1． 價值、價格、交換價值的關(guān)系表述正確的是

A．價值決定價格，交換價值決定價值

B．價值決定交換價值和價格，價格是價值的貨幣表現(xiàn)形式，價格是交換價值的一種具體形式

C．價值是價格決定交換價值，交換價值是價值和價格的表現(xiàn)形式

D．價格是價值的基礎(chǔ)，價值是交換價值的基礎(chǔ)

5．解三角形問題可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，這時應結(jié)合“三角形中大邊對大角定理及幾何作圖來幫助理解”。

4．兩內(nèi)角與其正弦值：在△ABC 中，，…

3．三角學中的射影定理：在△ABC 中，，…

2．三角形內(nèi)切圓的半徑：，特別地，；

1．解斜三角形的常規(guī)思維方法是：

(1)已知兩角和一邊(如A、B、C)，由A+B+C = π求C，由正弦定理求a、b；

(2)已知兩邊和夾角(如a、b、c)，應用余弦定理求c邊；再應用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C = π，求另一角；

(3)已知兩邊和其中一邊的對角(如a、b、A)，應用正弦定理求B，由A+B+C = π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況；

(4)已知三邊a、b、c，應余弦定理求A、B，再由A+B+C = π，求角C。

題型1：正、余弦定理

例1．(1)在中，已知，，cm，解三角形；

(2)在中，已知cm，cm，，解三角形(角度精確到，邊長精確到1cm)。

解析：(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

；

根據(jù)正弦定理，

；

根據(jù)正弦定理，

(2)根據(jù)正弦定理，

因為＜＜，所以，或

①當時，　 ，

②當時，

　 ，

點評：應用正弦定理時(1)應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形；(2)對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。

例2．(1)在ABC中，已知，，，求b及A；

(2)在ABC中，已知，，，解三角形

解析：(1)∵

=cos

=

=

∴

求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

解法一：∵cos ∴

解法二：∵sin

又∵＞＜∴＜，即＜＜

∴

(2)由余弦定理的推論得：

cos

；

cos　　

；

點評：應用余弦定理時解法二應注意確定A的取值范圍。

題型2：三角形面積

例3．在中，，，，求的值和的面積。

解法一：先解三角方程，求出角A的值。

又,

,

　　 。

　　 解法二：由計算它的對偶關(guān)系式的值。

　　 　　　　�、�

　　 ,

　　 　　　　　　②

　　 　 ①　+�、凇〉谩�。

　　 　 ①�。��、凇〉谩�。

從而　。

以下解法略去。

點評：本小題主要考查三角恒等變形、三角形面積公式等基本知識，著重數(shù)學考查運算能力，是一道三角的基礎(chǔ)試題。兩種解法比較起來，你認為哪一種解法比較簡單呢？

例4．(06年湖南)已知ΔABC的三個內(nèi)角A、B．C成等差數(shù)列，其外接圓半徑為1，且有。(1)求A、B．C的大小；(2)求ΔABC的的面積。

解析：∵A+B+C=180°且2B=A+C，∴B=60°，A+C=120°，C=120°－A。

∵，

∴=，

　 又∵0°<A<180°，∴A=60°或A=105°，

當A=60°時，B=60°，C=60°，

當A=105°時，B=60°，C=15°，

點評：要善于借助三角形內(nèi)的部分變形條件，同時兼顧三角形的面積公式求得結(jié)果。

題型3：與三角形邊角相關(guān)的問題

例5．(1)(2005江蘇5)△ABC中，則△ABC的周長為(　 )

A．　　　　 B．

C．　 　　　　D．

(2)(06年全國2文，17)在，求(1)(2)若點

解析：(1)答案：D

解析：在中，由正弦定理得：化簡得AC=

，化簡得AB=，

所以三角形的周長為：3+AC+AB=3++

=3+。故選D。

(2)解：(1)由，

，

由正弦定理知，

(2)，。

由余弦定理知：

點評：本題考查了在三角形正弦定理的的運用，以及三角公式恒等變形、化簡等知識的運用。

例6．在銳角中，角所對的邊分別為，已知，(1)求的值；(2)若，，求的值。

解析：(1)因為銳角△ABC中，A+B+C＝p，，所以cosA＝，

則

(2)，則bc＝3。

將a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中，

得解得b＝。

點評：知道三角形邊外的元素如中線長、面積、周長等時，靈活逆用公式求得結(jié)果即可。

題型4：三角形中求值問題

例7．的三個內(nèi)角為，求當A為何值時，取得最大值，并求出這個最大值。

解析：由A+B+C=π，得=－，所以有cos =sin。

cosA+2cos =cosA+2sin =1－2sin² + 2sin=－2(sin － )²+ ；

當sin = ，即A=時, cosA+2cos取得最大值為。

點評：運用三角恒等式簡化三角因式最終轉(zhuǎn)化為關(guān)于一個角的三角函數(shù)的形式，通過三角函數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果。

例8．(06四川文，18)已知A、B、C是三內(nèi)角，向量，且，(Ⅰ)求角A；(Ⅱ)若

解析：(Ⅰ)∵ ∴，即，

，；

∵，∴，∴。

(Ⅱ)由題知，

整理得，∴ ∴；

∴或，而使，舍去；

∴。

點評：本小題主要考察三角函數(shù)概念、同角三角函數(shù)的關(guān)系、兩角和與差的三角函數(shù)的公式以及倍角公式，考察應用、分析和計算能力。

題型5：三角形中的三角恒等變換問題

例9．在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊長，已知a、b、c成等比數(shù)列，且a²－c²=ac－bc，求∠A的大小及的值。

分析：因給出的是a、b、c之間的等量關(guān)系，要求∠A，需找∠A與三邊的關(guān)系，故可用余弦定理。由b²=ac可變形為=a，再用正弦定理可求的值。

解法一：∵a、b、c成等比數(shù)列，∴b²=ac。

又a²－c²=ac－bc，∴b²+c²－a²=bc。

在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，∴∠A=60°。

在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b²=ac，∠A=60°，

∴=sin60°=。

解法二：在△ABC中，

由面積公式得bcsinA=acsinB。

∵b²=ac，∠A=60°，∴bcsinA=b²sinB。

∴=sinA=。

評述：解三角形時，找三邊一角之間的關(guān)系常用余弦定理，找兩邊兩角之間的關(guān)系常用正弦定理。

例10．(2002京皖春，17)在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，求的值。

解析：因為A、B、C成等差數(shù)列，又A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，

從而＝60°，故tan.由兩角和的正切公式，

得。

所以

。

點評：在三角函數(shù)求值問題中的解題思路，一般是運用基本公式，將未知角變換為已知角求解，同時結(jié)合三角變換公式的逆用。

題型6：正、余弦定理判斷三角形形狀

例11．(2002上海春，14)在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，則△ABC的形狀一定是(　　 )

A.等腰直角三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.直角三角形

C.等腰三角形　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 D.等邊三角形

答案：C

解析：2sinAcosB＝sin(A+B)+sin(A－B)又∵2sinAcosB＝sinC，

∴sin(A－B)＝0，∴A＝B

點評：本題考查了三角形的基本性質(zhì)，要求通過觀察、分析、判斷明確解題思路和變形方向，通暢解題途徑。

例12．(06安徽理，11)如果的三個內(nèi)角的余弦值分別等于的三個內(nèi)角的正弦值，則(　　 )

A．和都是銳角三角形

B．和都是鈍角三角形

C．是鈍角三角形，是銳角三角形

D．是銳角三角形，是鈍角三角形

解析：的三個內(nèi)角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，

若是銳角三角形，由，得，

那么，，所以是鈍角三角形。故選D。

點評：解決此類問題時要結(jié)合三角形內(nèi)角和的取值問題，同時注意實施關(guān)于三角形內(nèi)角的一些變形公式。

題型7：正余弦定理的實際應用

例13．(06上海理，18)如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援(角度精確到1)？

解析：連接BC,由余弦定理得BC²=20²+10²－2×20×10COS120°=700.

于是,BC=10。 ∵，∴sin∠ACB=，

　　 ∵∠ACB<90°，∴∠ACB=41°。

∴乙船應朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援。

點評：解三角形等內(nèi)容提到高中來學習，又近年加強數(shù)形結(jié)合思想的考查和對三角變換要求的降低，對三角的綜合考查將向三角形中問題伸展，但也不可太難，只要掌握基本知識、概念，深刻理解其中基本的數(shù)量關(guān)系即可過關(guān)。

例14．(06江西理，19)如圖，已知△ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是

邊AB、AC上的點，線段MN經(jīng)過△ABC的中心G，設(shè)ÐMGA＝a()

(1)試將△AGM、△AGN的面積(分別記為S₁與S₂)；

(2)表示為a的函數(shù)，求y＝的最大值與最小值。

解析：(1)因為G是邊長為1的正三角形ABC的中心，所以　 AG＝，ÐMAG＝，由正弦定理得，則S₁＝GM·GA·sina＝。同理可求得S₂＝。

(2)y＝＝＝72(3+cot²a)因為，

所以當a＝或a＝時，y取得最大值y_max＝240，當a＝時，y取得最小值y_min＝216。

點評：三角函數(shù)有著廣泛的應用，本題就是一個典型的范例。通過引入角度，將圖形的語言轉(zhuǎn)化為三角的符號語言，再通過局部的換元，又將問題轉(zhuǎn)化為我們熟知的函數(shù)，這些解題思維的拐點，你能否很快的想到呢？

5．三角形中的三角變換

三角形中的三角變換，除了應用上述公式和上述變換方法外，還要注意三角形自身的特點。

(1)角的變換

因為在△ABC中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。；

(2)三角形邊、角關(guān)系定理及面積公式，正弦定理，余弦定理。

r為三角形內(nèi)切圓半徑，p為周長之半。

(3)在△ABC中，熟記并會證明：∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列的充分必要條件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要條件是∠A，∠B，∠C成等差數(shù)列且a，b，c成等比數(shù)列。

4．解三角形：由三角形的六個元素(即三條邊和三個內(nèi)角)中的三個元素(其中至少有一個是邊)求其他未知元素的問題叫做解三角形．廣義地，這里所說的元素還可以包括三角形的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等．解三角形的問題一般可分為下面兩種情形：若給出的三角形是直角三角形，則稱為解直角三角形；若給出的三角形是斜三角形，則稱為解斜三角形。

解斜三角形的主要依據(jù)是：

設(shè)△ABC的三邊為a、b、c，對應的三個角為A、B、C。

(1)角與角關(guān)系：A+B+C = π；

(2)邊與邊關(guān)系：a + b > c，b + c > a，c + a > b，a－b < c，b－c < a，c－a > b；

(3)邊與角關(guān)系：

正弦定理　 (R為外接圓半徑)；

余弦定理　 c² = a²+b²－2bccosC，b² = a²+c²－2accosB，a² = b²+c²－2bccosA；

它們的變形形式有：a = 2R sinA，，。

3．三角形的面積公式：

(1)△＝ah_a＝bh_b＝ch_c(h_a、h_b、h_c分別表示a、b、c上的高)；

(2)△＝absinC＝bcsinA＝acsinB；

(3)△＝＝＝；

(4)△＝2R²sinAsinBsinC。(R為外接圓半徑)

(5)△＝；

(6)△＝；；

(7)△＝r·s。