0  439009  439017  439023  439027  439033  439035  439039  439045  439047  439053  439059  439063  439065  439069  439075  439077  439083  439087  439089  439093  439095  439099  439101  439103  439104  439105  439107  439108  439109  439111  439113  439117  439119  439123  439125  439129  439135  439137  439143  439147  439149  439153  439159  439165  439167  439173  439177  439179  439185  439189  439195  439203  447090 

(一)函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)的性質(zhì)是研究初等函數(shù)的基石,也是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.在復(fù)習(xí)中要肯于在對(duì)定義的深入理解上下功夫.

復(fù)習(xí)函數(shù)的性質(zhì),可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面,從理解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的定義入手,在判斷和證明函數(shù)的性質(zhì)的問題中得以鞏固,在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、函數(shù)的最值及應(yīng)用問題的過程中得以深化.具體要求是:

1.正確理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的定義,能準(zhǔn)確判斷函數(shù)的奇偶性,以及函數(shù)在某一區(qū)間的單調(diào)性,能熟練運(yùn)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性.

2.從數(shù)形結(jié)合的角度認(rèn)識(shí)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,深化對(duì)函數(shù)性質(zhì)幾何特征的理解和運(yùn)用,歸納總結(jié)求函數(shù)最大值和最小值的常用方法.

3.培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問題,提高學(xué)生用換元、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力.

這部分內(nèi)容的重點(diǎn)是對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的深入理解.

函數(shù)的單調(diào)性只能在函數(shù)的定義域內(nèi)來討論.函數(shù)y=f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性,反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢,是函數(shù)在區(qū)間上的整體性質(zhì),但不一定是函數(shù)在定義域上的整體性質(zhì).函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的,所以要受到區(qū)間的限制.

對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解,不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)這兩個(gè)等式上,要明確對(duì)定義域內(nèi)任意一個(gè)x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的實(shí)質(zhì)是:函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.這是函數(shù)具備奇偶性的必要條件.稍加推廣,可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對(duì)稱的充要條件是對(duì)定義域內(nèi)的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立.函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象的特殊的對(duì)稱性的反映.

這部分的難點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的綜合運(yùn)用.根據(jù)已知條件,調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí),選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問題,是對(duì)學(xué)生能力的較高要求.

1.對(duì)函數(shù)單調(diào)性和奇偶性定義的理解

例4.下面四個(gè)結(jié)論:①偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交;②奇函數(shù)的圖象一定通過原點(diǎn);③偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱;④既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0(x∈R),其中正確命題的個(gè)數(shù)是  (   )

A.1    B.2       C.3    D.4

分析:偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,但不一定相交,因此③正確,①錯(cuò)誤.

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,但不一定經(jīng)過原點(diǎn),因此②不正確.

若y=f(x)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù),由定義可得f(x)=0,但不一定x∈R,如例1中的(3),故④錯(cuò)誤,選A.

說明:既奇又偶函數(shù)的充要條件是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱且函數(shù)值恒為零.

2.復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)

復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]是由函數(shù)u=g(x)和y=f(u)構(gòu)成的,因變量y通過中間變量u與自變量x建立起函數(shù)關(guān)系,函數(shù)u=g(x)的值域是y=f(u)定義域的子集.

復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)由構(gòu)成它的函數(shù)性質(zhì)所決定,具備如下規(guī)律:

(1)單調(diào)性規(guī)律

如果函數(shù)u=g(x)在區(qū)間[m,n]上是單調(diào)函數(shù),且函數(shù)y=f(u)在區(qū)間[g(m),g(n)] (或[g(n),g(m)])上也是單調(diào)函數(shù),那么

若u=g(x),y=f(u)增減性相同,則復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]為增函數(shù);若u=g(x),y= f(u)增減性不同,則y=f[g(x)]為減函數(shù).

(2)奇偶性規(guī)律

若函數(shù)g(x),f(x),f[g(x)]的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,則u=g(x),y=f(u)都是奇函數(shù)時(shí),y=f[g(x)]是奇函數(shù);u=g(x),y=f(u)都是偶函數(shù),或者一奇一偶時(shí),y= f[g(x)]是偶函數(shù).

例5.若y=log(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù),則a的取值范圍是(  )

A.(0,1)   B.(1,2)    C.(0,2)    D.[2,+∞)

分析:本題存在多種解法,但不管哪種方法,都必須保證:①使log(2-ax)有意義,即a>0且a≠1,2-ax>0.②使log(2-ax)在[0,1]上是x的減函數(shù).由于所給函數(shù)可分解為y=logu,u=2-ax,其中u=2-ax在a>0時(shí)為減函數(shù),所以必須a>1;③[0,1]必須是y=log(2-ax)定義域的子集.

解法一:因?yàn)閒(x)在[0,1]上是x的減函數(shù),所以f(0)>f(1),

即log2>log(2-a).

解法二:由對(duì)數(shù)概念顯然有a>0且a≠1,因此u=2-ax在[0,1]上是減函數(shù),y= logu應(yīng)為增函數(shù),得a>1,排除A,C,再令

故排除D,選B.

說明:本題為1995年全國高考試題,綜合了多個(gè)知識(shí)點(diǎn),無論是用直接法,還是用排除法都需要概念清楚,推理正確.

3.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合運(yùn)用

例6.甲、乙兩地相距Skm,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過c km/h,已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(km/h)的平方成正比,比例系數(shù)為b;固定部分為a元.

(1)把全程運(yùn)輸成本y(元)表示為速度v(km/h)的函數(shù),并指出這個(gè)函數(shù)的定義域;

(2)為了使全程運(yùn)輸成本最小,汽車應(yīng)以多大速度行駛.

分析:(1)難度不大,抓住關(guān)系式:全程運(yùn)輸成本=單位時(shí)間運(yùn)輸成本×全程運(yùn)輸時(shí)間,而全程運(yùn)輸時(shí)間=(全程距離)÷(平均速度)就可以解決.

故所求函數(shù)及其定義域?yàn)?sub>

但由于題設(shè)條件限制汽車行駛速度不超過ckm/h,所以(2)的解決需要

論函數(shù)的增減性來解決.

由于vv>0,v-v>0,并且

又S>0,所以

則當(dāng)v=c時(shí),y取最小值.

說明:此題是1997年全國高考試題.由于限制汽車行駛速度不得超過c,因而求最值的方法也就不完全是常用的方法,再加上字母的抽象性,使難度有所增大.

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3.求函數(shù)解析式舉例

例3.已知xy<0,并且4x-9y=36.由此能否確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x)?如果能,求出其解析式、定義域和值域;如果不能,請說明理由.

分析: 4x-9y=36在解析幾何中表示雙曲線的方程,僅此當(dāng)然不能確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x),但加上條件xy<0呢?

所以

因此能確定一個(gè)函數(shù)關(guān)系y=f(x).其定義域?yàn)?-∞,-3)∪(3,+∞).且不難得到其值域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞).

說明:本例從某種程度上揭示了函數(shù)與解析幾何中方程的內(nèi)在聯(lián)系.任何一個(gè)函數(shù)的解析式都可看作一個(gè)方程,在一定條件下,方程也可轉(zhuǎn)化為表示函數(shù)的解析式.求函數(shù)解析式還有兩類問題:

(1)求常見函數(shù)的解析式.由于常見函數(shù)(一次函數(shù),二次函數(shù),冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)及反三角函數(shù))的解析式的結(jié)構(gòu)形式是確定的,故可用待定系數(shù)法確定其解析式.這里不再舉例.

(2)從生產(chǎn)、生活中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系的確定.這要把有關(guān)學(xué)科知識(shí),生活經(jīng)驗(yàn)與函數(shù)概念結(jié)合起來,舉例也宜放在函數(shù)復(fù)習(xí)的以后部分.

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2.求函數(shù)值域的基本類型和常用方法

函數(shù)的值域是由其對(duì)應(yīng)法則和定義域共同決定的.其類型依解析式的特點(diǎn)分可分三類:(1)求常見函數(shù)值域;(2)求由常見函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)的值域;(3)求由常見函數(shù)作某些“運(yùn)算”而得函數(shù)的值域.

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2.      由給定函數(shù)解析式求其定義域這類問題的代表,實(shí)際上是求使給定式有意義的x的取值范圍.它依賴于對(duì)各種式的認(rèn)識(shí)與解不等式技能的熟練.這里的最高層次要求是給出的解析式還含有其他字

例2.已知函數(shù)定義域?yàn)?0,2),求下列函數(shù)的定義域:

分析:x的函數(shù)f(x)是由u=x與f(u)這兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù),其中x是自變量,u是中間變量.由于f(x),f(u)是同一個(gè)函數(shù),故(1)為已知0<u<2,即0<x<2.求x的取值范圍.

解:(1)由0<x<2,  得

說明:本例(1)是求函數(shù)定義域的第二種類型,即不給出f(x)的解析式,由f(x)的定義域求函數(shù)f[g(x)]的定義域.關(guān)鍵在于理解復(fù)合函數(shù)的意義,用好換元法.(2)是二種類型的綜合.

求函數(shù)定義域的第三種類型是一些數(shù)學(xué)問題或?qū)嶋H問題中產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系,求其定義域。

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1.      求函數(shù)定義域的基本類型和常用方法

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3.通過對(duì)分段定義函數(shù),復(fù)合函數(shù),抽象函數(shù)等的認(rèn)識(shí),進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)關(guān)系的本質(zhì),進(jìn)一步樹立運(yùn)動(dòng)變化,相互聯(lián)系、制約的函數(shù)思想,為函數(shù)思想的廣泛運(yùn)用打好基礎(chǔ).

本部分的難點(diǎn)首先在于克服“函數(shù)就是解析式”的片面認(rèn)識(shí),真正明確不僅函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則,而且其定義域都包含著對(duì)函數(shù)關(guān)系的制約作用,并真正以此作為處理問題的指導(dǎo).其次在于確定函數(shù)三要素、求反函數(shù)等課題的綜合性,不僅要用到解方程,解不等式等知識(shí),還要用到換元思想、方程思想等與函數(shù)有關(guān)概念的結(jié)合.

Ⅰ 深化對(duì)函數(shù)概念的認(rèn)識(shí)

例1.下列函數(shù)中,不存在反函數(shù)的是 (   )

      

分析:處理本題有多種思路.分別求所給各函數(shù)的反函數(shù),看是否存在是不好的,因?yàn)檫^程太繁瑣.

從概念看,這里應(yīng)判斷對(duì)于給出函數(shù)值域內(nèi)的任意值,依據(jù)相應(yīng)的對(duì)應(yīng)法則,是否在其定義域內(nèi)都只有惟一確定的值與之對(duì)應(yīng),因此可作出給定函數(shù)的圖象,用數(shù)形結(jié)合法作判斷,這是常用方法。

此題作為選擇題還可采用估算的方法.對(duì)于D,y=3是其值域內(nèi)一個(gè)值,但若y=3,則可能x=2(2>1),也可能x=-1(-1≤-1).依據(jù)概念,則易得出D中函數(shù)不存在反函數(shù).于是決定本題選D.

說明:不論采取什么思路,理解和運(yùn)用函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系是這里解決問題的關(guān)鍵.

由于函數(shù)三要素在函數(shù)概念中的重要地位,那么掌握確定函數(shù)三要素的基本方法當(dāng)然成了函數(shù)概念復(fù)習(xí)中的重要課題.

例1.(重慶市)函數(shù)的定義域是( D )

A、     B    C、     D、

例2.(天津市)函數(shù)()的反函數(shù)是( D )

A、           B、

C、           D、

也有個(gè)別小題的難度較大,如

例3.(北京市)函數(shù)其中P、M為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空子集,又規(guī)定,,給出下列四個(gè)判斷:

  ①若,則  ②若,則

  ③若,則  ④若,則

 其中正確判斷有( B )

   A、 1個(gè)   B、 2個(gè)   C、 3個(gè)   D、 4個(gè)

分析:若,則只有這一種可能.②和④是正確的.

Ⅱ 系統(tǒng)小結(jié)確定函數(shù)三要素的基本類型與常用方法

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2.系統(tǒng)歸納求函數(shù)定義域、值域、解析式、反函數(shù)的基本方法.在熟練有關(guān)技能的同時(shí),注意對(duì)換元、待定系數(shù)法等數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.

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函數(shù)有二種定義,一是變量觀點(diǎn)下的定義,一是映射觀點(diǎn)下的定義.復(fù)習(xí)中不能僅滿足對(duì)這兩種定義的背誦,而應(yīng)在判斷是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系,兩個(gè)函數(shù)關(guān)系是否相同等問題中得到深化,更應(yīng)在有關(guān)反函數(shù)問題中正確運(yùn)用.具體要求是:

1.深化對(duì)函數(shù)概念的理解,明確函數(shù)三要素的作用,并能以此為指導(dǎo)正確理解函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系

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 也許黛玉最顯著的標(biāo)志就是那雙哭腫的像桃核一樣的眼睛了,不知道這玉兒的眼淚為什么如此的多,哭得讓人斷腸。

 在大觀園中,這位恐怕就是最引人注目的了吧。由于家庭變故,從小寄居外祖母家的她變得小心翼翼,生怕被人恥笑了去,正是這樣,才使得她多疑、猜忌。然而在骨子里,黛玉有的是水一樣的柔情。

 對(duì)待自己的愛情。黛玉敢于追求,她愿意表露出來,希望寶玉能了解.在這一點(diǎn)上,她突破了封建禮教對(duì)女子的束縛,打破了這些規(guī)矩。盡管她最后含恨而死,但仍然讓我們看到了一個(gè)敢愛敢恨,敢突破,敢創(chuàng)新的奇女子。

 雖然黛玉有時(shí)會(huì)有一些小性子,小心眼,但這始終無法抹去遮住和她獨(dú)有的光輝。黛玉啊,你就像是一顆星,雖鋒芒畢露,難免刺痛他人,可你是那么特別,與眾不同。

 你讓我看到了一個(gè)女人特有的氣質(zhì)。

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