9.復(fù)數(shù)z＝a+ai　 (a≠0)的輻角主值是______________。

8.z∈C，方程z－3|z|+2＝0的解的個(gè)數(shù)是_____。

A.　 2　　　 B.　 3　　 C.　 4　　　 D.　 5

7. 到空間不共面的4個(gè)點(diǎn)距離相等的平面的個(gè)數(shù)是_____。

　 A.　 7　　 B.　 6　　 C.　 5　　　 D.　 4

6.方程(x－x－1)＝1的整數(shù)解的個(gè)數(shù)是_____。

　 A.　 1　　 B.　 3　　 C.　 4　　　 D.　 5

5. 函數(shù)f(x)＝ax－2ax+2+b　 (a≠0)在閉區(qū)間[2,3]上有最大值5，最小值2，則a、b的值為_____。

　 A.　 a＝1,b＝0　　　　　 B. a＝1，b＝0或a＝－1,b＝3

　 C.　 a＝－1，b＝3　　　　 D. 以上答案均不正確

4. 設(shè)f(x,y)＝0是橢圓方程，f(x,y)＝0是直線方程，則方程f(x,y)+λf(x,y)＝0　 (λ∈R)表示的曲線是_____。

　 A.只能是橢圓　　 B.橢圓或直線　　 C.橢圓或一點(diǎn)　　 D.還有上述外的其它情況

3.　 f(x)＝(a－x)|3a－x|，a是正常數(shù)，下列結(jié)論正確的是_____。

A.當(dāng)x＝2a時(shí)有最小值0　　　　　 B.當(dāng)x＝3a時(shí)有最大值0

C.無(wú)最大值，且無(wú)最小值　　　　 D.有最小值但無(wú)最大值

2.　 非零實(shí)數(shù)a、b、c，則+++的值組成的集合是_____。

A. {-4,4}　　 B. {0,4}　　 C. {-4,0}　　　 D. {-4,0,4}

1.　 若log<1，則a的取值范圍是_____。

A. (0, )　　 B. (,1)　　 C. (0, )∪(1,+∞)　　 D. (,+∞)

7.過(guò)點(diǎn)P(2,3)，且在坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程是_____。

A. 3x－2y＝0　　 B. x+y－5＝0　　 C. 3x－2y＝0或x+y－5＝0　　 D.不能確定

[簡(jiǎn)解]1小題：對(duì)參數(shù)a分a>0、a＝0、a<0三種情況討論，選B；

2小題：對(duì)底數(shù)a分a>1、0<a<1兩種情況討論，選C；

3小題：分x在第一、二、三、四象限等四種情況，答案{4,-2,0}；

4小題：分θ＝、0<θ<、<θ<三種情況，選D；

5小題：分x>0、x<0兩種情況，選B；

6小題：分側(cè)面矩形長(zhǎng)、寬分別為2和4、或4和2兩種情況，選D；

7小題：分截距等于零、不等于零兩種情況，選C。

Ⅱ、示范性題組：

例1. 設(shè)0<x<1，a>0且a≠1，比較|log(1－x)|與|log(1+x)|的大小。

[分析] 比較對(duì)數(shù)大小，運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，而單調(diào)性與底數(shù)a有關(guān)，所以對(duì)底數(shù)a分兩類情況進(jìn)行討論。

[解] ∵ 0<x<1　　 ∴　 0<1－x<1 ,　　 1+x>1

①　 當(dāng)0<a<1時(shí)，log(1－x)>0，log(1+x)<0，所以 |log(1－x)|－|log(1+x)|＝log(1－x)－[－log(1+x)]＝log(1－x)>0;

②　 當(dāng)a>1時(shí)，log(1－x)<0，log(1+x)>0，所以 |log(1－x)|－|log(1+x)|＝－log(1－x) －log(1+x)＝－log(1－x)>0；

由①、②可知，|log(1－x)|>|log(1+x)|。

[注]本題要求對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logx的單調(diào)性的兩種情況十分熟悉，即當(dāng)a>1時(shí)其是增函數(shù)，當(dāng)0<a<1時(shí)其是減函數(shù)。去絕對(duì)值時(shí)要判別符號(hào)，用到了函數(shù)的單調(diào)性；最后差值的符號(hào)判斷，也用到函數(shù)的單調(diào)性。

例2. 已知集合A和集合B各含有12個(gè)元素，A∩B含有4個(gè)元素，試求同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件的集合C的個(gè)數(shù)：　 ①. CA∪B且C中含有3個(gè)元素；　 ②. C∩A≠φ　 。

[分析] 由已知并結(jié)合集合的概念，C中的元素分兩類：①屬于A 元素；②不屬于A而屬于B的元素。并由含A中元素的個(gè)數(shù)1、2、3,而將取法分三種。

[解]　 C·C+C·C+C·C＝1084

[注]本題是排列組合中“包含與排除”的基本問(wèn)題，正確地解題的前提是合理科學(xué)的分類，達(dá)到分類完整及每類互斥的要求，還有一個(gè)關(guān)鍵是要確定C中元素如何取法。另一種解題思路是直接使用“排除法”，即C－C＝1084。

例3. 設(shè){a}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，S是前n項(xiàng)和。　 ①. 證明：　 <lgS；　　　 ②.是否存在常數(shù)c>0，使得＝lg(S－c)成立？并證明結(jié)論。(95年全國(guó)理)

[分析] 要證的不等式和討論的等式可以進(jìn)行等價(jià)變形；再應(yīng)用比較法而求解。其中在應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式時(shí)，由于公式的要求，分q＝1和q≠1兩種情況。

[解] 設(shè){a}的公比q，則a>0，q>0

①．當(dāng)q＝1時(shí)，S＝na，從而SS－S＝na(n+2)a－(n+1)a＝－a<0；

　 當(dāng)q≠1時(shí)，S＝，從而

SS－S＝－＝－aq<0；

由上可得SS<S，所以lg(SS)<lg(S)，即<lgS。

②. 要使＝lg(S－c)成立，則必有(S－c)(S－c)＝(S－c),

分兩種情況討論如下：

當(dāng)q＝1時(shí)，S＝na，則

(S－c)(S－c)－(S－c)＝(na－c)[(n+2)a－c]－[(n+1)a－c]＝－a<0

當(dāng)q≠1時(shí)，S＝，則(S－c)(S－c)－(S－c)＝[－c][ －c]－[－c]＝－aq[a－c(1－q)]

∵　 aq≠0　　 ∴　 a－c(1－q)＝0即c＝

而S－c＝S－＝－<0　　　 ∴對(duì)數(shù)式無(wú)意義

由上綜述，不存在常數(shù)c>0, 使得＝lg(S－c)成立。

[注] 本例由所用公式的適用范圍而導(dǎo)致分類討論。該題文科考生改問(wèn)題為：證明>logS ，和理科第一問(wèn)類似，只是所利用的是底數(shù)是0.5時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)為單調(diào)遞減。

例1、例2、例3屬于涉及到數(shù)學(xué)概念、定理、公式、運(yùn)算性質(zhì)、法則等是分類討論的問(wèn)題或者分類給出的，我們解決時(shí)按要求進(jìn)行分類，即題型為概念、性質(zhì)型。

例4. 設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－2x+2，對(duì)于滿足1<x<4的一切x值都有f(x)>0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

1　　 4　　　 x 　　　 1　　 4　　 x

[分析] 含參數(shù)的一元二次函數(shù)在有界區(qū)間上的最大值、最小值等值域問(wèn)題，需要先對(duì)開口方向討論，再對(duì)其拋物線對(duì)稱軸的位置與閉區(qū)間的關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后綜合得解。

[解]當(dāng)a>0時(shí)，f(x)＝a(x－)+2－

∴ 或

或

∴ a≥1或<a<1或φ　　　　 即 a>；

當(dāng)a<0時(shí)，，解得φ；

當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝－2x+2, f(1)＝0，f(4)＝－6， ∴不合題意

由上而得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是a> 。

[注]本題分兩級(jí)討論，先對(duì)決定開口方向的二次項(xiàng)系數(shù)a分a>0、a<0、a＝0三種情況，再每種情況結(jié)合二次函數(shù)的圖像，在a>0時(shí)將對(duì)稱軸與閉區(qū)間的關(guān)系分三種，即在閉區(qū)間左邊、右邊、中間。本題的解答，關(guān)鍵是分析符合條件的二次函數(shù)的圖像，也可以看成是“數(shù)形結(jié)合法”的運(yùn)用。

例5. 解不等式>0　 (a為常數(shù)，a≠－)

[分析] 含參數(shù)的不等式，參數(shù)a決定了2a+1的符號(hào)和兩根－4a、6a的大小，故對(duì)參數(shù)a分四種情況a>0、a＝0、－<a<0、a<－分別加以討論。

[解] 2a+1>0時(shí)，a>－；　　 －4a<6a時(shí)，a>0 �！� 所以分以下四種情況討論：

當(dāng)a>0時(shí)，(x+4a)(x－6a)>0，解得：x<－4a或x>6a；

當(dāng)a＝0時(shí)，x>0，解得：x≠0；

當(dāng)－<a<0時(shí)，(x+4a)(x－6a)>0，解得: x<6a或x>－4a；

當(dāng)a>－時(shí)，(x+4a)(x－6a)<0，解得： 6a<x<－4a 。

綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，x<－4a或x>6a；當(dāng)a＝0時(shí)，x≠0；當(dāng)－<a<0時(shí)，x<6a或x>－4a；當(dāng)a>－時(shí)，6a<x<－4a 。

[注] 本題的關(guān)鍵是確定對(duì)參數(shù)a分四種情況進(jìn)行討論，做到不重不漏。一般地，遇到題目中含有參數(shù)的問(wèn)題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對(duì)結(jié)果的影響而進(jìn)行分類討論，此種題型為含參型。

例6. 設(shè)a≥0,在復(fù)數(shù)集C中，解方程：z+2|z|＝a �！� (90年全國(guó)高考)

[分析]由已知z+2|z|＝a和|z|∈R可以得到z∈R，即對(duì)z分實(shí)數(shù)、純虛數(shù)兩種情況進(jìn)行討論求解。

[解] ∵ |z|∈R，由z+2|z|＝a得：z∈R；　 ∴ z為實(shí)數(shù)或純虛數(shù)

當(dāng)z∈R時(shí)，|z|+2|z|＝a,解得：|z|＝－1+　　 ∴ z＝±(－1+)；

當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)，設(shè)z＝±yi　 (y>0)，　 ∴ －y+2y＝a　 解得：y＝1±　 (0≤a≤1)

由上可得，z＝±(－1+)或±(1±)i

[注]本題用標(biāo)準(zhǔn)解法(設(shè)z＝x+yi再代入原式得到一個(gè)方程組，再解方程組)過(guò)程十分繁難，而挖掘隱含，對(duì)z分兩類討論則簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)問(wèn)題。

[另解] 設(shè)z＝x+yi，代入得 x－y+2+2xyi＝a；

∴

當(dāng)y＝0時(shí)，x+2|x|＝a，解得x＝±(－1+)，所以z＝±(－1+)；

當(dāng)x＝0時(shí)，－y+2|y|＝a，解得y＝±(1±)，所以±(1±)i。

由上可得，z＝±(－1+)或±(1±)i

[注]此題屬于復(fù)數(shù)問(wèn)題的標(biāo)準(zhǔn)解法，即設(shè)代數(shù)形式求解。其中抓住2xy＝0而分x＝0和y＝0兩種情況進(jìn)行討論求解。實(shí)際上，每種情況中絕對(duì)值方程的求解，也滲透了分類討論思想。

例7. 在xoy平面上給定曲線y＝2x，設(shè)點(diǎn)A(a,0)，a∈R，曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)A的距離的最小值為f(a)，求f(a)的函數(shù)表達(dá)式。　　 (本題難度0.40)

[分析] 求兩點(diǎn)間距離的最小值問(wèn)題，先用公式建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在約束條件x≥0下的最小值問(wèn)題，而引起對(duì)參數(shù)a的取值討論。

[解] 設(shè)M(x,y)為曲線y＝2x上任意一點(diǎn)，則

|MA|＝(x－a)+y＝(x－a)+2x＝x－2(a－1)x+a＝[x－(a－1)]+(2a－1)

由于y＝2x限定x≥0，所以分以下情況討論：

當(dāng)a－1≥0時(shí)，x＝a－1取最小值，即|MA}＝2a－1；

當(dāng)a－1<0時(shí)，x＝0取最小值，即|MA}＝a；

綜上所述，有f(a)＝　 　。

[注]本題解題的基本思路是先建立目標(biāo)函數(shù)。求二次函數(shù)的最大值和最小值問(wèn)題我們十分熟悉，但含參數(shù)a，以及還有隱含條件x≥0的限制，所以要從中找出正確的分類標(biāo)準(zhǔn)，從而得到d＝f(a)的函數(shù)表達(dá)式。

Ⅲ、鞏固性題組：