2．掌握研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)問題的能力

高中數(shù)學對函數(shù)的研究理論性加強了，對一些典型問題的研究十分重視，如求函數(shù)的定義域，確定函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性，判斷或證明函數(shù)在指定區(qū)間的單調性等，并形成了研究這些問題的初等方法，這些方法對分析問題能力，推理論證能力和綜合運用數(shù)學知識能力的培養(yǎng)和發(fā)展是十分重要的．

函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的．對于函數(shù)f(x)與g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)則分別構成方程和不等式，因此對于某些方程、不等式的問題用函數(shù)觀點認識是十分有益的；方程、不等式從另一個側面為研究函數(shù)提供了工具．

例10．方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為(　　 )

A．(0，1)　　　　　 B．(1，2)

C．(2，3)　　　　　 D．(3，+∞)

分析：在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2)．它們的交點橫坐標，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D．至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了．實際上這是要比較與2的大小．當x=2時，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應選C．

說明：本題是通過構造函數(shù)用數(shù)形結合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間．數(shù)形結合，要在結合方面下功夫．不僅要通過圖象直觀估計，而且還要計算的鄰近兩個函數(shù)值，通過比較其大小進行判斷．

例11．(1)一次函數(shù)f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，則對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，試證明之；

(2)試用上面結論證明下面的命題：

若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，則ab+bc+ca＞-1．

分析：問題(1)實質上是要證明，一次函數(shù)f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若區(qū)間兩個端點的函數(shù)值均為正，則對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性質是由于一次函數(shù)是單調的．因此本問題的證明要從函數(shù)單調性入手．

(1)證明：

當k＞0時，函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是增函數(shù)，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；

當k＜0時，函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是減函數(shù)，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．

所以對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．

(2)將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+1，構造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1．則

f(a)=(b+c)a+bc+1．

當b+c=0時，即b=-c，　　 f(a)=bc+1=-c2+1．

因為|c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0．

當b+c≠0時，f(x)=(b+c)x+bc+1為x的一次函數(shù)．

因為|b|＜1，|c|＜1，

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0，　 f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．

由問題(1)對于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．

說明：問題(2)的關鍵在于“轉化”“構造”．把證明ab+bc+ca＞-1轉化為證明ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是對稱的，構造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1，則f(a)=(b+c)a+bc+1，問題轉化為在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的條件下證明f(a)＞0．(也可構造 f(x)=(a+c)x+ac+1，證明f(b)＞0)。

例12．定義在R上的單調函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)求證f(x)為奇函數(shù)；

(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0對任意x∈R恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

分析：欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明．

(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　 ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數(shù)．

(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是單調函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)．

f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，　 k·3＜-3+9+2，

3-(1+k)·3+2＞0對任意x∈R成立．

令t=3＞0，問題等價于t-(1+k)t+2＞0對任意t＞0恒成立．

R恒成立．

說明：問題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質．f(x)是奇函數(shù)且在x∈R上是增函數(shù)，把問題轉化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+2對于任意t＞0恒成立．對二次函數(shù)f(t)進行研究求解．本題還有更簡捷的解法：

分離系數(shù)由k·3＜-3+9+2得

上述解法是將k分離出來，然后用平均值定理求解，簡捷、新穎．

1．準確理解、熟練運用，不斷深化有關函數(shù)的基礎知識

在中學階段函數(shù)只限于定義在實數(shù)集合上的一元單值函數(shù)，其內(nèi)容可分為兩部分．第一部分是函數(shù)的概念和性質，這部分的重點是能從變量的觀點和集合映射的觀點理解函數(shù)及其有關概念，掌握描述函數(shù)性質的單調性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七類常見函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù))的圖象和性質．第一部分是理論基礎，第二部分是第一部分的運用與發(fā)展．

例9．已知函數(shù)f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1}中所含元素的個數(shù)是．(　　 )

A．0　 　　　B．1　　　 C．0或1　　　 D．1或2

分析：這里首先要識別集合語言，并能正確把集合語言轉化成熟悉的語言．從函數(shù)觀點看，問題是求函數(shù)y=f(x)，x∈F的圖象與直線x=1的交點個數(shù)(這是一次數(shù)到形的轉化)，不少學生常誤認為交點是1個，并說這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的，這是不正確的，因為函數(shù)是由定義域、值域、對應法則三要素組成的．這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F，但未明確給出1與F的關系，當1∈F時有1個交點，當1 F時沒有交點，所以選C．

4．樹立函數(shù)思想，使學生善于用運動變化的觀點分析問題．

本部分內(nèi)容的重點是：通過對問題的講解與分析，使學生能較好的調動函數(shù)的基礎知識解決問題，并在解決問題中深化對基礎知識的理解，深化對函數(shù)思想、數(shù)形結合思想的理解與運用．

難點是：函數(shù)思想的理解與運用，推理論證能力、綜合運用知識解決問題能力的培養(yǎng)與提高．

函數(shù)的綜合運用主要是指運用函數(shù)的知識、思想和方法綜合解決問題．函數(shù)描述了自然界中量的依存關系，是對問題本身的數(shù)量本質特征和制約關系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點提出數(shù)學對象，抽象其數(shù)學特征，建立函數(shù)關系．因此，運動變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關函數(shù)知識是運用函數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學思想方法研究函數(shù)的能力，樹立運用函數(shù)思想解決有關數(shù)學問題的意識是運用函數(shù)思想的關鍵．

3．初步溝通函數(shù)與方程、不等式及解析幾何有關知識的橫向聯(lián)系，提高綜合運用知識解決問題的能力．

2．掌握初等數(shù)學研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)的能力，重視數(shù)形結合數(shù)學思想方法的運用和推理論證能力的培養(yǎng)．

1．在全面復習函數(shù)有關知識的基礎上，進一步深刻理解函數(shù)的有關概念，全面把握各類函數(shù)的特征，提高運用基礎知識解決問題的能力．

3．重視綜合運用知識分析問題解決問題的能力和推理論證能力的培養(yǎng)．函數(shù)是數(shù)學復習的開始，還不可能在大范圍內(nèi)綜合運用知識．但從復習開始就讓學生樹立綜合運用知識解決問題的意識是十分重要的．推理論證能力是學生的薄弱環(huán)節(jié)，近幾年高考命題中加強對這方面的考查，尤其是對代數(shù)推理論證能力的考查是十分必要的．本課題在例題安排上作了這方面的考慮．

具體要求是：

2．以數(shù)學知識為載體突出數(shù)學思想方法．數(shù)學思想方法是觀念性的東西，是解決數(shù)學問題的靈魂，同時它又離不開具體的數(shù)學知識．函數(shù)內(nèi)容最重要的數(shù)學思想是函數(shù)思想和數(shù)形結合的思想．此外還應注意在解題中運用的分類討論、換元等思想方法．解較綜合的數(shù)學問題要進行一系列等價轉化或非等價轉化．因此本課題也十分重視轉化的數(shù)學思想．

函數(shù)的綜合復習是在系統(tǒng)復習函數(shù)有關知識的基礎上進行函數(shù)的綜合應用:

1．在應用中深化基礎知識．在復習中基礎知識經(jīng)歷一個由分散到系統(tǒng)，由單一到綜合的發(fā)展過程．這個過程不是一次完成的，而是螺旋式上升的．因此要在應用深化基礎知識的同時，使基礎知識向深度和廣度發(fā)展．

(二)函數(shù)的圖象

1．掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法--描點法和圖象變換法．

2．會利用函數(shù)圖象，進一步研究函數(shù)的性質，解決方程、不等式中的問題．

3．用數(shù)形結合的思想、分類討論的思想和轉化變換的思想分析解決數(shù)學問題．

4．掌握知識之間的聯(lián)系，進一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力．

以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本節(jié)的重點．

運用描點法作圖象應避免描點前的盲目性，也應避免盲目地連點成線．要把表列在關鍵處，要把線連在恰當處．這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個大概的研究．而這個研究要借助于函數(shù)性質、方程、不等式等理論和手段，是一個難點．用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎進行變換，以及確定怎樣的變換．這也是個難點．

1．作函數(shù)圖象的一個基本方法

例7．作出下列函數(shù)的圖象(1)y=|x-2|(x+1)；(2)y=10|lgx|．

分析：顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點有些困難，除去對其函數(shù)性質分析外，我們還應想到對已知解析式進行等價變形．

解：(1)當x≥2時，即x-2≥0時，

當x＜2時，即x-2＜0時，

這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出(見圖6)

(2)當x≥1時，lgx≥0，y=10|lgx|=10^lgx=x；

當0＜x＜1時，lgx＜0，

所以

這是分段函數(shù)，每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出．(見圖7)

說明：作不熟悉的函數(shù)圖象，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過程是否等價，要特別注意x，y的變化范圍．因此必須熟記基本函數(shù)的圖象．例如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖象．

在變換函數(shù)解析式中運用了轉化變換和分類討論的思想．

2．作函數(shù)圖象的另一個基本方法--圖象變換法．

一個函數(shù)圖象經(jīng)過適當?shù)淖儞Q(如平移、伸縮、對稱、旋轉等)，得到另一個與之相關的圖象，這就是函數(shù)的圖象變換．

在高中，主要學習了三種圖象變換：平移變換、伸縮變換、對稱變換．

(1)平移變換

函數(shù)y=f(x+a)(a≠0)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|個單位而得到；

函數(shù)y=f(x)+b(b≠0)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|個單位而得到．

(2)伸縮變換

函數(shù)y=Af(x)(A＞0，A≠1)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的縱坐標伸長(A＞1)或縮短(0＜A＜1)成原來的A倍，橫坐標不變而得到．

函數(shù)y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上

而得到．

(3)對稱變換

函數(shù)y=-f(x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關于x軸對稱的圖形而得到．

函數(shù)y=f(-x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關于y軸對稱的圖形而得到．

函數(shù)y=-f(-x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關于原點對稱的圖形而得到．

函數(shù)y=f-1(x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關于直線y=x對稱的圖形而得到。

函數(shù)y=f(|x|)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)在y軸右方的圖象及其與y軸對稱的圖形而得到．

函數(shù)y=|f(x)|的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象，然后把在x軸下方的圖象以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，其余部分保持不變而得到．

例8．已知f(x+199)=4x+4x+3(x∈R)，那么函數(shù)f(x)的最小值為____．

分析：由f(x+199)的解析式求f(x)的解析式運算量較大，但這里我們注意到，y=f(x +100)與y=f(x)，其圖象僅是左右平移關系，它們?nèi)〉?/p>

求得f(x)的最小值即f(x+199)的最小值是2．

說明：函數(shù)圖象與函數(shù)性質本身在學習中也是密切聯(lián)系的，是“互相利用”關系，函數(shù)圖象在判斷函數(shù)奇偶性、單調性、周期性及求最值等方面都有重要用途．