4．一物體從高H處自由下落，當(dāng)其下落x時(shí)，物體的速度恰好是著地時(shí)速度的一半，由它下落的位移x=__________。H/4

3．一物體從高處A點(diǎn)自由下落，經(jīng)B點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)，已知B點(diǎn)的速度是C點(diǎn)速度的3/4，BC間距離是7m，則AC間距離是__________m(g取10m/s²)。16

2．小球做自由落體運(yùn)動(dòng)，它在前ns內(nèi)通過(guò)的位移與前(n+1)s內(nèi)通過(guò)的位移之比是_____________。n²/(n+1)²

1．某物體從某一較高處自由下落，第1s內(nèi)的位移是_______m，第2s末的速度是______m/s，前3s 內(nèi)的平均速度是_________m/s(g取10m/s²)。5,20,15

5．重力加速度的測(cè)量

研究自由落體運(yùn)動(dòng)通常有兩種方法：用打點(diǎn)計(jì)時(shí)器研究自由落體運(yùn)動(dòng)和用頻閃攝影法研究自由落體運(yùn)動(dòng)。研究的原理和過(guò)程與前面對(duì)小車運(yùn)動(dòng)的研究相同，在對(duì)紙帶或照片進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，計(jì)算物體運(yùn)動(dòng)的加速時(shí)，可以有下面兩種方法：

(1)圖象法求重力加速度

以打點(diǎn)計(jì)時(shí)器研究自由落體運(yùn)動(dòng)為例，對(duì)實(shí)驗(yàn)得到如圖2-4-1所示的紙帶進(jìn)行研究。

根據(jù)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)推論：在一段時(shí)間t內(nèi)的平均速度等于這段時(shí)間中間時(shí)刻的瞬時(shí)速度，有v₁=(x₁+x₂)/2T， v₂=(x₂+x₃)/2T……求出各計(jì)數(shù)點(diǎn)的瞬時(shí)速度后，由加速度的定義：a=Δv/Δt計(jì)算出該物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度；或選好計(jì)時(shí)起點(diǎn)作v-t圖象，圖象的斜率即為該勻變速直線運(yùn)動(dòng)的加速度。

(2)逐差法求重力加速度

圖2-4-1中x₁、x₂、x₃、…、x_n是相鄰兩計(jì)數(shù)點(diǎn)間的距離,Δx表示兩個(gè)連續(xù)相等的時(shí)間里的位移之差,即Δx₁= x₂-x₁, Δx₂= x₃-x₂, ……T是兩相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)間的時(shí)間間隔且T=0.02n(n為兩相鄰計(jì)數(shù)點(diǎn)間的間隔數(shù))。

設(shè)物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)經(jīng)過(guò)計(jì)數(shù)點(diǎn)0時(shí)的初速度為v₀，加速度為a，由位移公式得： x₁= v₀T+aT²/2，x₂= v₁T+aT²/2，又因?yàn)?i>v₁=v₀+aT，所以Δx= x₂-x₁= aT²。因?yàn)闀r(shí)間T是個(gè)恒量，物體的加速度a也是個(gè)恒量，因此，Δx必然是個(gè)恒量。這表明，只要物體做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，它在任意兩個(gè)連續(xù)相等時(shí)間里的位移之差就一定相等。

　　 根據(jù)x₄-x₁= (x₄-x₃)+ (x₃-x₂)+ (x₂-x₁)=3aT²，可得：

　　 a₁=(x₄-x₁)/3T²，同理可得：a₂=(x₅-x₂)/3T² ；a₃=(x₆-x₃)/3T²。

加速度的平均值為：

a=(a₁+a₂+a₃)/3=[(x₄-x₁)/3T²+(x₅-x₂)/3T²+(x₆-x₃)/3T²]/3

=[( x₄+x₅+x₆)- ( x₁+x₂+x₃)] /9T²

這種計(jì)算加速度的方法叫做“逐差法”。

如果不用此法，而用相鄰的各x值之差計(jì)算加速度再求平均值可得：

a=[(x₂-x₁)/T²+(x₃-x₂)/T²+(x₄-x₃)/T²+(x₅-x₄)/T²+(x₆-x₅)/T²]/5=(x₆-x₁)/5T²

比較可知，逐差法將x₁到x₆各實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)都利用了，而后一種方法只用上了x₁和x₆兩個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，所以失去了多個(gè)數(shù)據(jù)正負(fù)偶然誤差互相抵消的作用，算出的a值誤差較大，因此實(shí)驗(yàn)中要采用逐差法。

[范例精析]

例1：甲球的重力是乙球的5倍，甲、乙分別從高H、2H處同時(shí)自由落下(H足夠大)，下列說(shuō)法正確的是(　　 )

A．同一時(shí)刻甲的速度比乙大

B．下落1m時(shí)，甲、乙的速度相同

C．下落過(guò)程中甲的加速度大小是乙的5倍

D．在自由下落的全過(guò)程，兩球平均速度大小相等

　 解析：甲、乙兩球同時(shí)作初速度為零、加速度為g的直線運(yùn)動(dòng)，所以下落過(guò)程的任一時(shí)刻兩者加速度相同、速度相同，但整個(gè)過(guò)程中的平均速度等于末速度的一半，與下落高度有關(guān)。所以正確選項(xiàng)為B。

拓展：自由落體運(yùn)動(dòng)是勻加速直線運(yùn)動(dòng)的一個(gè)特例，其初速度為零、加速度為g，g的大小與重力大小無(wú)關(guān)。當(dāng)問(wèn)題指明(或有明顯暗示)空氣阻力不能忽略不計(jì)時(shí)，物體運(yùn)動(dòng)就不再是自由落體運(yùn)動(dòng)。

例2：水滴由屋檐自由下落，當(dāng)它通過(guò)屋檐下高為1.4m的窗戶時(shí)，用時(shí)0.2s，不計(jì)空氣阻力，g取10m/s²，求窗臺(tái)下沿距屋檐的高度。

解析：雨滴自由下落，由題意畫出雨滴下落運(yùn)動(dòng)的示意圖如圖2-4-2所示,利用自由落體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)和圖中的幾何關(guān)系求解。

如圖2-4-2所示h₁=gt²/2……①

h₂=gt²/2……②

t₂=t₁+0.2s……③

h₂=h₁+L……④

由①②③④解得:g(t₁+0.2)²/2=gt₁²/2+L代入數(shù)據(jù)得t₁=0.6s

所以, h2=g(t₁+0.2)²=10×0.8²/2=3.2m

拓展：由該問(wèn)題的解題過(guò)程可以看出，利用平均速度來(lái)解題比較方便、簡(jiǎn)捷。請(qǐng)思考：本題有無(wú)其它解題方法，如有，請(qǐng)驗(yàn)證答案。

例3：升降機(jī)以速度v＝4.9m/s勻速豎直上升，升降機(jī)內(nèi)的天花板上有一個(gè)螺絲帽突然松脫，脫離天花板。已知升降機(jī)天花板到其地板的高度為h＝14.7m。求螺絲帽落到升降機(jī)地板所需時(shí)間。

解析：解法一：以地面為參照物求解

(1)上升過(guò)程：螺絲帽脫離升降機(jī)后以v=4.9m/s初速度豎直向上運(yùn)動(dòng)

上升到最高點(diǎn)時(shí)間：t₁=-v/(-g)=4.9/9.8=0.5s

上升到最高點(diǎn)的位移：h₁=(0-v²)/(-2g)=(0-4.9²)/(-2×9.8)=1.225m

螺絲帽的運(yùn)動(dòng)過(guò)程如圖2-4-3所示，由圖中位移約束關(guān)系得：

h₁+h=h₂+v(t₁+t₂) 即v²/2g+h=gt₂²/2+v(t₁+t₂)

v²/2g+h=gt₂²/2+v(v/g+t₂)　 代入數(shù)據(jù)化簡(jiǎn)得：t₂²+t₂-2.75=0

解得：t₂=1.23 s

因此，螺絲帽落到升降機(jī)地板所需時(shí)間t=t₁+t₂ =1.73s

解法二：以升降機(jī)為參照物求解

我們以升降機(jī)為參考系，即在升降機(jī)內(nèi)觀察螺絲帽的運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樯�降機(jī)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，所以相對(duì)于升降機(jī)而言，螺絲帽的下落加速度仍然是重力加速度。顯然，螺絲帽相對(duì)于升降機(jī)的運(yùn)動(dòng)是自由落體運(yùn)動(dòng)，相對(duì)位移大小即升降機(jī)天花板到其地板的高度。由自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律可得

h＝gt²/2

t＝1.73s

拓展：參考系選擇不同，不僅物體的運(yùn)動(dòng)形式不同，求解時(shí)所用的物理規(guī)律也可能不同。選擇適當(dāng)?shù)膮⒖枷�，往往可以使�?wèn)題的求解過(guò)程得到簡(jiǎn)化。

[能力訓(xùn)練]

4．自由落體運(yùn)動(dòng)是勻變速直線運(yùn)動(dòng)在v₀=0、a=g時(shí)的一個(gè)特例,因此其運(yùn)動(dòng)規(guī)律可由勻變速直線運(yùn)動(dòng)的一般規(guī)律來(lái)推導(dǎo)。

速度公式：v_t=gt

　　 位移公式：h=gt²/2

　　 速度與位移的關(guān)系式：v_t²=2gh

在應(yīng)用自由落體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律解題時(shí)，通常選取　　　方向?yàn)檎�方向�?/p>

3．　　　　　　　　　　　　　　 叫做自由落體加速度，也叫　　　　　　 　　，通常用符號(hào)_____表示。重力加速度g的方向總是_______________；g的大小隨地點(diǎn)的不同而略有變化，在地球表面上赤道處重力加速度最小，數(shù)值為________，南、北兩極處重力加速度_　 ______，數(shù)值為_______；g的大小還隨高度的變化而變化，高度越大，g值______。但這些差異并不是太大，在通常計(jì)算中，地面附近的g取9.8m/s²，在粗略的計(jì)算中，g還可以取10m/s²。

2．自由落體運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)：物體僅受重力作用；初速度v₀=____，加速度a=____，即初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)。

[要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)]

1．物體只在___________________________________________叫做自由落體運(yùn)動(dòng)。這種運(yùn)動(dòng)只在沒(méi)有空氣的空間里才能發(fā)生，我們所研究的自由落體運(yùn)動(dòng)是實(shí)際運(yùn)動(dòng)的一種抽象，是一種理想化的運(yùn)動(dòng)模型：忽略次要因素(空氣阻力)、突出主要因素(重力)。生活中的很多落體問(wèn)題，如果空氣阻力的作用比較小，可以忽略，物體的下落也可以近似看作自由落體運(yùn)動(dòng)。因此，對(duì)生活中的落體運(yùn)動(dòng)進(jìn)行理想化處理是有實(shí)際意義的。

10、一礦井深為125m，在井口每隔一定時(shí)間自由下落一個(gè)小球，當(dāng)?shù)?1個(gè)小球剛從井口下落時(shí)，第1個(gè)小球剛好到達(dá)井底。則相鄰兩個(gè)小球開始下落的時(shí)間間隔為多少？第3 個(gè)小球和第5個(gè)小球相隔多少米？