4．選詞填空

put　　 recover　 regular　 relief　　 replace　 quit　 receive　 reserve　 react　 remove

1)　　　　 She _____ no support from her parents; she had to rely on herself.

2)　　　　 He’s in hospital, ______ from a heart attack.

3)　　　　 Our _______ opening hours are from 10 am to 7 pm. On weekends we close at 5 pm.

4)　　　　 The old houses will be torn down and ______ with a shopping mall.

5)　　　　 Emma is not behaving very reasonably nowadays. I think she’s ______ against her teacher’s strictness.

6)　　　　 I didn’t recognize Tom until he ______ his dark sunglasses.

7)　　　　 To our ______, the missing boy finally came back home.

8)　　　　 It’s fairly risky. Or to ________ it another way, don’t try this at home.

9)　　　　 These seats are _______ for special guests.

10)　　 Doctors have given him six months to live if he doesn’t _______ drinking.

3．單項選擇

1)　　　　 Lisa! I’m sorry --- I _______ recognize you --- you ________ your hair cut!

A. don’t; had　　　 B. didn’t; have had　 C. don’t; have had　 D. didn’t had

2)　　　　 The recording was __________. I can know exactly what happened at that time.

A. bad quality　　 B. good quality　　 C. of bad quality　 D. of good quality

3)　　　　 Buy vegetables _______ small quantities for your immediate use.

A. in　　 B. with　　 C. at　　 D. on

4)　　　　 Tanya, be __________! Our baby is sleeping and you may wake him up.

A. silent　　 B. still　　 C. quiet　 　D. noisy

5)　　　　 It remains ________ whether the operation was successful.

A. to be seen　　 B. to see　　 C. seeing　　 D. to have seen

6)　　　　 Australia’s unemployment ______ rose to 6.5% in February.

A. percent　　 B. rank　　 C. level　　 D. rate

7)　　　　 --- Can you see the sign on the door? --- Yes, it ________ “No Entry”.

A. reads　　 B. reflects　　 C. registers　 D. reports

8)　　　　 We regret _______ you that your application has not been successful.

A. informing　　 B. to inform　 C being informed　　 D. to have informed

9)　　　　 When the head teacher said someone didn’t obey the class discipline, we all knew whom he was ____________.

A. replying to　　 B. reacting to　　 C. referring to　　 D. relating to

10)　　 The terrible situation required that the manager ________ present.

A. be 　　　B. was　　 C. would be　 D. shall be

2．詞形轉(zhuǎn)換

1)　　　　 Alice read the letter with a __________ expression on her face. (puzzle)

2)　　　　 This part of the community needs to be protected from ______ prejudice. (race)

3)　　　　 Unexpectedly, he came to see me on a cold _______ day in October. (rain)

4)　　　　 I ______ that you are very busy, but could I talk to you for a few minutes? (realization)

5)　　　　 Tape ______ are widely used in English classes in China. (record)

6)　　　　 Be __________! You can’t expect her to do all the work on her own!(reason)

7)　　　　 Keep the file for future _________; it can be looked at in the future. (refer)

8)　　　　 My car’s quite old, but it’s still pretty ______________ (rely).

9)　　　　 It’s difficult to meet all the ________ of the strange customers. (require)

10)　　 Do something __________ before going to be --- read a book or take a hot bath. (relax)

1．單詞拼寫

1)　　　　 --- Three q______ of the money was spent on the program.　 --- 75%? Oh, my dear!

2)　　　　 Robin will take a general knowledge q_____________, and he’ll answer many difficult questions.

3)　　　　 Tracy works hard and makes r__________ progress in her studies.

4)　　　　 The PRC stands for the People’s R__________ of China.

5)　　　　 I have quite a good r___________ with my parents; we are very happy together.

6)　　　　 Frank’s dream of opening a restaurant became a r_________ in 1987. (現(xiàn)實)

7)　　　　 Each child had to r____________ a poem to the class. (背誦)

8)　　　　 Thanks to the R_______ and Opening-up Policy, China’s economy has improved a lot. (改革)

9)　　　　 We take all the old bottles to be r______________ (循環(huán)).

10)　　 He donated money to set up schools in r__________ mountain areas. (偏遠的)

解法二　 設S_x＝Ax²+Bx(x∈N)

①－②，得A(m²－n²)+B(m－n)＝n－m

∵m≠n　 ∴ A(m+n)+B=－1

故A(m+n)²+B(m+n)＝－(m+n)

即S_m+n＝－(m+n)

說明　 a₁，d是等差數(shù)列的基本元素，通常是先求出基本元素，再

解的“整體化”思想，在解有關(guān)數(shù)列題目中值得借鑒．解法二中，由于是等差數(shù)列，由例22，故可設S_x=Ax²+Bx．(x∈N)

[例14]　 在項數(shù)為2n的等差數(shù)列中，各奇數(shù)項之和為75，各偶數(shù)項之和為90，末項與首項之差為27，則n之值是多少？

解　 ∵S_偶項－S_奇項=nd

∴nd=90－75=15

又由a_2n－a₁＝27，即(2n－1)d=27

[例15]　 在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₁＝25，S₉＝S₁₇，問數(shù)列前多少項和最大，并求出最大值．

解法一　 建立S_n關(guān)于n的函數(shù)，運用函數(shù)思想，求最大值．

∵a₁=25，S₁₇＝S₉　 解得d＝－2

∴當n=13時，S_n最大，最大值S₁₃＝169

解法二　 因為a₁=25＞0，d＝－2＜0，所以數(shù)列{a_n}是遞減等

∵a₁＝25，S₉＝S₁₇

∴a_n=25+(n－1)(－2)=－2n+27

即前13項和最大，由等差數(shù)列的前n項和公式可求得S₁₃=169．

解法三　 利用S₉=S₁₇尋找相鄰項的關(guān)系．

由題意S₉=S₁₇得a₁₀+a₁₁+a₁₂+…+a₁₇=0

而a₁₀+a₁₇=a₁₁+a₁₆=a₁₂+a₁₅=a₁₃+a₁₄

∴a₁₃+a₁₄＝0，a₁₃=－a₁₄　 ∴a₁₃≥0，a₁₄≤0

∴S₁₃=169最大．

解法四　 根據(jù)等差數(shù)列前n項和的函數(shù)圖像，確定取最大值時的n．

∵{a_n}是等差數(shù)列

∴可設S_n＝An²+Bn

二次函數(shù)y=Ax²+Bx的圖像過原點，如圖3．2－1所示

∵S₉＝S₁₇，

∴取n=13時，S₁₃＝169最大

4．關(guān)于幾何概型：

(1)我們是就平面的情形給出幾何概型的，同樣的方法顯然也適用于直線或空間的情形，只需將“面積”相應地改變?yōu)椤伴L度”、“體積”；

(2)幾何概型并不限于向平面(或直線、空間)投點的試驗，如果一個隨機試驗有無限多個等可能的基本結(jié)果，每個基本結(jié)果可以用平面(或直線、空間)中的一點來表示，而所有基本結(jié)果對應于一個區(qū)域Ω，這時，與試驗有關(guān)的問題即可利用幾何概型來解決。

3．學好幾何概率對于解決后續(xù)均勻分布的問題有很大幫助。

2．有關(guān)幾何概率的題目難度不大，但需要準確理解題意，利用圖形分析問題。本講將著重介紹如何利用圖形解決幾何概率的相關(guān)問題；

1．幾何概率是考研大綱上要求的基本內(nèi)容，也是近年來新增考察內(nèi)容之一；

題型1：線長問題

例1．一個實驗是這樣做的，將一條5米長的繩子隨機地切斷成兩條，事件T表示所切兩段繩子都不短于1米的事件，考慮事件T發(fā)生的概率。

分析：類似于古典概型，我們希望先找到基本事件組，既找到其中每一個基本事件。注意到每一個基本事件都與唯一一個斷點一一對應，故引例中的實驗所對應的基本事件組中的基本事件就與線段AB上的點一一對應，若把離繩AB首尾兩端1的點記作M、N，則顯然事件T所對應的基本事件所對應的點在線段MN上。由于在古典概型中事件T的概率為T包含的基本事件個數(shù)/總的基本事件個數(shù)，但這兩個數(shù)字(T包含的基本事件個數(shù)、總的基本事件個數(shù))在引例1中是無法找到的，不過用線段MN的長除以線段AB的長表示事件T的概率似乎也是合理的。

解：P(T)=3/5。

例2．(磁帶問題)喬和摩進行了一次關(guān)于他們前一天夜里進行的活動的談話。然而談話卻被監(jiān)聽錄音機記錄了下來，聯(lián)邦調(diào)查局拿到磁帶并發(fā)現(xiàn)其中有10秒鐘長的一段內(nèi)容包含有他們倆犯罪的信息 然而后來發(fā)現(xiàn)，這段談話的一部分被聯(lián)邦調(diào)查局的一名工作人員擦掉了，該工作人員聲稱她完全是無意中按錯了鍵，并從即刻起往后的所有內(nèi)容都被榛掉了試問如果這10秒鐘長的談話記錄開始于磁帶記錄后的半分鐘處，那么含有犯罪內(nèi)容的談話被部分或全部偶然擦掉的概率將是多大？

解析：將3O分鐘的磁帶表示為長度為3O的線段R，則代表10秒鐘與犯罪活動有關(guān)的談話的區(qū)間為 r,如右圖所示，10秒鐘的談話被偶然擦掉部分或全部的事件僅在擦掉開始的時間位于該區(qū)間內(nèi)或始于該區(qū)間左邊的任何點。 因此事件r是始于R線段的左端點且長度為的事件。因此,。

例3．假設車站每隔 10 分鐘發(fā)一班車，隨機到達車站，問等車時間不超過 3 分鐘的概率 ？

　解：以兩班車出發(fā)間隔 ( 0，10 )　 區(qū)間作為樣本空間 S，乘客隨機地到達，即在這個長度是 10 的區(qū)間里任何一個點都是等可能地發(fā)生，因此是幾何概率問題。

要使得等車的時間不超過 3 分鐘，即到達的時刻應該是圖中 A 包含的樣本點，

p=== 0.3 。

題型2：面積問題

例4．投鏢游戲中的靶子由邊長為1米的四方板構(gòu)成，并將此板分成四個邊長為1/2米的小方塊。實驗是向板中投鏢，事件A表示投中陰影部分為成功，考慮事件A發(fā)生的概率。

分析與解答：類似于引例1的解釋，完全可以把此引例中的實驗所對應的基本事件組與大的正方形區(qū)域聯(lián)系在一起，既事件組中的每一個基本事件與大正方形區(qū)域中的每一個點一一對應，則事件A所包含的基本事件就與陰影正方形中的點一一對應，這樣我們用陰影正方形的面積除以大正方形的面積表示事件A的概率是合理的。這一點我們完全可以用引例1的方法驗證其正確性。

解析：P(A)=(1/2)²/1²=1/4。

例5．(CB對講機問題)(CB即CitizenBand市民波段的英文縮寫)兩個CB對講機持有者，莉莉和霍伊都為卡爾貨運公司工作，他們的對講機的接收范圍為25公里，在下午3:0O時莉莉正在基地正東距基地30公里以內(nèi)的某處向基地行駛，而霍伊在下午3：00時正在基地正北距基地40公里以內(nèi)的某地向基地行駛，試問在下午3：0O時他們能夠通過對講機交談的概率有多大？

解：設x和y分別代表莉莉和霍伊距某地的距離，

于是

則他倆所有可能的距離的數(shù)據(jù)構(gòu)成有序點對(x,y),這里x，y都在它們各自的限制范圍內(nèi)，則所有這樣的有序數(shù)對構(gòu)成的集合即為基本事件組對應的幾何區(qū)域，每一個幾何區(qū)域中的點都代表莉莉和霍伊的一個特定的位置， 他們可以通過對講機交談的事件僅當他們之間的距離不超過25公里時發(fā)生(如右圖)因此構(gòu)成該事件的點由滿足不等式

的數(shù)對組成，此不等式等價于

右圖中的方形區(qū)域代表基本事件組，陰影部分代表所求事件，方形區(qū)域的面積為1200平方米公里，而事件的面積為

，

于是有。

例6．(意大利餡餅問題)山姆的意大利餡餅屋中設有一個投鏢靶 該靶為正方形板．邊長為18厘米，掛于前門附近的墻上，顧客花兩角伍分的硬幣便可投一鏢并可有機會贏得一種意大利餡餅中的一個，投鏢靶中畫有三個同心圓，圓心在靶的中心，當投鏢擊中半徑為1厘米的最內(nèi)層圓域時．可得到一個大餡餅；當擊中半徑為1厘米到2厘米之間的環(huán)域時，可得到一個中餡餅；如果擊中半徑為2厘米到3厘米之間的環(huán)域時，可得到一個小餡餅，如果擊中靶上的其他部分，則得不到諂餅，我們假設每一個顧客都能投鏢中靶，并假設每個圓的周邊線沒有寬度，即每個投鏢不會擊中線上，試求一顧客將嬴得：

(a)一張大餡餅，

(b)一張中餡餅，

(c)一張小餡餅，

(d)沒得到餡餅的概率

解析：我們實驗的樣本空間可由一個邊長為18的正方形表示。右圖表明R和子區(qū)域r₁、r₂、r₃和r,它們分別表示得大餡餅、中餡餅、小餡餅或沒得到餡餅的事件。

；

；

；

。

題型3：體積問題

例7．(1)在400毫升自來水中有一個大腸桿菌,今從中隨機取出2毫升水樣放到顯微鏡下觀察,求發(fā)現(xiàn)大腸桿菌的概率。

解析：由于取水樣的隨機性,所求事件的概率等于水樣的體積與總體積之比，即2/400=0.005。

(2)如果在一個5萬平方公里的海域里有表面積達40平方公里的大陸架貯藏著石油,假如在這海領(lǐng)域里隨意選定一點鉆探,問鉆到石油的概率是多少?

解析：由于選點的隨機性,可以認為該海域中各點被選中的可能性是一樣的,因而所求概率自然認為等于貯油海域的面積與整個海域面積之比,即等于40/50000=0.0008。

例8．在線段[0，1]上任意投三個點，問由0至三點的三線段，能構(gòu)成三角形與不能構(gòu)成三角形這兩個事件中哪一個事件的概率大。

解析：設0到三點的三線段長分別為x,y,z，即相應的　　　　 z

右端點坐標為x,y,z，顯然_。這三條線　　　　　 1　　　　　　　 C

段構(gòu)成三角形的充要條件是：　　　　　　　　　　 A　　　　　　　　　 D

。

　　 在線段[0，1]上任意投三點x,y,z。與立方體　　　　　　　　　　　　　　　　　

0　　　　　　　 1　　 y

，，中的點　　　　　 1　　　　　　　　　　　

一一對應，可見所求“構(gòu)成三角形”的概率，等價于x　　　　　　　 B

邊長為1的立方體T中均勻地擲點，而點落在

區(qū)域中的概率；這也就是落在圖中由ΔADC，ΔADB，ΔBDC，ΔAOC，ΔAOB，ΔBOC所圍成的區(qū)域G中的概率。由于 ，

由此得，能與不能構(gòu)成三角形兩事件的概率一樣大。

題型4：隨機模擬

例9．隨機地向半圓(為正常數(shù))內(nèi)擲一點，點落在園內(nèi)任何區(qū)域的概率與區(qū)域的面積成正比，求原點與該點的連線與軸的夾角小于的概率.

　 　解析：半圓域如圖

　　　　　　　　　　　　　 設‘原點與該點連線與軸夾角小于’

　　　　　　　　　　　　　 由幾何概率的定義

　　　　　　　　　　　　　 。

例10．隨機地取兩個正數(shù)和，這兩個數(shù)中的每一個都不超過1，試求與之和不超過1，積不小于0.09的概率.

　 　解析：，不等式確定平面域。

‘’則發(fā)生的充要條件為不

等式確定了的子域，

故：

例11. 曲線y=-x²+1與x軸、y軸圍成一個區(qū)域A，直線x=1、直線y=1、x軸圍成一個正方形，向正方形中隨機地撒一把芝麻，利用計算機來模擬這個試驗，并統(tǒng)計出落在區(qū)域A內(nèi)的芝麻數(shù)與落在正方形中的芝麻數(shù)。

答案：如下表，由計算機產(chǎn)生兩例0~1之間的隨機數(shù)，它們分別表示隨機點(x,y)的坐標。如果一個點(x,y)滿足y≤-x²+1，就表示這個點落在區(qū)域A內(nèi)，在下表中最后一列相應地就填上1，否則填0。