2.掌握研究函數(shù)的方法,提高研究函數(shù)問題的能力
高中數(shù)學(xué)對函數(shù)的研究理論性加強(qiáng)了,對一些典型問題的研究十分重視,如求函數(shù)的定義域,確定函數(shù)的解析式,判斷函數(shù)的奇偶性,判斷或證明函數(shù)在指定區(qū)間的單調(diào)性等,并形成了研究這些問題的初等方法,這些方法對分析問題能力,推理論證能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識能力的培養(yǎng)和發(fā)展是十分重要的.
函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的.對于函數(shù)f(x)與g(x),令f(x)=g(x),f(x)>g(x)或f(x)<g(x)則分別構(gòu)成方程和不等式,因此對于某些方程、不等式的問題用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識是十分有益的;方程、不等式從另一個(gè)側(cè)面為研究函數(shù)提供了工具.
例10.方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,+∞)
分析:在同一平面直角坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2).它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo),顯然在區(qū)間(1,3)內(nèi),由此可排除A,D.至于選B還是選C,由于畫圖精確性的限制,單憑直觀就比較困難了.實(shí)際上這是要比較與2的大。(dāng)x=2時(shí),lgx=lg2,3-x=1.由于lg2<1,因此>2,從而判定∈(2,3),故本題應(yīng)選C.
說明:本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間.?dāng)?shù)形結(jié)合,要在結(jié)合方面下功夫.不僅要通過圖象直觀估計(jì),而且還要計(jì)算的鄰近兩個(gè)函數(shù)值,通過比較其大小進(jìn)行判斷.
例11.(1)一次函數(shù)f(x)=kx+h(k≠0),若m<n有f(m)>0,f(n)>0,則對于任意x∈(m,n)都有f(x)>0,試證明之;
(2)試用上面結(jié)論證明下面的命題:
若a,b,c∈R且|a|<1,|b|<1,|c|<1,則ab+bc+ca>-1.
分析:問題(1)實(shí)質(zhì)上是要證明,一次函數(shù)f(x)=kx+h(k≠0), x∈(m, n).若區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值均為正,則對于任意x∈(m,n)都有f(x)>0.之所以具有上述性質(zhì)是由于一次函數(shù)是單調(diào)的.因此本問題的證明要從函數(shù)單調(diào)性入手.
(1)證明:
當(dāng)k>0時(shí),函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是增函數(shù),m<x<n,f(x)>f(m)>0;
當(dāng)k<0時(shí),函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是減函數(shù),m<x<n,f(x)>f(n)>0.
所以對于任意x∈(m,n)都有f(x)>0成立.
(2)將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+1,構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1.則
f(a)=(b+c)a+bc+1.
當(dāng)b+c=0時(shí),即b=-c, f(a)=bc+1=-c2+1.
因?yàn)閨c|<1,所以f(a)=-c2+1>0.
當(dāng)b+c≠0時(shí),f(x)=(b+c)x+bc+1為x的一次函數(shù).
因?yàn)閨b|<1,|c|<1,
f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)>0, f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)>0.
由問題(1)對于|a|<1的一切值f(a)>0,即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1>0.
說明:問題(2)的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”“構(gòu)造”.把證明ab+bc+ca>-1轉(zhuǎn)化為證明ab+bc+ca+1>0, 由于式子ab+bc+ca+1中, a,b,c是對稱的,構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1,則f(a)=(b+c)a+bc+1,問題轉(zhuǎn)化為在|a|<1,|b|<1,|c|<1的條件下證明f(a)>0.(也可構(gòu)造 f(x)=(a+c)x+ac+1,證明f(b)>0)。
例12.定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y).
(1)求證f(x)為奇函數(shù);
(2)若f(k·3)+f(3-9-2)<0對任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
分析:欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立.在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中,令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題,求f(0)的值.令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0,f(x)是奇函數(shù)得到證明.
(1)證明:f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R), ①
令x=y=0,代入①式,得f(0+0)=f(0)+f(0),即 f(0)=0.
令y=-x,代入①式,得 f(x-x)=f(x)+f(-x),又f(0)=0,則有
0=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立,所以f(x)是奇函數(shù).
(2)解:f(3)=log3>0,即f(3)>f(0),又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù),所以f(x)在R上是增函數(shù),又由(1)f(x)是奇函數(shù).
f(k·3)<-f(3-9-2)=f(-3+9+2), k·3<-3+9+2,
3-(1+k)·3+2>0對任意x∈R成立.
令t=3>0,問題等價(jià)于t-(1+k)t+2>0對任意t>0恒成立.
R恒成立.
說明:問題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì).f(x)是奇函數(shù)且在x∈R上是增函數(shù),把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+2對于任意t>0恒成立.對二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解.本題還有更簡捷的解法:
分離系數(shù)由k·3<-3+9+2得
上述解法是將k分離出來,然后用平均值定理求解,簡捷、新穎.
1.準(zhǔn)確理解、熟練運(yùn)用,不斷深化有關(guān)函數(shù)的基礎(chǔ)知識
在中學(xué)階段函數(shù)只限于定義在實(shí)數(shù)集合上的一元單值函數(shù),其內(nèi)容可分為兩部分.第一部分是函數(shù)的概念和性質(zhì),這部分的重點(diǎn)是能從變量的觀點(diǎn)和集合映射的觀點(diǎn)理解函數(shù)及其有關(guān)概念,掌握描述函數(shù)性質(zhì)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等概念;第二部分是七類常見函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù))的圖象和性質(zhì).第一部分是理論基礎(chǔ),第二部分是第一部分的運(yùn)用與發(fā)展.
例9.已知函數(shù)f(x),x∈F,那么集合{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的個(gè)數(shù)是.( )
A.0 B.1 C.0或1 D.1或2
分析:這里首先要識別集合語言,并能正確把集合語言轉(zhuǎn)化成熟悉的語言.從函數(shù)觀點(diǎn)看,問題是求函數(shù)y=f(x),x∈F的圖象與直線x=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化),不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點(diǎn)是1個(gè),并說這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的,這是不正確的,因?yàn)楹瘮?shù)是由定義域、值域、對應(yīng)法則三要素組成的.這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F,但未明確給出1與F的關(guān)系,當(dāng)1∈F時(shí)有1個(gè)交點(diǎn),當(dāng)1 F時(shí)沒有交點(diǎn),所以選C.
4.樹立函數(shù)思想,使學(xué)生善于用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問題.
本部分內(nèi)容的重點(diǎn)是:通過對問題的講解與分析,使學(xué)生能較好的調(diào)動(dòng)函數(shù)的基礎(chǔ)知識解決問題,并在解決問題中深化對基礎(chǔ)知識的理解,深化對函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想的理解與運(yùn)用.
難點(diǎn)是:函數(shù)思想的理解與運(yùn)用,推理論證能力、綜合運(yùn)用知識解決問題能力的培養(yǎng)與提高.
函數(shù)的綜合運(yùn)用主要是指運(yùn)用函數(shù)的知識、思想和方法綜合解決問題.函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系,是對問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫,用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對象,抽象其數(shù)學(xué)特征,建立函數(shù)關(guān)系.因此,運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓,掌握有關(guān)函數(shù)知識是運(yùn)用函數(shù)思想的前提,提高用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力,樹立運(yùn)用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的意識是運(yùn)用函數(shù)思想的關(guān)鍵.
3.初步溝通函數(shù)與方程、不等式及解析幾何有關(guān)知識的橫向聯(lián)系,提高綜合運(yùn)用知識解決問題的能力.
2.掌握初等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的方法,提高研究函數(shù)的能力,重視數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用和推理論證能力的培養(yǎng).
1.在全面復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念,全面把握各類函數(shù)的特征,提高運(yùn)用基礎(chǔ)知識解決問題的能力.
3.重視綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力和推理論證能力的培養(yǎng).函數(shù)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的開始,還不可能在大范圍內(nèi)綜合運(yùn)用知識.但從復(fù)習(xí)開始就讓學(xué)生樹立綜合運(yùn)用知識解決問題的意識是十分重要的.推理論證能力是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié),近幾年高考命題中加強(qiáng)對這方面的考查,尤其是對代數(shù)推理論證能力的考查是十分必要的.本課題在例題安排上作了這方面的考慮.
具體要求是:
2.以數(shù)學(xué)知識為載體突出數(shù)學(xué)思想方法.?dāng)?shù)學(xué)思想方法是觀念性的東西,是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂,同時(shí)它又離不開具體的數(shù)學(xué)知識.函數(shù)內(nèi)容最重要的數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想.此外還應(yīng)注意在解題中運(yùn)用的分類討論、換元等思想方法.解較綜合的數(shù)學(xué)問題要進(jìn)行一系列等價(jià)轉(zhuǎn)化或非等價(jià)轉(zhuǎn)化.因此本課題也十分重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
函數(shù)的綜合復(fù)習(xí)是在系統(tǒng)復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行函數(shù)的綜合應(yīng)用:
1.在應(yīng)用中深化基礎(chǔ)知識.在復(fù)習(xí)中基礎(chǔ)知識經(jīng)歷一個(gè)由分散到系統(tǒng),由單一到綜合的發(fā)展過程.這個(gè)過程不是一次完成的,而是螺旋式上升的.因此要在應(yīng)用深化基礎(chǔ)知識的同時(shí),使基礎(chǔ)知識向深度和廣度發(fā)展.
(二)函數(shù)的圖象
1.掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法--描點(diǎn)法和圖象變換法.
2.會利用函數(shù)圖象,進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì),解決方程、不等式中的問題.
3.用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題.
4.掌握知識之間的聯(lián)系,進(jìn)一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力.
以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種,即列表描點(diǎn)法和圖象變換法,掌握這兩種方法是本節(jié)的重點(diǎn).
運(yùn)用描點(diǎn)法作圖象應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性,也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線.要把表列在關(guān)鍵處,要把線連在恰當(dāng)處.這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個(gè)大概的研究.而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段,是一個(gè)難點(diǎn).用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換,以及確定怎樣的變換.這也是個(gè)難點(diǎn).
1.作函數(shù)圖象的一個(gè)基本方法
例7.作出下列函數(shù)的圖象(1)y=|x-2|(x+1);(2)y=10|lgx|.
分析:顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點(diǎn)有些困難,除去對其函數(shù)性質(zhì)分析外,我們還應(yīng)想到對已知解析式進(jìn)行等價(jià)變形.
解:(1)當(dāng)x≥2時(shí),即x-2≥0時(shí),
當(dāng)x<2時(shí),即x-2<0時(shí),
這是分段函數(shù),每段函數(shù)圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出(見圖6)
(2)當(dāng)x≥1時(shí),lgx≥0,y=10|lgx|=10lgx=x;
當(dāng)0<x<1時(shí),lgx<0,
所以
這是分段函數(shù),每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出.(見圖7)
說明:作不熟悉的函數(shù)圖象,可以變形成基本函數(shù)再作圖,但要注意變形過程是否等價(jià),要特別注意x,y的變化范圍.因此必須熟記基本函數(shù)的圖象.例如:一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù),及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖象.
在變換函數(shù)解析式中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化變換和分類討論的思想.
2.作函數(shù)圖象的另一個(gè)基本方法--圖象變換法.
一個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q(如平移、伸縮、對稱、旋轉(zhuǎn)等),得到另一個(gè)與之相關(guān)的圖象,這就是函數(shù)的圖象變換.
在高中,主要學(xué)習(xí)了三種圖象變換:平移變換、伸縮變換、對稱變換.
(1)平移變換
函數(shù)y=f(x+a)(a≠0)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|個(gè)單位而得到;
函數(shù)y=f(x)+b(b≠0)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個(gè)單位而得到.
(2)伸縮變換
函數(shù)y=Af(x)(A>0,A≠1)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(A>1)或縮短(0<A<1)成原來的A倍,橫坐標(biāo)不變而得到.
函數(shù)y=f(ωx)(ω>0,ω≠1)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上
而得到.
(3)對稱變換
函數(shù)y=-f(x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱的圖形而得到.
函數(shù)y=f(-x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱的圖形而得到.
函數(shù)y=-f(-x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖形而得到.
函數(shù)y=f-1(x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱的圖形而得到。
函數(shù)y=f(|x|)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)在y軸右方的圖象及其與y軸對稱的圖形而得到.
函數(shù)y=|f(x)|的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象,然后把在x軸下方的圖象以x軸為對稱軸翻折到x軸上方,其余部分保持不變而得到.
例8.已知f(x+199)=4x+4x+3(x∈R),那么函數(shù)f(x)的最小值為____.
分析:由f(x+199)的解析式求f(x)的解析式運(yùn)算量較大,但這里我們注意到,y=f(x +100)與y=f(x),其圖象僅是左右平移關(guān)系,它們?nèi)〉?/p>
求得f(x)的最小值即f(x+199)的最小值是2.
說明:函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)本身在學(xué)習(xí)中也是密切聯(lián)系的,是“互相利用”關(guān)系,函數(shù)圖象在判斷函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性及求最值等方面都有重要用途.
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