(一)函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石，也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容．在復(fù)習(xí)中要肯于在對(duì)定義的深入理解上下功夫．

復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面，從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手，在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問題的過程中得以深化．具體要求是：

1．正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義，能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性，能熟練運(yùn)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性．

2．從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，深化對(duì)函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運(yùn)用，歸納總結(jié)求函數(shù)最大值和最小值的常用方法．

3．培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問題，提高學(xué)生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力．

這部分內(nèi)容的重點(diǎn)是對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的深入理解．

函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論．函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢，是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì)，但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì)．函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，所以要受到區(qū)間的限制．

對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解，不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上，要明確對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(-x)=f(x)，f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件．稍加推廣，可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是對(duì)定義域內(nèi)的任意x，都有f(x+a)=f(a-x)成立．函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對(duì)稱性的反映．

這部分的難點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用．根據(jù)已知條件，調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題，是對(duì)學(xué)生能力的較高要求．

1．對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解

例4．下面四個(gè)結(jié)論：①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交；②奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn)；③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R)，其中正確命題的個(gè)數(shù)是　 (　　 )

A．1　　　 B．2　　　　　　 C．3　　　 D．4

分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，但不一定相交，因此③正確，①錯(cuò)誤．

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不一定經(jīng)過原點(diǎn)，因此②不正確．

若y=f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，由定義可得f(x)=0，但不一定x∈R，如例1中的(3)，故④錯(cuò)誤，選A．

說明：既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且函數(shù)值恒為零．

2．復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)

復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的，因變量y通過中間變量u與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系，函數(shù)u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集．

復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定，具備如下規(guī)律：

(1)單調(diào)性規(guī)律

如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間［m，n］上是單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間[g(m)，g(n)] (或[g(n)，g(m)])上也是單調(diào)函數(shù)，那么

若u=g(x)，y=f(u)增減性相同，則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]為增函數(shù)；若u=g(x)，y= f(u)增減性不同，則y=f[g(x)]為減函數(shù)．

(2)奇偶性規(guī)律

若函數(shù)g(x)，f(x)，f[g(x)]的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時(shí)，y=f[g(x)]是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時(shí)，y= f[g(x)]是偶函數(shù)．

例5．若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是( 　)

A．(0，1)　 　B．(1，2)　　　 C．(0，2)　　　 D．[2，+∞)

分析：本題存在多種解法，但不管哪種方法，都必須保證：①使log(2-ax)有意義，即a＞0且a≠1，2-ax＞0．②使log(2-ax)在[0，1]上是x的減函數(shù)．由于所給函數(shù)可分解為y=logu，u=2-ax，其中u=2-ax在a＞0時(shí)為減函數(shù)，所以必須a＞1；③[0，1]必須是y=log(2-ax)定義域的子集．

解法一：因?yàn)閒(x)在［0，1］上是x的減函數(shù)，所以f(0)＞f(1)，

即log2＞log(2-a)．

解法二：由對(duì)數(shù)概念顯然有a＞0且a≠1，因此u=2-ax在［0，1］上是減函數(shù)，y= logu應(yīng)為增函數(shù)，得a＞1，排除A，C，再令

故排除D，選B．

說明：本題為1995年全國高考試題，綜合了多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，無論是用直接法，還是用排除法都需要概念清楚，推理正確．

3．函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合運(yùn)用

例6．甲、乙兩地相距Skm，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km／h，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v(km／h)的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元．

(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(km／h)的函數(shù)，并指出這個(gè)函數(shù)的定義域；

(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛．

分析：(1)難度不大，抓住關(guān)系式：全程運(yùn)輸成本=單位時(shí)間運(yùn)輸成本×全程運(yùn)輸時(shí)間，而全程運(yùn)輸時(shí)間=(全程距離)÷(平均速度)就可以解決．

故所求函數(shù)及其定義域?yàn)?sub>

但由于題設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過ckm／h，所以(2)的解決需要

論函數(shù)的增減性來解決．

由于vv＞0，v-v＞0，并且

又S＞0，所以即

則當(dāng)v=c時(shí)，y取最小值．

說明：此題是1997年全國高考試題．由于限制汽車行駛速度不得超過c，因而求最值的方法也就不完全是常用的方法，再加上字母的抽象性，使難度有所增大．

3．求函數(shù)解析式舉例

例3．已知xy＜0，并且4x-9y=36．由此能否確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)？如果能，求出其解析式、定義域和值域；如果不能，請說明理由．

分析： 4x-9y=36在解析幾何中表示雙曲線的方程，僅此當(dāng)然不能確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)，但加上條件xy＜0呢？

所以

因此能確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)．其定義域?yàn)?-∞，-3)∪(3，+∞)．且不難得到其值域?yàn)?-∞，0)∪(0，+∞)．

說明：本例從某種程度上揭示了函數(shù)與解析幾何中方程的內(nèi)在聯(lián)系．任何一個(gè)函數(shù)的解析式都可看作一個(gè)方程，在一定條件下，方程也可轉(zhuǎn)化為表示函數(shù)的解析式．求函數(shù)解析式還有兩類問題：

(1)求常見函數(shù)的解析式．由于常見函數(shù)(一次函數(shù)，二次函數(shù)，冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)及反三角函數(shù))的解析式的結(jié)構(gòu)形式是確定的，故可用待定系數(shù)法確定其解析式．這里不再舉例．

(2)從生產(chǎn)、生活中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系的確定．這要把有關(guān)學(xué)科知識(shí)，生活經(jīng)驗(yàn)與函數(shù)概念結(jié)合起來，舉例也宜放在函數(shù)復(fù)習(xí)的以后部分．

2．求函數(shù)值域的基本類型和常用方法

函數(shù)的值域是由其對(duì)應(yīng)法則和定義域共同決定的．其類型依解析式的特點(diǎn)分可分三類：(1)求常見函數(shù)值域；(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域；(3)求由常見函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域．

2．　　　　　 由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表，實(shí)際上是求使給定式有意義的x的取值范圍．它依賴于對(duì)各種式的認(rèn)識(shí)與解不等式技能的熟練．這里的最高層次要求是給出的解析式還含有其他字

例2．已知函數(shù)定義域?yàn)?0，2)，求下列函數(shù)的定義域：

分析：x的函數(shù)f(x)是由u=x與f(u)這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)，其中x是自變量，u是中間變量．由于f(x)，f(u)是同一個(gè)函數(shù)，故(1)為已知0＜u＜2，即0＜x＜2．求x的取值范圍．

解：(1)由0＜x＜2，　 得

說明：本例(1)是求函數(shù)定義域的第二種類型，即不給出f(x)的解析式，由f(x)的定義域求函數(shù)f[g(x)]的定義域．關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義，用好換元法．(2)是二種類型的綜合．

求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系，求其定義域。

1．　　　　　 求函數(shù)定義域的基本類型和常用方法

3．通過對(duì)分段定義函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，抽象函數(shù)等的認(rèn)識(shí)，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)，進(jìn)一步樹立運(yùn)動(dòng)變化，相互聯(lián)系、制約的函數(shù)思想，為函數(shù)思想的廣泛運(yùn)用打好基礎(chǔ)．

本部分的難點(diǎn)首先在于克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識(shí)，真正明確不僅函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，而且其定義域都包含著對(duì)函數(shù)關(guān)系的制約作用，并真正以此作為處理問題的指導(dǎo)．其次在于確定函數(shù)三要素、求反函數(shù)等課題的綜合性，不僅要用到解方程，解不等式等知識(shí)，還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的結(jié)合．

Ⅰ 深化對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)

例1．下列函數(shù)中，不存在反函數(shù)的是　(　　 )

分析：處理本題有多種思路．分別求所給各函數(shù)的反函數(shù)，看是否存在是不好的，因?yàn)檫^程太繁瑣．

從概念看，這里應(yīng)判斷對(duì)于給出函數(shù)值域內(nèi)的任意值，依據(jù)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)法則，是否在其定義域內(nèi)都只有惟一確定的值與之對(duì)應(yīng)，因此可作出給定函數(shù)的圖象，用數(shù)形結(jié)合法作判斷，這是常用方法。

此題作為選擇題還可采用估算的方法．對(duì)于D，y=3是其值域內(nèi)一個(gè)值，但若y=3，則可能x=2(2＞1)，也可能x=-1(-1≤-1)．依據(jù)概念，則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù)．于是決定本題選D．

說明：不論采取什么思路，理解和運(yùn)用函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系是這里解決問題的關(guān)鍵．

由于函數(shù)三要素在函數(shù)概念中的重要地位，那么掌握確定函數(shù)三要素的基本方法當(dāng)然成了函數(shù)概念復(fù)習(xí)中的重要課題．

例1．(重慶市)函數(shù)的定義域是( D )

A、　 　　　B、　　 　C、　　　 　D、

例2．(天津市)函數(shù)()的反函數(shù)是( D )

A、　　　　　　　　　　 B、

C、　　　　　　　 　　 D、

也有個(gè)別小題的難度較大，如

例3．(北京市)函數(shù)其中P、M為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定，，給出下列四個(gè)判斷：

　 ①若，則　 ②若，則

　 ③若，則　 ④若，則

　其中正確判斷有( B )

　　 A、 1個(gè)　　 B、 2個(gè)　　 C、 3個(gè)　　 D、 4個(gè)

分析：若，則只有這一種可能．②和④是正確的．

Ⅱ 系統(tǒng)小結(jié)確定函數(shù)三要素的基本類型與常用方法

2．系統(tǒng)歸納求函數(shù)定義域、值域、解析式、反函數(shù)的基本方法．在熟練有關(guān)技能的同時(shí)，注意對(duì)換元、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用．

函數(shù)有二種定義，一是變量觀點(diǎn)下的定義，一是映射觀點(diǎn)下的定義．復(fù)習(xí)中不能僅滿足對(duì)這兩種定義的背誦，而應(yīng)在判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，兩個(gè)函數(shù)關(guān)系是否相同等問題中得到深化，更應(yīng)在有關(guān)反函數(shù)問題中正確運(yùn)用．具體要求是：

1．深化對(duì)函數(shù)概念的理解，明確函數(shù)三要素的作用，并能以此為指導(dǎo)正確理解函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系

　也許黛玉最顯著的標(biāo)志就是那雙哭腫的像桃核一樣的眼睛了，不知道這玉兒的眼淚為什么如此的多，哭得讓人斷腸。

　在大觀園中，這位恐怕就是最引人注目的了吧。由于家庭變故，從小寄居外祖母家的她變得小心翼翼，生怕被人恥笑了去，正是這樣，才使得她多疑、猜忌。然而在骨子里，黛玉有的是水一樣的柔情。

　對(duì)待自己的愛情。黛玉敢于追求，她愿意表露出來，希望寶玉能了解．在這一點(diǎn)上，她突破了封建禮教對(duì)女子的束縛，打破了這些規(guī)矩。盡管她最后含恨而死，但仍然讓我們看到了一個(gè)敢愛敢恨，敢突破，敢創(chuàng)新的奇女子。

　雖然黛玉有時(shí)會(huì)有一些小性子，小心眼，但這始終無法抹去遮住和她獨(dú)有的光輝。黛玉啊，你就像是一顆星，雖鋒芒畢露，難免刺痛他人，可你是那么特別，與眾不同。

　你讓我看到了一個(gè)女人特有的氣質(zhì)。