2.不相等的向量是否一定不平行?(不一定)
1.平行向量是否一定方向相同?(不一定)
例1 判斷下列命題是否正確,若不正確,請(qǐng)簡(jiǎn)述理由.
①向量與是共線向量,則A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上;
②單位向量都相等;
③任一向量與它的相反向量不相等;
④四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是=
⑤模為0是一個(gè)向量方向不確定的充要條件;
⑥共線的向量,若起點(diǎn)不同,則終點(diǎn)一定不同.
解:①不正確.共線向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可,并不要求兩個(gè)向量、在同一直線上.
②不正確.單位向量模均相等且為1,但方向并不確定.
③不正確.零向量的相反向量仍是零向量,但零向量與零向量是相等的.
④、⑤正確.⑥不正確.如圖與共線,雖起點(diǎn)不同,但其終點(diǎn)卻相同.
評(píng)述:本題考查基本概念,對(duì)于零向量、單位向量、平行向量、共線向量的概念特征及相互關(guān)系必須把握好.
例2下列命題正確的是( )
A.a與b共線,b與c共線,則a與c也共線
B.任意兩個(gè)相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一平行四邊形的四頂點(diǎn)
C.向量a與b不共線,則a與b都是非零向量
D.有相同起點(diǎn)的兩個(gè)非零向量不平行
解:由于零向量與任一向量都共線,所以A不正確;由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量,所以兩個(gè)相等的非零向量可以在同一直線上,而此時(shí)就構(gòu)不成四邊形,根本不可能是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn),所以B不正確;向量的平行只要方向相同或相反即可,與起點(diǎn)是否相同無關(guān),所以D不正確;對(duì)于C,其條件以否定形式給出,所以可從其逆否命題來入手考慮,假若a與b不都是非零向量,即a與b至少有一個(gè)是零向量,而由零向量與任一向量都共線,可有a與b共線,不符合已知條件,所以有a與b都是非零向量,所以應(yīng)選C.
評(píng)述:對(duì)于有關(guān)向量基本概念的考查,可以從概念的特征入手,也可以從反面進(jìn)行考慮,要啟發(fā)學(xué)生注意這兩方面的結(jié)合
4.向量與有向線段的區(qū)別:
(1)向量是自由向量,只有大小和方向兩個(gè)要素;與起點(diǎn)無關(guān):只要大小和方向相同,則這兩個(gè)向量就是相同的向量;
(2)有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)要素,起點(diǎn)不同,盡管大小和方向相同,也是不同的有向線段
3.實(shí)數(shù)與向量不能相加減,但實(shí)數(shù)與向量可以相乘.
初學(xué)向量的同學(xué)很可能認(rèn)為一個(gè)實(shí)數(shù)與一個(gè)向量之間可進(jìn)行加法或者減法,這是錯(cuò)誤的.實(shí)數(shù)與向量之間不能相加減,但可相乘,相乘的意義就是幾個(gè)相等向量相加.
2.向量不能比較大小
我們知道,長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量表示相等向量,但是兩個(gè)向量之間只有相等關(guān)系,沒有大小之分,“對(duì)于向量a,b,a>b,或a<b”這種說法是錯(cuò)誤的.
6.共線向量與平行向量關(guān)系:
平行向量就是共線向量,這是因?yàn)槿我唤M平行向量都可移到同一直線上.
說明:(1)平行向量可以在同一直線上,要區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系;
(2)共線向量可以相互平行,要區(qū)別于在同一直線上的線段的位置關(guān)系.
探究:1.對(duì)向量概念的理解
要深刻理解向量的概念,就要深刻理解有向線段這一概念.在線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)中,我們規(guī)定了一個(gè)順序,A為起點(diǎn),B為終點(diǎn),我們就說線段AB具有射線AB的方向,具有方向的線段就叫做有向線段.通常有向線段的終點(diǎn)要畫箭頭表示它的方向,以A為起點(diǎn),以B為終點(diǎn)的有向線段記為,需要學(xué)生注意的是:的字母是有順序的,起點(diǎn)在前終點(diǎn)在后,所以我們說有向線段有三個(gè)要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.
既有大小又有方向的量,我們叫做向量,有些向量既有大小、方向、作用點(diǎn)(起點(diǎn)),比如力;有些向量只有大小、方向,比如位移、速度,我們現(xiàn)在所學(xué)的向量一般指后者.
5.相等向量定義:
長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫相等向量.
說明:(1)向量a與b相等,記作a=b;
(2)零向量與零向量相等;
(3)任意兩個(gè)相等的非零向量,都可用同一條有向線段來表示,并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).
4.平行向量定義:
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;
②我們規(guī)定0與任一向量平行.
說明:(1)綜合①、②才是平行向量的完整定義;
(2)向量a、b、c平行,記作a∥b∥c.
3.零向量、單位向量概念:
①長(zhǎng)度為0的向量叫零向量,記作的方向是任意的
注意與0的區(qū)別
②長(zhǎng)度為1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量,叫單位向量.
說明:零向量、單位向量的定義都是只限制大小,不確定方向.
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