2．掌握研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)問題的能力

高中數(shù)學(xué)對函數(shù)的研究理論性加強(qiáng)了，對一些典型問題的研究十分重視，如求函數(shù)的定義域，確定函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的奇偶性，判斷或證明函數(shù)在指定區(qū)間的單調(diào)性等，并形成了研究這些問題的初等方法，這些方法對分析問題能力，推理論證能力和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識能力的培養(yǎng)和發(fā)展是十分重要的．

函數(shù)、方程、不等式是相互聯(lián)系的．對于函數(shù)f(x)與g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)則分別構(gòu)成方程和不等式，因此對于某些方程、不等式的問題用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識是十分有益的；方程、不等式從另一個(gè)側(cè)面為研究函數(shù)提供了工具．

例10．方程lgx+x=3的解所在區(qū)間為(　　 )

A．(0，1)　　　　　 B．(1，2)

C．(2，3)　　　　　 D．(3，+∞)

分析：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象(如圖2)．它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，顯然在區(qū)間(1，3)內(nèi)，由此可排除A，D．至于選B還是選C，由于畫圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了．實(shí)際上這是要比較與2的大�。�當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此＞2，從而判定∈(2，3)，故本題應(yīng)選C．

說明：本題是通過構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x=3解所在的區(qū)間．?dāng)?shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫．不僅要通過圖象直觀估計(jì)，而且還要計(jì)算的鄰近兩個(gè)函數(shù)值，通過比較其大小進(jìn)行判斷．

例11．(1)一次函數(shù)f(x)=kx+h(k≠0)，若m＜n有f(m)＞0，f(n)＞0，則對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0，試證明之；

(2)試用上面結(jié)論證明下面的命題：

若a，b，c∈R且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，則ab+bc+ca＞-1．

分析：問題(1)實(shí)質(zhì)上是要證明，一次函數(shù)f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)的函數(shù)值均為正，則對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性質(zhì)是由于一次函數(shù)是單調(diào)的．因此本問題的證明要從函數(shù)單調(diào)性入手．

(1)證明：

當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是增函數(shù)，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；

當(dāng)k＜0時(shí)，函數(shù)f(x)=kx+h在x∈R上是減函數(shù)，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．

所以對于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．

(2)將ab+bc+ca+1寫成(b+c)a+bc+1，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1．則

f(a)=(b+c)a+bc+1．

當(dāng)b+c=0時(shí)，即b=-c，　　 f(a)=bc+1=-c2+1．

因?yàn)閨c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0．

當(dāng)b+c≠0時(shí)，f(x)=(b+c)x+bc+1為x的一次函數(shù)．

因?yàn)閨b|＜1，|c|＜1，

f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0，　 f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．

由問題(1)對于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．

說明：問題(2)的關(guān)鍵在于“轉(zhuǎn)化”“構(gòu)造”．把證明ab+bc+ca＞-1轉(zhuǎn)化為證明ab+bc+ca+1＞0， 由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是對稱的，構(gòu)造函數(shù)f(x)=(b+c)x+bc+1，則f(a)=(b+c)a+bc+1，問題轉(zhuǎn)化為在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的條件下證明f(a)＞0．(也可構(gòu)造 f(x)=(a+c)x+ac+1，證明f(b)＞0)。

例12．定義在R上的單調(diào)函數(shù)f(x)滿足f(3)=log3且對任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)．

(1)求證f(x)為奇函數(shù)；

(2)若f(k·3)+f(3-9-2)＜0對任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

分析：欲證f(x)為奇函數(shù)即要證對任意x都有f(-x)=-f(x)成立．在式子f(x+y)=f(x)+f(y)中，令y=-x可得f(0)=f(x)+f(-x)于是又提出新的問題，求f(0)的值．令x=y=0可得f(0)=f(0)+f(0)即f(0)=0，f(x)是奇函數(shù)得到證明．

(1)證明：f(x+y)=f(x)+f(y)(x，y∈R)，　　　　　　 ①

令x=y=0，代入①式，得f(0+0)=f(0)+f(0)，即 f(0)=0．

令y=-x，代入①式，得 f(x-x)=f(x)+f(-x)，又f(0)=0，則有

0=f(x)+f(-x)．即f(-x)=-f(x)對任意x∈R成立，所以f(x)是奇函數(shù)．

(2)解：f(3)=log3＞0，即f(3)＞f(0)，又f(x)在R上是單調(diào)函數(shù)，所以f(x)在R上是增函數(shù)，又由(1)f(x)是奇函數(shù)．

f(k·3)＜-f(3-9-2)=f(-3+9+2)，　 k·3＜-3+9+2，

3-(1+k)·3+2＞0對任意x∈R成立．

令t=3＞0，問題等價(jià)于t-(1+k)t+2＞0對任意t＞0恒成立．

R恒成立．

說明：問題(2)的上述解法是根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)．f(x)是奇函數(shù)且在x∈R上是增函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)f(t)=t-(1+k)t+2對于任意t＞0恒成立．對二次函數(shù)f(t)進(jìn)行研究求解．本題還有更簡捷的解法：

分離系數(shù)由k·3＜-3+9+2得

上述解法是將k分離出來，然后用平均值定理求解，簡捷、新穎．

1．準(zhǔn)確理解、熟練運(yùn)用，不斷深化有關(guān)函數(shù)的基礎(chǔ)知識

在中學(xué)階段函數(shù)只限于定義在實(shí)數(shù)集合上的一元單值函數(shù)，其內(nèi)容可分為兩部分．第一部分是函數(shù)的概念和性質(zhì)，這部分的重點(diǎn)是能從變量的觀點(diǎn)和集合映射的觀點(diǎn)理解函數(shù)及其有關(guān)概念，掌握描述函數(shù)性質(zhì)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七類常見函數(shù)(一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù))的圖象和性質(zhì)．第一部分是理論基礎(chǔ)，第二部分是第一部分的運(yùn)用與發(fā)展．

例9．已知函數(shù)f(x)，x∈F，那么集合{(x，y)|y=f(x)，x∈F}∩{(x，y)|x=1}中所含元素的個(gè)數(shù)是．(　　 )

A．0　 　　　B．1　　　 C．0或1　　　 D．1或2

分析：這里首先要識別集合語言，并能正確把集合語言轉(zhuǎn)化成熟悉的語言．從函數(shù)觀點(diǎn)看，問題是求函數(shù)y=f(x)，x∈F的圖象與直線x=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)(這是一次數(shù)到形的轉(zhuǎn)化)，不少學(xué)生常誤認(rèn)為交點(diǎn)是1個(gè)，并說這是根據(jù)函數(shù)定義中“惟一確定”的規(guī)定得到的，這是不正確的，因?yàn)楹瘮?shù)是由定義域、值域、對應(yīng)法則三要素組成的．這里給出了函數(shù)y=f(x)的定義域是F，但未明確給出1與F的關(guān)系，當(dāng)1∈F時(shí)有1個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)1 F時(shí)沒有交點(diǎn)，所以選C．

4．樹立函數(shù)思想，使學(xué)生善于用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)分析問題．

本部分內(nèi)容的重點(diǎn)是：通過對問題的講解與分析，使學(xué)生能較好的調(diào)動(dòng)函數(shù)的基礎(chǔ)知識解決問題，并在解決問題中深化對基礎(chǔ)知識的理解，深化對函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想的理解與運(yùn)用．

難點(diǎn)是：函數(shù)思想的理解與運(yùn)用，推理論證能力、綜合運(yùn)用知識解決問題能力的培養(yǎng)與提高．

函數(shù)的綜合運(yùn)用主要是指運(yùn)用函數(shù)的知識、思想和方法綜合解決問題．函數(shù)描述了自然界中量的依存關(guān)系，是對問題本身的數(shù)量本質(zhì)特征和制約關(guān)系的一種刻畫，用聯(lián)系和變化的觀點(diǎn)提出數(shù)學(xué)對象，抽象其數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系．因此，運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系、相互制約是函數(shù)思想的精髓，掌握有關(guān)函數(shù)知識是運(yùn)用函數(shù)思想的前提，提高用初等數(shù)學(xué)思想方法研究函數(shù)的能力，樹立運(yùn)用函數(shù)思想解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題的意識是運(yùn)用函數(shù)思想的關(guān)鍵．

3．初步溝通函數(shù)與方程、不等式及解析幾何有關(guān)知識的橫向聯(lián)系，提高綜合運(yùn)用知識解決問題的能力．

2．掌握初等數(shù)學(xué)研究函數(shù)的方法，提高研究函數(shù)的能力，重視數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用和推理論證能力的培養(yǎng)．

1．在全面復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深刻理解函數(shù)的有關(guān)概念，全面把握各類函數(shù)的特征，提高運(yùn)用基礎(chǔ)知識解決問題的能力．

3．重視綜合運(yùn)用知識分析問題解決問題的能力和推理論證能力的培養(yǎng)．函數(shù)是數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的開始，還不可能在大范圍內(nèi)綜合運(yùn)用知識．但從復(fù)習(xí)開始就讓學(xué)生樹立綜合運(yùn)用知識解決問題的意識是十分重要的．推理論證能力是學(xué)生的薄弱環(huán)節(jié)，近幾年高考命題中加強(qiáng)對這方面的考查，尤其是對代數(shù)推理論證能力的考查是十分必要的．本課題在例題安排上作了這方面的考慮．

具體要求是：

2．以數(shù)學(xué)知識為載體突出數(shù)學(xué)思想方法．?dāng)?shù)學(xué)思想方法是觀念性的東西，是解決數(shù)學(xué)問題的靈魂，同時(shí)它又離不開具體的數(shù)學(xué)知識．函數(shù)內(nèi)容最重要的數(shù)學(xué)思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合的思想．此外還應(yīng)注意在解題中運(yùn)用的分類討論、換元等思想方法．解較綜合的數(shù)學(xué)問題要進(jìn)行一系列等價(jià)轉(zhuǎn)化或非等價(jià)轉(zhuǎn)化．因此本課題也十分重視轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．

函數(shù)的綜合復(fù)習(xí)是在系統(tǒng)復(fù)習(xí)函數(shù)有關(guān)知識的基礎(chǔ)上進(jìn)行函數(shù)的綜合應(yīng)用:

1．在應(yīng)用中深化基礎(chǔ)知識．在復(fù)習(xí)中基礎(chǔ)知識經(jīng)歷一個(gè)由分散到系統(tǒng)，由單一到綜合的發(fā)展過程．這個(gè)過程不是一次完成的，而是螺旋式上升的．因此要在應(yīng)用深化基礎(chǔ)知識的同時(shí)，使基礎(chǔ)知識向深度和廣度發(fā)展．

(二)函數(shù)的圖象

1．掌握描繪函數(shù)圖象的兩種基本方法--描點(diǎn)法和圖象變換法．

2．會利用函數(shù)圖象，進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)，解決方程、不等式中的問題．

3．用數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想和轉(zhuǎn)化變換的思想分析解決數(shù)學(xué)問題．

4．掌握知識之間的聯(lián)系，進(jìn)一步培養(yǎng)觀察、分析、歸納、概括和綜合分析能力．

以解析式表示的函數(shù)作圖象的方法有兩種，即列表描點(diǎn)法和圖象變換法，掌握這兩種方法是本節(jié)的重點(diǎn)．

運(yùn)用描點(diǎn)法作圖象應(yīng)避免描點(diǎn)前的盲目性，也應(yīng)避免盲目地連點(diǎn)成線．要把表列在關(guān)鍵處，要把線連在恰當(dāng)處．這就要求對所要畫圖象的存在范圍、大致特征、變化趨勢等作一個(gè)大概的研究．而這個(gè)研究要借助于函數(shù)性質(zhì)、方程、不等式等理論和手段，是一個(gè)難點(diǎn)．用圖象變換法作函數(shù)圖象要確定以哪一種函數(shù)的圖象為基礎(chǔ)進(jìn)行變換，以及確定怎樣的變換．這也是個(gè)難點(diǎn)．

1．作函數(shù)圖象的一個(gè)基本方法

例7．作出下列函數(shù)的圖象(1)y=|x-2|(x+1)；(2)y=10|lgx|．

分析：顯然直接用已知函數(shù)的解析式列表描點(diǎn)有些困難，除去對其函數(shù)性質(zhì)分析外，我們還應(yīng)想到對已知解析式進(jìn)行等價(jià)變形．

解：(1)當(dāng)x≥2時(shí)，即x-2≥0時(shí)，

當(dāng)x＜2時(shí)，即x-2＜0時(shí)，

這是分段函數(shù)，每段函數(shù)圖象可根據(jù)二次函數(shù)圖象作出(見圖6)

(2)當(dāng)x≥1時(shí)，lgx≥0，y=10|lgx|=10^lgx=x；

當(dāng)0＜x＜1時(shí)，lgx＜0，

所以

這是分段函數(shù)，每段函數(shù)可根據(jù)正比例函數(shù)或反比例函數(shù)作出．(見圖7)

說明：作不熟悉的函數(shù)圖象，可以變形成基本函數(shù)再作圖，但要注意變形過程是否等價(jià)，要特別注意x，y的變化范圍．因此必須熟記基本函數(shù)的圖象．例如：一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，及三角函數(shù)、反三角函數(shù)的圖象．

在變換函數(shù)解析式中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化變換和分類討論的思想．

2．作函數(shù)圖象的另一個(gè)基本方法--圖象變換法．

一個(gè)函數(shù)圖象經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q(如平移、伸縮、對稱、旋轉(zhuǎn)等)，得到另一個(gè)與之相關(guān)的圖象，這就是函數(shù)的圖象變換．

在高中，主要學(xué)習(xí)了三種圖象變換：平移變換、伸縮變換、對稱變換．

(1)平移變換

函數(shù)y=f(x+a)(a≠0)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象向左(a＞0)或向右(a＜0)平移|a|個(gè)單位而得到；

函數(shù)y=f(x)+b(b≠0)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象向上(b＞0)或向下(b＜0)平移|b|個(gè)單位而得到．

(2)伸縮變換

函數(shù)y=Af(x)(A＞0，A≠1)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(A＞1)或縮短(0＜A＜1)成原來的A倍，橫坐標(biāo)不變而得到．

函數(shù)y=f(ωx)(ω＞0，ω≠1)的圖象可以通過把函數(shù)y=f(x)的圖象上

而得到．

(3)對稱變換

函數(shù)y=-f(x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱的圖形而得到．

函數(shù)y=f(-x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱的圖形而得到．

函數(shù)y=-f(-x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱的圖形而得到．

函數(shù)y=f-1(x)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱的圖形而得到。

函數(shù)y=f(|x|)的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)在y軸右方的圖象及其與y軸對稱的圖形而得到．

函數(shù)y=|f(x)|的圖象可以通過作函數(shù)y=f(x)的圖象，然后把在x軸下方的圖象以x軸為對稱軸翻折到x軸上方，其余部分保持不變而得到．

例8．已知f(x+199)=4x+4x+3(x∈R)，那么函數(shù)f(x)的最小值為____．

分析：由f(x+199)的解析式求f(x)的解析式運(yùn)算量較大，但這里我們注意到，y=f(x +100)與y=f(x)，其圖象僅是左右平移關(guān)系，它們?nèi)〉?/p>

求得f(x)的最小值即f(x+199)的最小值是2．

說明：函數(shù)圖象與函數(shù)性質(zhì)本身在學(xué)習(xí)中也是密切聯(lián)系的，是“互相利用”關(guān)系，函數(shù)圖象在判斷函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、周期性及求最值等方面都有重要用途．