出它的最大值和最小值.

(二)典例分析：

問題1． (廣東)在平面直角坐標系中，

拋物線上異于坐標原點的兩不同動點、滿足．

(Ⅰ)求得重心的軌跡方程；

(Ⅱ)的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；

若不存在，請說明理由．

問題2．已知橢圓上的兩個動點及定點 ，為橢圓的左焦點，且，，成等差數(shù)列.求證：線段的垂直平分線經(jīng)過一個定點；

設點關于原點的對稱點是，求的最小值及相應的點坐標.

問題3．(全國Ⅱ)已知拋物線的焦點為，、是拋物線上的兩動點，且()．過、兩點分別作拋物線的切線，設其交點為．

(Ⅰ)證明為定值；

(Ⅱ)設的面積為，寫出的表達式，并求的最小值．

問題4．直線：和雙曲線的左支交于、兩點，直線過點和線段的中點，求在軸上的截距的取值范圍.