58.答案:f-1(0)=a且f-1(x)<x,x∈A或y=f-1(x)的圖象在直線y=x的下方,且與y軸的交點(diǎn)為(0,a)
解析:因?yàn)?i>y=f(x)有反函數(shù),則y=f(x)與其反函數(shù)y=f-1(x)關(guān)于y=x對(duì)稱.
由方程f(x)=0有解x=a,則f(a)=0,又f(x)>x,說明在定義域D內(nèi),函數(shù)y=
f(x)的圖象在直線y=x的上方,而y=f(x)的反函數(shù)y=f-1(x)與y=f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.因此,從代數(shù)角度回答有f-1(0)=a且f-1(x)<x.從幾何角度回答有y=f-1(x)的圖象在直線y=x的下方,且與y軸的交點(diǎn)為(0,a).
※59.答案:1995,2000(或1985,1990)
解析:從圖中的數(shù)據(jù)可觀察到:從1995年到2000年的五年間居住面積增長最快.應(yīng)填1995,2000.
如果從增長的速度思考,應(yīng)填1985,1990.
評(píng)述:這是小學(xué)六年級(jí)學(xué)習(xí)的條形統(tǒng)計(jì)圖,放在高考題中,充分反映了高考的命題思想,獨(dú)具匠心,妙哉!本題考查了考生讀圖識(shí)圖能力以及用數(shù)學(xué)方法解決問題的能力.由于題設(shè)中沒有對(duì)增長量或增長速度做明確要求.兩種結(jié)果都對(duì)(只填一個(gè)即可).
57.答案:-1
解析:得3x=t
∴
∴t=
∴3x=,∴x=-1
56.答案:②④
解析:y=(-x)f[(-x)2]=-xf(x2)=-y
y=f(-x)-f(x)=-y
55.答案:
解析:
∴f(1)+[f(2)+f()]+[f(3)+f()]+[f(4)+f()]=+1+1+1=
評(píng)述:在f(2)+f()=1的基礎(chǔ)上判斷f(x)+f()=1, 問題便迎刃而解.
54.答案:(0,0),(1,1)
解法一:由反函數(shù)的意義和性質(zhì)可知,如果原函數(shù)為增函數(shù),則其圖象與反函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,兩圖象的交點(diǎn)必在y=x直線上,因此題目所求可轉(zhuǎn)化為求y=(x∈(-1,+∞))圖象與y=x直線的交點(diǎn).
解法二:求出反函數(shù)y=,解其與原函數(shù)y=的交點(diǎn).
評(píng)述:在解法一中,函數(shù)的圖象若與其反函數(shù)的圖象相交,交點(diǎn)不一定都在直線y=x上,這一點(diǎn)有許多同學(xué)弄不清楚,只有原函數(shù)為單調(diào)增函數(shù),上述結(jié)論才成立.
53.答案:-1
解析:因?yàn)?i>x≥0時(shí),f(x)=log3(1+x),又f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),設(shè)x<0,所以f(x)=-f(-x)=-f(1-x),所以f(-2)=-log33=-1.
52.答案:-3<x<2
解析:由題意得3-2x-x2>0,可得-3<x<2
51.答案:6
解析一:因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2+(a+2)x+3的對(duì)稱軸為x=1,因此有-=1.即a=-4,而函數(shù)f(x)是定義在[a,b]上的.即a,b關(guān)于x=1也對(duì)稱,所以有=1.解得b=6.
解析二:因?yàn)槎魏瘮?shù)y=x2+(a+2)x+3的對(duì)稱軸為x=1.因此,f(x)可表示為f(x)=(x-1)2+c,與原函數(shù)表達(dá)形式對(duì)比可得a+2=-2,∴a=-4.再結(jié)合=1,解得b=6.
解析三:因?yàn)槎魏瘮?shù)的對(duì)稱軸為x=1,因此有:f(x)=f(2-x).將2-x代入y=x2+(a+2)x+3即可求出a=-4,b值同上.
評(píng)述:區(qū)間[a,b]關(guān)于x=1對(duì)稱是一個(gè)必要條件,否則f(x)=f(2-x)將無意義.此題較好地考查了邏輯思維能力.
50.答案:
注:填的正整數(shù)倍中的任何一個(gè)都正確.
解析:令px-=u,則px=u+,依題意,有:f(u+)=f(u).此式對(duì)任意u都成立,而>0且為常數(shù).因此,說明f(x)是一個(gè)周期函數(shù),為最小正周期.
評(píng)述:利用換元法,緊扣周期函數(shù)定義.本題立意:重在知識(shí)和技能的靈活運(yùn)用.
49.答案:C
解法一:注意觀察四個(gè)選項(xiàng)中的每兩個(gè)函數(shù),容易發(fā)現(xiàn)C中g(x)=為奇函數(shù),且h(-x)=lg(10-x+1)+=lg+=lg(10x+1)-=h(x)為偶函數(shù),又
g(x)+h(x)=lg(10x+1)=f(x),故應(yīng)選C.
解法二:由已知有f(x)=g(x)+h(x),則f(-x)=g(-x)+h(-x)=-g(x)+
h(x),所以g(x)=[f(x)-f(-x)]=lg=lg10x=,應(yīng)選C.
評(píng)述:本題考查了奇偶函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì),要求有較強(qiáng)的運(yùn)算能力.本題背景新穎,對(duì)分析問題和解決問題的能力有較高要求.
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