12.(2009安徽卷理)(本小題滿分12分)

　已知函數(shù)，討論的單調(diào)性.

本小題主要考查函數(shù)的定義域、利用導(dǎo)數(shù)等知識(shí)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想方法和運(yùn)算求解的能力。本小題滿分12分。

解：的定義域是(0,+), 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

設(shè),二次方程的判別式.

①　　 當(dāng)，即時(shí)，對(duì)一切都有,此時(shí)在上是增函數(shù)。

②　　 當(dāng),即時(shí)，僅對(duì)有,對(duì)其余的都有,此時(shí)在上也是增函數(shù)。 　　　　

③　　 當(dāng)，即時(shí)，

方程有兩個(gè)不同的實(shí)根,,.

	+	0	_	0	+
	單調(diào)遞增	極大	單調(diào)遞減	極小	單調(diào)遞增

此時(shí)在上單調(diào)遞增, 在是上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增.

11.(2009廣東卷理)(本小題滿分14分)

已知二次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像與直線平行，且在處取得極小值．設(shè)．

(1)若曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，求的值；

(2)如何取值時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)． 　　　　　　

解：(1)依題可設(shè) ()，則；

　　 又的圖像與直線平行　 　　　

　　 ， ，　

設(shè)，則 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，即取得最小值

當(dāng)時(shí)，　 解得

當(dāng)時(shí)，　 解得

　 (2)由()，得　

當(dāng)時(shí)，方程有一解，函數(shù)有一零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，方程有二解，

若，，

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即；

若，，

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即；

當(dāng)時(shí)，方程有一解,　 ,

函數(shù)有一零點(diǎn)

綜上，當(dāng)時(shí), 函數(shù)有一零點(diǎn)；

當(dāng)()，或()時(shí)，

函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有一零點(diǎn).

10.設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)a>1

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;

(Ⅱ)若當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)>0恒成立，求a的取值范圍。21世紀(jì)教育網(wǎng)　　

解析：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的綜合運(yùn)用能力，涉及利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，第一問關(guān)鍵是通過分析導(dǎo)函數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性，第二問是利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的最值，由恒成立條件得出不等式條件從而求出的范圍。

解： (I) 21世紀(jì)教育網(wǎng)　　

　　　 由知，當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間是增函數(shù)；

　　　　 當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間是減函數(shù)；

　　　　 當(dāng)時(shí)，，故在區(qū)間是增函數(shù)。

　　　　 綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間和是增函數(shù)，在區(qū)間是減函數(shù)。

　　 (II)由(I)知，當(dāng)時(shí)，在或處取得最小值。

由假設(shè)知21世紀(jì)教育網(wǎng)　　

　　　　　　 即　　 解得　 1<a<6

故的取值范圍是(1，6)

9.(2009山東卷文)(本小題滿分12分)

已知函數(shù),其中 　　　

(1)　　　 當(dāng)滿足什么條件時(shí),取得極值?

(2)　　　 已知,且在區(qū)間上單調(diào)遞增,試用表示出的取值范圍.

解:　 (1)由已知得,令,得,

要取得極值,方程必須有解,

所以△,即,　 此時(shí)方程的根為

,,

所以 　　　

當(dāng)時(shí),

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值.

當(dāng)時(shí), 　　　

所以在x ₁, x₂處分別取得極大值和極小值.

綜上,當(dāng)滿足時(shí), 取得極值. 　　　

(2)要使在區(qū)間上單調(diào)遞增,需使在上恒成立.

即恒成立,　 所以

設(shè),,

令得或(舍去), 　　　

當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),單調(diào)增函數(shù);

當(dāng)時(shí),單調(diào)減函數(shù),

所以當(dāng)時(shí),取得最大,最大值為.

所以

當(dāng)時(shí),,此時(shí)在區(qū)間恒成立,所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí)最大,最大值為,所以

綜上,當(dāng)時(shí), ;　　 當(dāng)時(shí), 　　　

[命題立意]:本題為三次函數(shù),利用求導(dǎo)的方法研究函數(shù)的極值、單調(diào)性和函數(shù)的最值,函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù),則導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間上的符號(hào)確定,從而轉(zhuǎn)為不等式恒成立,再轉(zhuǎn)為函數(shù)研究最值.運(yùn)用函數(shù)與方程的思想,化歸思想和分類討論的思想解答問題.

8.(2009山東卷理)(本小題滿分12分)

兩縣城A和B相距20km，現(xiàn)計(jì)劃在兩縣城外以AB為直徑的半圓弧上選擇一點(diǎn)C建造垃圾處理廠，其對(duì)城市的影響度與所選地點(diǎn)到城市的的距離有關(guān)，對(duì)城A和城B的總影響度為城A與城B的影響度之和，記C點(diǎn)到城A的距離為x km，建在C處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度為y,統(tǒng)計(jì)調(diào)查表明：垃圾處理廠對(duì)城A的影響度與所選地點(diǎn)到城A的距離的平方成反比，比例系數(shù)為4；對(duì)城B的影響度與所選地點(diǎn)到城B的距離的平方成反比，比例系數(shù)為k ,當(dāng)垃圾處理廠建在的中點(diǎn)時(shí)，對(duì)城A和城B的總影響度為0.065.

(1)將y表示成x的函數(shù)；

(11)討論(1)中函數(shù)的單調(diào)性，并判斷弧上是否存在一點(diǎn)，使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最��？若存在，求出該點(diǎn)到城A的距離;若不存在，說明理由。

解法一:(1)如圖,由題意知AC⊥BC,,

其中當(dāng)時(shí)，y=0.065,所以k=9

所以y表示成x的函數(shù)為

(2),,令得,所以,即,當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)減函數(shù),當(dāng)時(shí), ,即所以函數(shù)為單調(diào)增函數(shù).所以當(dāng)時(shí), 即當(dāng)C點(diǎn)到城A的距離為時(shí), 函數(shù)有最小值.

解法二: (1)同上.

(2)設(shè),

則,,所以

當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取”=”.

下面證明函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù), 在(160,400)上為增函數(shù).

設(shè)0<m₁<m₂<160,則

,

因?yàn)?<m₁<m₂<160,所以4>4×240×240

9 m₁m₂<9×160×160所以,

所以即函數(shù)在(0,160)上為減函數(shù).

同理,函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù),設(shè)160<m₁<m₂<400,則

因?yàn)?600<m₁<m₂<400,所以4<4×240×240, 9 m₁m₂>9×160×160

所以,

所以即函數(shù)在(160,400)上為增函數(shù).

所以當(dāng)m=160即時(shí)取”=”,函數(shù)y有最小值,

所以弧上存在一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)使建在此處的垃圾處理廠對(duì)城A和城B的總影響度最小.

[命題立意]:本題主要考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,運(yùn)用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的 能力和運(yùn)用換元法和基本不等式研究函數(shù)的單調(diào)性等問題.

7.(2009江蘇卷)(本小題滿分16分)

設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù).

(1)若，求的取值范圍；

(2)求的最小值；

(3)設(shè)函數(shù)，直接寫出(不需給出演算步驟)不等式的解集.

[解析]本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象及解一元二次不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分

(1)若，則

(2)當(dāng)時(shí)，

　 當(dāng)時(shí)，

　 綜上

(3)時(shí)，得，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，△>0,得：

討論得：當(dāng)時(shí)，解集為;

當(dāng)時(shí)，解集為;

當(dāng)時(shí)，解集為.

6.(2009北京理)(本小題共13分)

設(shè)函數(shù)

(Ⅰ)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅲ)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍.

21世紀(jì)教育網(wǎng)　　　　　 　[解析]本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力．

(Ⅰ),

　　　　　　 曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

(Ⅱ)由，得，

　　　 若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

　　　　　　　 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

　　 若，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

　　　 當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，若，則當(dāng)且僅當(dāng)，

即時(shí)，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，

若，則當(dāng)且僅當(dāng)，

即時(shí)，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，

綜上可知，函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，的取值范圍是.

5.(2009北京文)(本小題共14分)

設(shè)函數(shù).

(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處與直線相切，求的值；

(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn).

[解析]本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、解不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合分析和解決問題的能力．

(Ⅰ),

∵曲線在點(diǎn)處與直線相切，

∴

(Ⅱ)∵,

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)沒有極值點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，由，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

∴此時(shí)是的極大值點(diǎn)，是的極小值點(diǎn).

4.(2009浙江文)(本題滿分15分)已知函數(shù) ．

　 (I)若函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線斜率是，求的值；

　 (II)若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍．

解析：(Ⅰ)由題意得

　　　 又 ，解得，或

　　 (Ⅱ)函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，等價(jià)于

　　　　　 導(dǎo)函數(shù)在既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)

　　　　　 即函數(shù)在上存在零點(diǎn)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理，有

　　　　　 ，　 即：

　　　 整理得：，解得

3.(2009浙江理)(本題滿分14分)已知函數(shù)，，

其中．21世紀(jì)教育網(wǎng)　　

　 (I)設(shè)函數(shù)．若在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍；

　 (II)設(shè)函數(shù)　 是否存在，對(duì)任意給定的非零實(shí)數(shù)，存在惟一

的非零實(shí)數(shù)()，使得成立？若存在，求的值；若不存

在，請(qǐng)說明理由．

解析：(I)因，，因在區(qū)間上不單調(diào)，所以在上有實(shí)數(shù)解，且無重根，由得 21世紀(jì)教育網(wǎng)　 　

，令有，記則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以有，于是，得，而當(dāng)時(shí)有在上有兩個(gè)相等的實(shí)根，故舍去，所以；21世紀(jì)教育網(wǎng)　　

(II)當(dāng)時(shí)有；

當(dāng)時(shí)有，因?yàn)楫?dāng)時(shí)不合題意，因此，

下面討論的情形，記A，B=(ⅰ)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以要使成立，只能且，因此有，(ⅱ)當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以要使成立，只能且，因此，綜合(ⅰ)(ⅱ)；

當(dāng)時(shí)A=B，則，即使得成立，因?yàn)?sub>在上單調(diào)遞增，所以的值是唯一的；

同理，，即存在唯一的非零實(shí)數(shù)，要使成立，所以滿足題意．21世紀(jì)教育網(wǎng)