17.(本小題滿分12分)設函數(shù)f(x)=cos(2x+)+sinx.

求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期.

(1) 設A,B,C為ABC的三個內角，若cosB=，f()=－，且C為銳角，求sinA.

解: (1)f(x)=cos(2x+)+sinx.=

所以函數(shù)f(x)的最大值為,最小正周期.

(2)f()==－,所以,因為C為銳角,所以,所以,所以sinA =cosB=.

[命題立意]:本題主要考查三角函數(shù)中兩角和差的弦函數(shù)公式、二倍角公式、三角函數(shù)的性質以及三角形中的三角關系.

(18)(本小題滿分12分)

　　 如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2,　 AA=2,　 E、E、F分別是棱AD、AA、AB的中點。

(1) 證明：直線EE//平面FCC；

(2) 求二面角B-FC-C的余弦值。

解法一：(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A₁B₁的中點F₁，

連接A₁D，C₁F₁，CF₁，因為AB=4, CD=2,且AB//CD，

所以CD\s\up8(//(//)//(=)A₁F₁，A₁F₁CD為平行四邊形，所以CF₁//A₁D，

　又因為E、E分別是棱AD、AA的中點，所以EE₁//A₁D，

所以CF₁//EE₁，又因為平面FCC，平面FCC，

所以直線EE//平面FCC.

(2)因為AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中點,所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形,取CF的中點O,則OB⊥CF,又因為直四棱柱ABCD-ABCD中,CC₁⊥平面ABCD,所以CC₁⊥BO,所以OB⊥平面CC₁F,過O在平面CC₁F內作OP⊥C₁F,垂足為P,連接BP,則∠OPB為二面角B-FC-C的一個平面角, 在△BCF為正三角形中,,在Rt△CC₁F中, △OPF∽△CC₁F,∵∴,

在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值為.

解法二:(1)因為AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中點,

所以BF=BC=CF,△BCF為正三角形, 因為ABCD為

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中點M,

連接DM,則DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM為x軸,DC為y軸,DD₁為z軸建立空間直角坐標系,

,則D(0,0,0),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0),

C₁(0,2,2),E(,,0),E₁(,-1,1),所以,,設平面CC₁F的法向量為則所以取,則,所以,所以直線EE//平面FCC.

(2),設平面BFC₁的法向量為,則所以,取,則,

,,

所以,由圖可知二面角B-FC-C為銳角,所以二面角B-FC-C的余弦值為.

[命題立意]:本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關系的判定和二面角的計算.考查空間想象能力和推理運算能力,以及應用向量知識解答問題的能力.

(19)(本小題滿分12分)

　　 在某校組織的一次籃球定點投籃訓練中，規(guī)定每人最多投3次；在A處每投進一球得3分，在B處每投進一球得2分；如果前兩次得分之和超過3分即停止投籃，否則投第三次，某同學在A處的命中率q為0.25，在B處的命中率為q，該同學選擇先在A處投一球，以后都在B處投，用表示該同學投籃訓練結束后所得的總分，其分布列為

	0	2	3	4	5
p	0.03	P1	P2	P3	P4

(1) 求q的值；

(2) 求隨機變量的數(shù)學期望E;

(3) 試比較該同學選擇都在B處投籃得分超過3分與選擇上述方式投籃得分超過3分的概率的大小。

解:(1)設該同學在A處投中為事件A,在B處投中為事件B,則事件A,B相互獨立,且P(A)=0.25,, P(B)= q,.

根據(jù)分布列知: =0時=0.03,所以，q=0.2.

(2)當=2時, P₁=

=0.75 q( )×2=1.5 q( )=0.24

當=3時, P₂ ==0.01,

當=4時, P₃==0.48,

當=5時, P₄=

=0.24

所以隨機變量的分布列為

	0	2	3	4	5
p	0.03	0.24	0.01	0.48	0.24

隨機變量的數(shù)學期望

(3)該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率為

;

該同學選擇(1)中方式投籃得分超過3分的概率為0.48+0.24=0.72.

由此看來該同學選擇都在B處投籃得分超過3分的概率大.

[命題立意]:本題主要考查了互斥事件的概率,相互獨立事件的概率和數(shù)學期望,以及運用概率知識解決問題的能力.

(20)(本小題滿分12分)

等比數(shù)列{}的前n項和為， 已知對任意的　 ，點，均在函數(shù)且均為常數(shù))的圖像上.

(1)求r的值；　　

(11)當b=2時，記　 　　

證明：對任意的 ，不等式成立

解:因為對任意的,點，均在函數(shù)且均為常數(shù)的圖像上.所以得,當時,,當時,,又因為{}為等比數(shù)列,所以,公比為,

(2)當b=2時，,　　

則,所以

下面用數(shù)學歸納法證明不等式成立.

① 當時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立.

② 假設當時不等式成立,即成立.則當時,左邊=

所以當時,不等式也成立.

由①、②可得不等式恒成立.

[命題立意]:本題主要考查了等比數(shù)列的定義,通項公式,以及已知求的基本題型,并運用數(shù)學歸納法證明與自然數(shù)有關的命題,以及放縮法證明不等式.

(21)(本小題滿分12分)

兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城市的影響度與所選地點到城市的的距離有關，對城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計調查表明：垃圾處理廠對城A的影響度與所選地點到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對城B的影響度與所選地點到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當垃圾處理廠建在的中點時，對城A和城B的總影響度為0.065.

(1)將y表示成x的函數(shù)；

(11)討論(1)中函數(shù)的單調性，并判斷弧上是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最��？若存在，求出該點到城A的距離;若不存在，說明理由。

解:(1)如圖,由題意知AC⊥BC,,

其中當時，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函數(shù)為

設,則,,所以當且僅當即時取”=”.

下面證明函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù), 在(160,400)上為增函數(shù).

設0<m₁<m₂<160,則

　

,

因為0<m₁<m₂<160,所以4>4×240×240

9 m₁m₂<9×160×160所以,

所以即函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù).

同理,函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù),設160<m₁<m₂<400,則

因為1600<m₁<m₂<400,所以4<4×240×240, 9 m₁m₂>9×160×160

所以,

所以即函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù).

所以當m=160即時取”=”,函數(shù)y有最小值,

所以弧上存在一點，當時使建在此處的垃圾處理廠對城A和城B的總影響度最小.

[命題立意]:本題主要考查了函數(shù)在實際問題中的應用,運用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的 能力和運用換元法和基本不等式研究函數(shù)的單調性等問題.

(22)(本小題滿分14分)

設橢圓E: (a,b>0)過M(2，) ，N(,1)兩點，O為坐標原點，

(I)求橢圓E的方程；

(II)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且？若存在，寫出該圓的方程，并求|AB |的取值范圍，若不存在說明理由。

解:(1)因為橢圓E: (a,b>0)過M(2，) ，N(,1)兩點,

所以解得所以橢圓E的方程為

(2)假設存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且,設該圓的切線方程為解方程組得,即,

則△=,即

,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因為直線為圓心在原點的圓的一條切線,所以圓的半徑為,,,所求的圓為,此時圓的切線都滿足或,而當切線的斜率不存在時切線為與橢圓的兩個交點為或滿足,綜上, 存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A,B,且.

[命題立意]:本題屬于探究是否存在的問題,主要考查了橢圓的標準方程的確定,直線與橢圓的位置關系直線與圓的位置關系和待定系數(shù)法求方程的方法,能夠運用解方程組法研究有關參數(shù)問題以及方程的根與系數(shù)關系.

16.已知定義在R上的奇函數(shù)，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),若方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根,則

[解析]:因為定義在R上的奇函數(shù)，滿足,所以,所以, 由為奇函數(shù),所以函數(shù)圖象關于直線對稱且,由知,所以函數(shù)是以8為周期的周期函數(shù),又因為在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù),所以在區(qū)間[-2,0]上也是增函數(shù).如圖所示,那么方程f(x)=m(m>0)在區(qū)間上有四個不同的根,不妨設由對稱性知所以

答案:-8

[命題立意]:本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性,單調性,

對稱性,周期性,以及由函數(shù)圖象解答方程問題,

運用數(shù)形結合的思想和函數(shù)與方程的思想解答問題.

15.執(zhí)行右邊的程序框圖，輸入的T=　　　　　 .

[解析]:按照程序框圖依次執(zhí)行為S=5,n=2,T=2;

S=10,n=4,T=2+4=6;S=15,n=6,T=6+6=12;

S=20,n=8,T=12+8=20;S=25,n=10,T=20+10=30>S,輸出T=30

答案:30

[命題立意]:本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖,一般都可以

反復的進行運算直到滿足條件結束,本題中涉及到三個變量,

注意每個變量的運行結果和執(zhí)行情況.

14.若函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是　　　　 .

[解析]: 設函數(shù)且和函數(shù),則函數(shù)f(x)=a-x-a(a>0且a1)有兩個零點, 就是函數(shù)且與函數(shù)有兩個交點,由圖象可知當時兩函數(shù)只有一個交點,不符合,當時,因為函數(shù)的圖象過點(0,1),而直線所過的點一定在點(0,1)的上方,所以一定有兩個交點.所以實數(shù)a的取值范圍是

答案:

[命題立意]:本題考查了指數(shù)函數(shù)的圖象與直線的位置關系,隱含著對指數(shù)函數(shù)的性質的考查,根據(jù)其底數(shù)的不同取值范圍而分別畫出函數(shù)的圖象解答.

13.不等式的解集為　　　　　 .

[解析]:原不等式等價于不等式組①或②

或③不等式組①無解,由②得,由③得,綜上得,所以原不等式的解集為.

答案:

[命題立意]:本題考查了含有多個絕對值號的不等式的解法,需要根據(jù)絕對值的定義分段去掉絕對值號,最后把各種情況綜合得出答案.本題涉及到分類討論的數(shù)學思想.

12. 設x，y滿足約束條件　 　，

若目標函數(shù)z=ax+by(a>0，b>0)的是最大值為12，

則的最小值為(　　　　 ).

A.　　　　 B.　　　　　 C. 　　　　　D. 4

[解析]:不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分,當直線ax+by= z(a>0，b>0)

過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點(4,6)時,

目標函數(shù)z=ax+by(a>0，b>0)取得最大12,

即4a+6b=12,即2a+3b=6, 而=,故選A.

答案:A

[命題立意]:本題綜合地考查了線性規(guī)劃問題和由基本不等式求函數(shù)的最值問題.要求能準確地畫出不等式表示的平面區(qū)域,并且能夠求得目標函數(shù)的最值,對于形如已知2a+3b=6,求的最小值常用乘積進而用基本不等式解答.

第卷

11.在區(qū)間[-1，1]上隨機取一個數(shù)x，的值介于0到之間的概率為(　　　 ).

A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.

[解析]:在區(qū)間[-1，1]上隨機取一個數(shù)x,即時,, ∴

區(qū)間長度為1, 而的值介于0到之間的區(qū)間長度為,所以概率為.故選C

答案:C

[命題立意]:本題考查了三角函數(shù)的值域和幾何概型問題,由自變量x的取值范圍,得到函數(shù)值的范圍,再由長度型幾何概型求得.