第一部分  力＆物體的平衡

第一講 力的處理

一、矢量的運算

1、加法

表達： +  =  。

名詞：為“和矢量”。

法則：平行四邊形法則。如圖1所示。

和矢量大小：c =  ，其中α為和的夾角。

和矢量方向：在、之間，和夾角β= arcsin

2、減法

表達： = － 。

名詞：為“被減數(shù)矢量”，為“減數(shù)矢量”，為“差矢量”。

法則：三角形法則。如圖2所示。將被減數(shù)矢量和減數(shù)矢量的起始端平移到一點，然后連接兩時量末端，指向被減數(shù)時量的時量，即是差矢量。

差矢量大�。篴 =  ，其中θ為和的夾角。

差矢量的方向可以用正弦定理求得。

一條直線上的矢量運算是平行四邊形和三角形法則的特例。

例題：已知質點做勻速率圓周運動，半徑為R ，周期為T ，求它在T內和在T內的平均加速度大小。

解說：如圖3所示，A到B點對應T的過程，A到C點對應T的過程。這三點的速度矢量分別設為、和。

根據(jù)加速度的定義 = 得：= ，= 

由于有兩處涉及矢量減法，設兩個差矢量 = － ，= － ，根據(jù)三角形法則，它們在圖3中的大小、方向已繪出（的“三角形”已被拉伸成一條直線）。

本題只關心各矢量的大小，顯然：

 =  =  =  ，且： = =  ， = 2= 

所以：=  =  =  ，=  =  =  。

（學生活動）觀察與思考：這兩個加速度是否相等，勻速率圓周運動是不是勻變速運動？

答：否；不是。

3、乘法

矢量的乘法有兩種：叉乘和點乘，和代數(shù)的乘法有著質的不同。

⑴ 叉乘

表達：× = 

名詞：稱“矢量的叉積”，它是一個新的矢量。

叉積的大�。篶 = absinα，其中α為和的夾角。意義：的大小對應由和作成的平行四邊形的面積。

叉積的方向：垂直和確定的平面，并由右手螺旋定則確定方向，如圖4所示。

顯然，×≠×，但有：×= －×

⑵ 點乘

表達：· = c

名詞：c稱“矢量的點積”，它不再是一個矢量，而是一個標量。

點積的大小：c = abcosα，其中α為和的夾角。

二、共點力的合成

1、平行四邊形法則與矢量表達式

2、一般平行四邊形的合力與分力的求法

余弦定理（或分割成RtΔ）解合力的大小

正弦定理解方向

三、力的分解

1、按效果分解

2、按需要——正交分解

第二講 物體的平衡

一、共點力平衡

1、特征：質心無加速度。

2、條件：Σ = 0 ，或  = 0 ， = 0

例題：如圖5所示，長為L 、粗細不均勻的橫桿被兩根輕繩水平懸掛，繩子與水平方向的夾角在圖上已標示，求橫桿的重心位置。

解說：直接用三力共點的知識解題，幾何關系比較簡單。

答案：距棒的左端L/4處。

（學生活動）思考：放在斜面上的均質長方體，按實際情況分析受力，斜面的支持力會通過長方體的重心嗎？

解：將各處的支持力歸納成一個N ，則長方體受三個力（G 、f 、N）必共點，由此推知，N不可能通過長方體的重心。正確受力情形如圖6所示（通常的受力圖是將受力物體看成一個點，這時，N就過重心了）。

答：不會。

二、轉動平衡

1、特征：物體無轉動加速度。

2、條件：Σ= 0 ，或ΣM₊ =ΣM_- 

如果物體靜止，肯定會同時滿足兩種平衡，因此用兩種思路均可解題。

3、非共點力的合成

大小和方向：遵從一條直線矢量合成法則。

作用點：先假定一個等效作用點，然后讓所有的平行力對這個作用點的和力矩為零。

第三講 習題課

1、如圖7所示，在固定的、傾角為α斜面上，有一塊可以轉動的夾板（β不定），夾板和斜面夾著一個質量為m的光滑均質球體，試求：β取何值時，夾板對球的彈力最小。

解說：法一，平行四邊形動態(tài)處理。

對球體進行受力分析，然后對平行四邊形中的矢量G和N₁進行平移，使它們構成一個三角形，如圖8的左圖和中圖所示。

由于G的大小和方向均不變，而N₁的方向不可變，當β增大導致N₂的方向改變時，N₂的變化和N₁的方向變化如圖8的右圖所示。

顯然，隨著β增大，N₁單調減小，而N₂的大小先減小后增大，當N₂垂直N₁時，N₂取極小值，且N_2min = Gsinα。

法二，函數(shù)法。

看圖8的中間圖，對這個三角形用正弦定理，有：

 =  ，即：N₂ =  ，β在0到180°之間取值，N₂的極值討論是很容易的。

答案：當β= 90°時，甲板的彈力最小。

2、把一個重為G的物體用一個水平推力F壓在豎直的足夠高的墻壁上，F(xiàn)隨時間t的變化規(guī)律如圖9所示，則在t = 0開始物體所受的摩擦力f的變化圖線是圖10中的哪一個？

解說：靜力學旨在解決靜態(tài)問題和準靜態(tài)過程的問題，但本題是一個例外。物體在豎直方向的運動先加速后減速，平衡方程不再適用。如何避開牛頓第二定律，是本題授課時的難點。

靜力學的知識，本題在于區(qū)分兩種摩擦的不同判據(jù)。

水平方向合力為零，得：支持力N持續(xù)增大。

物體在運動時，滑動摩擦力f = μN ，必持續(xù)增大。但物體在靜止后靜摩擦力f′≡ G ，與N沒有關系。

對運動過程加以分析，物體必有加速和減速兩個過程。據(jù)物理常識，加速時，f ＜ G ，而在減速時f ＞ G 。

答案：B 。

3、如圖11所示，一個重量為G的小球套在豎直放置的、半徑為R的光滑大環(huán)上，另一輕質彈簧的勁度系數(shù)為k ，自由長度為L（L＜2R），一端固定在大圓環(huán)的頂點A ，另一端與小球相連。環(huán)靜止平衡時位于大環(huán)上的B點。試求彈簧與豎直方向的夾角θ。

解說：平行四邊形的三個矢量總是可以平移到一個三角形中去討論，解三角形的典型思路有三種：①分割成直角三角形（或本來就是直角三角形）；②利用正、余弦定理；③利用力學矢量三角形和某空間位置三角形相似。本題旨在貫徹第三種思路。

分析小球受力→矢量平移，如圖12所示，其中F表示彈簧彈力，N表示大環(huán)的支持力。

（學生活動）思考：支持力N可不可以沿圖12中的反方向？（正交分解看水平方向平衡——不可以。）

容易判斷，圖中的灰色矢量三角形和空間位置三角形ΔAOB是相似的，所以：

                                   ⑴

由胡克定律：F = k（- R）                ⑵

幾何關系：= 2Rcosθ                     ⑶

解以上三式即可。

答案：arccos 。

（學生活動）思考：若將彈簧換成勁度系數(shù)k′較大的彈簧，其它條件不變，則彈簧彈力怎么變？環(huán)的支持力怎么變？

答：變�。徊蛔�。

（學生活動）反饋練習：光滑半球固定在水平面上，球心O的正上方有一定滑輪，一根輕繩跨過滑輪將一小球從圖13所示的A位置開始緩慢拉至B位置。試判斷：在此過程中，繩子的拉力T和球面支持力N怎樣變化？

解：和上題完全相同。

答：T變小，N不變。

4、如圖14所示，一個半徑為R的非均質圓球，其重心不在球心O點，先將它置于水平地面上，平衡時球面上的A點和地面接觸；再將它置于傾角為30°的粗糙斜面上，平衡時球面上的B點與斜面接觸，已知A到B的圓心角也為30°。試求球體的重心C到球心O的距離。

解說：練習三力共點的應用。

根據(jù)在平面上的平衡，可知重心C在OA連線上。根據(jù)在斜面上的平衡，支持力、重力和靜摩擦力共點，可以畫出重心的具體位置。幾何計算比較簡單。

答案：R 。

（學生活動）反饋練習：靜摩擦足夠，將長為a 、厚為b的磚塊碼在傾角為θ的斜面上，最多能碼多少塊？

解：三力共點知識應用。

答： 。

4、兩根等長的細線，一端拴在同一懸點O上，另一端各系一個小球，兩球的質量分別為m₁和m₂ ，已知兩球間存在大小相等、方向相反的斥力而使兩線張開一定角度，分別為45和30°，如圖15所示。則m₁ : m₂??為多少？

解說：本題考查正弦定理、或力矩平衡解靜力學問題。

對兩球進行受力分析，并進行矢量平移，如圖16所示。

首先注意，圖16中的灰色三角形是等腰三角形，兩底角相等，設為α。

而且，兩球相互作用的斥力方向相反，大小相等，可用同一字母表示，設為F 。

對左邊的矢量三角形用正弦定理，有：

 =          ①

同理，對右邊的矢量三角形，有： =                                ②

解①②兩式即可。

答案：1 ： 。

（學生活動）思考：解本題是否還有其它的方法？

答：有——將模型看成用輕桿連成的兩小球，而將O點看成轉軸，兩球的重力對O的力矩必然是平衡的。這種方法更直接、簡便。

應用：若原題中繩長不等，而是l₁ ：l₂ = 3 ：2 ，其它條件不變，m₁與m₂的比值又將是多少？

解：此時用共點力平衡更加復雜（多一個正弦定理方程），而用力矩平衡則幾乎和“思考”完全相同。

答：2 ：3 。

5、如圖17所示，一個半徑為R的均質金屬球上固定著一根長為L的輕質細桿，細桿的左端用鉸鏈與墻壁相連，球下邊墊上一塊木板后，細桿恰好水平，而木板下面是光滑的水平面。由于金屬球和木板之間有摩擦（已知摩擦因素為μ），所以要將木板從球下面向右抽出時，至少需要大小為F的水平拉力。試問：現(xiàn)要將木板繼續(xù)向左插進一些，至少需要多大的水平推力？

解說：這是一個典型的力矩平衡的例題。

以球和桿為對象，研究其對轉軸O的轉動平衡，設木板拉出時給球體的摩擦力為f ，支持力為N ，重力為G ，力矩平衡方程為：

f R + N（R + L）= G（R + L）           ①

球和板已相對滑動，故：f = μN        ②

解①②可得：f = 

再看木板的平衡，F(xiàn) = f 。

同理，木板插進去時，球體和木板之間的摩擦f′=  = F′。

答案： 。

第四講 摩擦角及其它

一、摩擦角

1、全反力：接觸面給物體的摩擦力與支持力的合力稱全反力，一般用R表示，亦稱接觸反力。

2、摩擦角：全反力與支持力的最大夾角稱摩擦角，一般用φ_m表示。

此時，要么物體已經(jīng)滑動，必有：φ_m = arctgμ（μ為動摩擦因素），稱動摩擦力角；要么物體達到最大運動趨勢，必有：φ_ms = arctgμ_s（μ_s為靜摩擦因素），稱靜摩擦角。通常處理為φ_m = φ_ms 。

3、引入全反力和摩擦角的意義：使分析處理物體受力時更方便、更簡捷。

二、隔離法與整體法

1、隔離法：當物體對象有兩個或兩個以上時，有必要各個擊破，逐個講每個個體隔離開來分析處理，稱隔離法。

在處理各隔離方程之間的聯(lián)系時，應注意相互作用力的大小和方向關系。

2、整體法：當各個體均處于平衡狀態(tài)時，我們可以不顧個體的差異而講多個對象看成一個整體進行分析處理，稱整體法。

應用整體法時應注意“系統(tǒng)”、“內力”和“外力”的涵義。

三、應用

1、物體放在水平面上，用與水平方向成30°的力拉物體時，物體勻速前進。若此力大小不變，改為沿水平方向拉物體，物體仍能勻速前進，求物體與水平面之間的動摩擦因素μ。

解說：這是一個能顯示摩擦角解題優(yōu)越性的題目�？梢酝ㄟ^不同解法的比較讓學生留下深刻印象。

法一，正交分解。（學生分析受力→列方程→得結果。）

法二，用摩擦角解題。

引進全反力R ，對物體兩個平衡狀態(tài)進行受力分析，再進行矢量平移，得到圖18中的左圖和中間圖（注意：重力G是不變的，而全反力R的方向不變、F的大小不變），φ_m指摩擦角。

再將兩圖重疊成圖18的右圖。由于灰色的三角形是一個頂角為30°的等腰三角形，其頂角的角平分線必垂直底邊……故有：φ_m = 15°。

最后，μ= tgφ_m 。

答案：0.268 。

（學生活動）思考：如果F的大小是可以選擇的，那么能維持物體勻速前進的最小F值是多少？

解：見圖18，右圖中虛線的長度即F_min ，所以，F(xiàn)_min = Gsinφ_m 。

答：Gsin15°（其中G為物體的重量）。

2、如圖19所示，質量m = 5kg的物體置于一粗糙斜面上，并用一平行斜面的、大小F = 30N的推力推物體，使物體能夠沿斜面向上勻速運動，而斜面體始終靜止。已知斜面的質量M = 10kg ，傾角為30°，重力加速度g = 10m/s² ，求地面對斜面體的摩擦力大小。

解說：

本題旨在顯示整體法的解題的優(yōu)越性。

法一，隔離法。簡要介紹……

法二，整體法。注意，滑塊和斜面隨有相對運動，但從平衡的角度看，它們是完全等價的，可以看成一個整體。

做整體的受力分析時，內力不加考慮。受力分析比較簡單，列水平方向平衡方程很容易解地面摩擦力。

答案：26.0N 。

（學生活動）地面給斜面體的支持力是多少？

解：略。

答：135N 。

應用：如圖20所示，一上表面粗糙的斜面體上放在光滑的水平地面上，斜面的傾角為θ。另一質量為m的滑塊恰好能沿斜面勻速下滑。若用一推力F作用在滑塊上，使之能沿斜面勻速上滑，且要求斜面體靜止不動，就必須施加一個大小為P = 4mgsinθcosθ的水平推力作用于斜面體。使?jié)M足題意的這個F的大小和方向。

解說：這是一道難度較大的靜力學題，可以動用一切可能的工具解題。

法一：隔離法。

由第一個物理情景易得，斜面于滑塊的摩擦因素μ= tgθ

對第二個物理情景，分別隔離滑塊和斜面體分析受力，并將F沿斜面、垂直斜面分解成F_x和F_y ，滑塊與斜面之間的兩對相互作用力只用兩個字母表示（N表示正壓力和彈力，f表示摩擦力），如圖21所示。

對滑塊，我們可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡——

F_x = f + mgsinθ

F_y + mgcosθ= N

且 f = μN = Ntgθ

綜合以上三式得到：

F_x = F_ytgθ+ 2mgsinθ               ①

對斜面體，只看水平方向平衡就行了——

P = fcosθ+ Nsinθ

即：4mgsinθcosθ=μNcosθ+ Nsinθ

代入μ值，化簡得：F_y = mgcosθ      ②

②代入①可得：F_x = 3mgsinθ

最后由F =解F的大小，由tgα= 解F的方向（設α為F和斜面的夾角）。

答案：大小為F = mg，方向和斜面夾角α= arctg()指向斜面內部。

法二：引入摩擦角和整體法觀念。

仍然沿用“法一”中關于F的方向設置（見圖21中的α角）。

先看整體的水平方向平衡，有：Fcos(θ- α) = P                                   ⑴

再隔離滑塊，分析受力時引進全反力R和摩擦角φ，由于簡化后只有三個力（R、mg和F），可以將矢量平移后構成一個三角形，如圖22所示。

在圖22右邊的矢量三角形中，有： = =      ⑵

注意：φ= arctgμ= arctg(tgθ) = θ                                              ⑶

解⑴⑵⑶式可得F和α的值。

第Ⅰ卷（選擇題　共31分）

一、單項選擇題．本題共5小題，每小題3分，共計15分．每小題只有一個選項符合題意．

1. 關于科學家和他們的貢獻，下列說法中正確的是[來源:Www..com]

A．安培首先發(fā)現(xiàn)了電流的磁效應

B．伽利略認為自由落體運動是速度隨位移均勻變化的運動

C．牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律，并計算出太陽與地球間引力的大小

D．法拉第提出了電場的觀點，說明處于電場中電荷所受到的力是電場給予的

2．如圖為一種主動式光控報警器原理圖，圖中R₁和R₂為光敏電阻，R₃和R₄為定值電阻．當射向光敏電阻R₁和R₂的任何一束光線被遮擋時，都會引起警鈴發(fā)聲，則圖中虛線框內的電路是

A．與門                  B．或門               C．或非門                  D．與非門

3．如圖所示的交流電路中，理想變壓器原線圈輸入電壓為U₁，輸入功率為P₁，輸出功率為P₂，各交流電表均為理想電表．當滑動變阻器R的滑動頭向下移動時

A．燈L變亮                                    B．各個電表讀數(shù)均變大

C．因為U₁不變，所以P₁不變                              D．P₁變大，且始終有P₁= P₂

4．豎直平面內光滑圓軌道外側，一小球以某一水平速度v₀從A點出發(fā)沿圓軌道運動，至B點時脫離軌道，最終落在水平面上的C點，不計空氣阻力．下列說法中不正確的是

A．在B點時，小球對圓軌道的壓力為零

B．B到C過程，小球做勻變速運動

C．在A點時，小球對圓軌道壓力大于其重力

D．A到B過程，小球水平方向的加速度先增加后減小

5．如圖所示，水平面上放置質量為M的三角形斜劈，斜劈頂端安裝光滑的定滑輪，細繩跨過定滑輪分別連接質量為m₁和m₂的物塊．m₁在斜面上運動，三角形斜劈保持靜止狀態(tài)．下列說法中正確的是

A．若m₂向下運動，則斜劈受到水平面向左摩擦力

B．若m₁沿斜面向下加速運動，則斜劈受到水平面向右的摩擦力

C．若m₁沿斜面向下運動，則斜劈受到水平面的支持力大于（m₁+ m₂+M）g

D．若m₂向上運動，則輕繩的拉力一定大于m₂g

二、多項選擇題．本題共4小題，每小題4分，共計16分．每小題有多個選項符合題意．全部選對的得4分，選對但不全的得2分，錯選或不答的得0分．

6．木星是太陽系中最大的行星，它有眾多衛(wèi)星．觀察測出：木星繞太陽作圓周運動的半徑為r₁、 周期為T₁；木星的某一衛(wèi)星繞木星作圓周運動的半徑為r₂、 周期為T₂．已知萬有引力常量為G，則根據(jù)題中給定條件

A．能求出木星的質量

B．能求出木星與衛(wèi)星間的萬有引力

C．能求出太陽與木星間的萬有引力

D．可以斷定

7．如圖所示，xOy坐標平面在豎直面內，x軸沿水平方向，y軸正方向豎直向上，在圖示空間內有垂直于xOy平面的水平勻強磁場．一帶電小球從O點由靜止釋放，運動軌跡如圖中曲線．關于帶電小球的運動，下列說法中正確的是

A．OAB軌跡為半圓

B．小球運動至最低點A時速度最大，且沿水平方向

C．小球在整個運動過程中機械能守恒

D．小球在A點時受到的洛倫茲力與重力大小相等

8．如圖所示，質量為M、長為L的木板置于光滑的水平面上，一質量為m的滑塊放置在木板左端，滑塊與木板間滑動摩擦力大小為f，用水平的恒定拉力F作用于滑塊．當滑塊運動到木板右端時，木板在地面上移動的距離為s，滑塊速度為v₁，木板速度為v₂，下列結論中正確的是

A．上述過程中，F做功大小為　　　　　　　　　　　　

B．其他條件不變的情況下，F越大，滑塊到達右端所用時間越長

C．其他條件不變的情況下，M越大，s越小

D．其他條件不變的情況下，f越大，滑塊與木板間產(chǎn)生的熱量越多

9．如圖所示，兩個固定的相同細環(huán)相距一定的距離，同軸放置，O₁、O₂分別為兩環(huán)的圓心，兩環(huán)分別帶有均勻分布的等量異種電荷．一帶正電的粒子從很遠處沿軸線飛來并穿過兩環(huán)．則在帶電粒子運動過程中

A．在O₁點粒子加速度方向向左

B．從O₁到O₂過程粒子電勢能一直增加

C．軸線上O₁點右側存在一點，粒子在該點動能最小

D．軸線上O₁點右側、O₂點左側都存在場強為零的點，它們關于O₁、O₂連線中點對稱

第Ⅱ卷（非選擇題　共89分）

三、簡答題：本題分必做題（第lO、11題)和選做題(第12題)兩部分，共計42分．請將解答填寫在答題卡相應的位置．

必做題

10．測定木塊與長木板之間的動摩擦因數(shù)時，采用如圖所示的裝置，圖中長木板水平固定．

（1）實驗過程中，電火花計時器應接在  ▲  （選填“直流”或“交流”）電源上．調整定滑輪高度，使  ▲  ．

（2）已知重力加速度為g，測得木塊的質量為M，砝碼盤和砝碼的總質量為m，木塊的加速度為a，則木塊與長木板間動摩擦因數(shù)μ=  ▲  ．

（3）如圖為木塊在水平木板上帶動紙帶運動打出的一條紙帶的一部分，0、1、2、3、4、5、6為計數(shù)點，相鄰兩計數(shù)點間還有4個打點未畫出．從紙帶上測出x₁=3.20cm，x₂=4.52cm，x₅=8.42cm，x₆=9.70cm．則木塊加速度大小a=  ▲  m/s²(保留兩位有效數(shù)字)．

11．為了測量某電池的電動勢 E（約為3V）和內阻 r，可供選擇的器材如下：

A．電流表G₁（2mA  100Ω）             B．電流表G₂（1mA  內阻未知）

C．電阻箱R₁（0~999.9Ω）                      D．電阻箱R₂（0~9999Ω）

E．滑動變阻器R₃（0~10Ω  1A）         F．滑動變阻器R₄（0~1000Ω  10mA）

G．定值電阻R₀（800Ω  0.1A）               H．待測電池

I．導線、電鍵若干

（1）采用如圖甲所示的電路，測定電流表G₂的內阻，得到電流表G₁的示數(shù)I₁、電流表G₂的示數(shù)I₂如下表所示：

根據(jù)測量數(shù)據(jù)，請在圖乙坐標中描點作出I₁—I₂圖線．由圖得到電流表G₂的內阻等于

  ▲  Ω．

（2）在現(xiàn)有器材的條件下，測量該電池電動勢和內阻，采用如圖丙所示的電路，圖中滑動變阻器①應該選用給定的器材中  ▲  ，電阻箱②選  ▲  （均填寫器材代號）．

（3）根據(jù)圖丙所示電路，請在丁圖中用筆畫線代替導線，完成實物電路的連接．

12．選做題(請從A、B和C三小題中選定兩小題作答，并在答題卡上把所選題目對應字母后的方框涂滿涂黑．如都作答，則按A、B兩小題評分．)

A．(選修模塊3-3)(12分)

（1）下列說法中正確的是  ▲ 

A．液體表面層分子間距離大于液體內部分子間距離，液體表面存在張力

B．擴散運動就是布朗運動

C．蔗糖受潮后會粘在一起，沒有確定的幾何形狀，它是非晶體

D．對任何一類與熱現(xiàn)象有關的宏觀自然過程進行方向的說明，都可以作為熱力學第二定律的表述

（2）將1ml的純油酸加到500ml的酒精中，待均勻溶解后，用滴管取1ml油酸酒精溶液，讓其自然滴出，共200滴．現(xiàn)在讓其中一滴落到盛水的淺盤內，待油膜充分展開后，測得油膜的面積為200cm²，則估算油酸分子的大小是  ▲  m（保留一位有效數(shù)字）．

（3）如圖所示，一直立的汽缸用一質量為m的活塞封閉一定量的理想氣體，活塞橫截面積為S，汽缸內壁光滑且缸壁是導熱的，開始活塞被固定，打開固定螺栓K，活塞下落，經(jīng)過足夠長時間后，活塞停在B點，已知AB=h，大氣壓強為p₀，重力加速度為g．

①求活塞停在B點時缸內封閉氣體的壓強；

②設周圍環(huán)境溫度保持不變，求整個過程中通過缸壁傳遞的熱量Q（一定量理想氣體的內能僅由溫度決定）．

B．(選修模塊3-4)(12分)

（1）下列說法中正確的是  ▲ 

A．照相機、攝影機鏡頭表面涂有增透膜，利用了光的干涉原理

B．光照射遮擋物形成的影輪廓模糊，是光的衍射現(xiàn)象

C．太陽光是偏振光

D．為了有效地發(fā)射電磁波，應該采用長波發(fā)射

（2）甲、乙兩人站在地面上時身高都是L₀, 甲、乙分別乘坐速度為0.6c和0.8c（c為光速）的飛船同向運動，如圖所示．此時乙觀察到甲的身高L  ▲  L₀；若甲向乙揮手，動作時間為t₀，乙觀察到甲動作時間為t₁，則t₁  ▲  t₀（均選填“>”、“ =” 或“<”）．

（3）x=0的質點在t=0時刻開始振動，產(chǎn)生的波沿x軸正方向傳播，t₁=0.14s時刻波的圖象如圖所示，質點A剛好開始振動．

①求波在介質中的傳播速度；

②求x=4m的質點在0.14s內運動的路程．

   C．(選修模塊3-5)(12分)

（1）下列說法中正確的是  ▲ 

A．康普頓效應進一步證實了光的波動特性

B．為了解釋黑體輻射規(guī)律，普朗克提出電磁輻射的能量是量子化的

C．經(jīng)典物理學不能解釋原子的穩(wěn)定性和原子光譜的分立特征

D．天然放射性元素衰變的快慢與化學、物理狀態(tài)有關

（2）是不穩(wěn)定的，能自發(fā)的發(fā)生衰變．

①完成衰變反應方程    ▲  ．

②衰變?yōu)?img width=40 height=25 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/wl/3/40403.gif" >，經(jīng)過  ▲  次α衰變，  ▲  次β衰變．

（3）1919年，盧瑟福用α粒子轟擊氮核發(fā)現(xiàn)質子．科學研究表明其核反應過程是：α粒子轟擊靜止的氮核后形成了不穩(wěn)定的復核，復核發(fā)生衰變放出質子，變成氧核．設α粒子質量為m₁，初速度為v₀，氮核質量為m₂，質子質量為m₀, 氧核的質量為m₃，不考慮相對論效應．

①α粒子轟擊氮核形成不穩(wěn)定復核的瞬間，復核的速度為多大？

②求此過程中釋放的核能．

四、計算題：本題共3小題，共計47分．解答時請寫出必要的文字說明、方程式和重要的演算步驟，只寫出最后答案的不能得分，有數(shù)值計算的題，答案中必須明確寫出數(shù)值和單位．

13．如圖所示，一質量為m的氫氣球用細繩拴在地面上，地面上空風速水平且恒為v₀，球靜止時繩與水平方向夾角為α．某時刻繩突然斷裂，氫氣球飛走．已知氫氣球在空氣中運動時所受到的阻力f正比于其相對空氣的速度v，可以表示為f=kv（k為已知的常數(shù)）．則

（1）氫氣球受到的浮力為多大？

（2）繩斷裂瞬間，氫氣球加速度為多大？

（3）一段時間后氫氣球在空中做勻速直線運動，其水平方向上的速度與風速v₀相等，求此時氣球速度大�。ㄔO空氣密度不發(fā)生變化，重力加速度為g）．

14．如圖所示，光滑絕緣水平面上放置一均勻導體制成的正方形線框abcd，線框質量為m，電阻為R，邊長為L．有一方向豎直向下的有界磁場，磁場的磁感應強度為B，磁場區(qū)寬度大于L，左邊界與ab邊平行．線框在水平向右的拉力作用下垂直于邊界線穿過磁場區(qū)．

（1）若線框以速度v勻速穿過磁場區(qū)，求線框在離開磁場時ab兩點間的電勢差；

（2）若線框從靜止開始以恒定的加速度a運動，經(jīng)過t₁時間ab邊開始進入磁場，求cd邊將要進入磁場時刻回路的電功率；

（3）若線框以初速度v₀進入磁場，且拉力的功率恒為P₀．經(jīng)過時間T，cd邊進入磁場，此過程中回路產(chǎn)生的電熱為Q．后來ab邊剛穿出磁場時，線框速度也為v₀，求線框穿過磁場所用的時間t．

15．如圖所示，有界勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，MN為其左邊界，磁場中放置一半徑為R的圓柱形金屬圓筒，圓心O到MN的距離OO₁=2R，圓筒軸線與磁場平行．圓筒用導線通過一個電阻r₀接地，最初金屬圓筒不帶電．現(xiàn)有范圍足夠大的平行電子束以速度v₀從很遠處沿垂直于左邊界MN向右射入磁場區(qū)，已知電子質量為m，電量為e．

（1）若電子初速度滿足，則在最初圓筒上沒有帶電時，能夠打到圓筒上的電子對應MN邊界上O₁兩側的范圍是多大？

（2）當圓筒上電量達到相對穩(wěn)定時，測量得到通過電阻r₀的電流恒為I，忽略運動電子間的相互作用，求此時金屬圓筒的電勢φ和電子到達圓筒時速度v（取無窮遠處或大地電勢為零）．

（3）在（2）的情況下，求金屬圓筒的發(fā)熱功率．

第二部分  牛頓運動定律

第一講 牛頓三定律

一、牛頓第一定律

1、定律。慣性的量度

2、觀念意義，突破“初態(tài)困惑”

二、牛頓第二定律

1、定律

2、理解要點

a、矢量性

b、獨立作用性：ΣF → a ，ΣF_x → a_x …

c、瞬時性。合力可突變，故加速度可突變（與之對比：速度和位移不可突變）；牛頓第二定律展示了加速度的決定式（加速度的定義式僅僅展示了加速度的“測量手段”）。

3、適用條件

a、宏觀、低速

b、慣性系

對于非慣性系的定律修正——引入慣性力、參與受力分析

三、牛頓第三定律

1、定律

2、理解要點

a、同性質（但不同物體）

b、等時效（同增同減）

c、無條件（與運動狀態(tài)、空間選擇無關）

第二講 牛頓定律的應用

一、牛頓第一、第二定律的應用

單獨應用牛頓第一定律的物理問題比較少，一般是需要用其解決物理問題中的某一個環(huán)節(jié)。

應用要點：合力為零時，物體靠慣性維持原有運動狀態(tài)；只有物體有加速度時才需要合力。有質量的物體才有慣性。a可以突變而v、s不可突變。

1、如圖1所示，在馬達的驅動下，皮帶運輸機上方的皮帶以恒定的速度向右運動�，F(xiàn)將一工件（大小不計）在皮帶左端A點輕輕放下，則在此后的過程中（      ）

A、一段時間內，工件將在滑動摩擦力作用下，對地做加速運動

B、當工件的速度等于v時，它與皮帶之間的摩擦力變?yōu)殪o摩擦力

C、當工件相對皮帶靜止時，它位于皮帶上A點右側的某一點

D、工件在皮帶上有可能不存在與皮帶相對靜止的狀態(tài)

解說：B選項需要用到牛頓第一定律，A、C、D選項用到牛頓第二定律。

較難突破的是A選項，在為什么不會“立即跟上皮帶”的問題上，建議使用反證法（t → 0 ，a → ∞ ，則ΣF_x → ∞ ，必然會出現(xiàn)“供不應求”的局面）和比較法（為什么人跳上速度不大的物體可以不發(fā)生相對滑動？因為人是可以形變、重心可以調節(jié)的特殊“物體”）

此外，本題的D選項還要用到勻變速運動規(guī)律。用勻變速運動規(guī)律和牛頓第二定律不難得出

只有當L ＞ 時（其中μ為工件與皮帶之間的動摩擦因素），才有相對靜止的過程，否則沒有。

答案：A、D

思考：令L = 10m ，v = 2 m/s ，μ= 0.2 ，g取10 m/s² ，試求工件到達皮帶右端的時間t（過程略，答案為5.5s）

進階練習：在上面“思考”題中，將工件給予一水平向右的初速v₀ ，其它條件不變，再求t（學生分以下三組進行）——

① v₀ = 1m/s  (答：0.5 + 37/8 = 5.13s)

② v₀ = 4m/s  (答：1.0 + 3.5 = 4.5s)

③ v₀ = 1m/s  (答：1.55s)

2、質量均為m的兩只鉤碼A和B，用輕彈簧和輕繩連接，然后掛在天花板上，如圖2所示。試問：

① 如果在P處剪斷細繩，在剪斷瞬時，B的加速度是多少？

② 如果在Q處剪斷彈簧，在剪斷瞬時，B的加速度又是多少？

解說：第①問是常規(guī)處理。由于“彈簧不會立即發(fā)生形變”，故剪斷瞬間彈簧彈力維持原值，所以此時B鉤碼的加速度為零（A的加速度則為2g）。

第②問需要我們反省這樣一個問題：“彈簧不會立即發(fā)生形變”的原因是什么？是A、B兩物的慣性，且速度v和位移s不能突變。但在Q點剪斷彈簧時，彈簧卻是沒有慣性的（沒有質量），遵從理想模型的條件，彈簧應在一瞬間恢復原長！即彈簧彈力突變?yōu)榱恪?/p>

答案：0 ；g 。

二、牛頓第二定律的應用

應用要點：受力較少時，直接應用牛頓第二定律的“矢量性”解題。受力比較多時，結合正交分解與“獨立作用性”解題。

在難度方面，“瞬時性”問題相對較大。

1、滑塊在固定、光滑、傾角為θ的斜面上下滑，試求其加速度。

解說：受力分析 → 根據(jù)“矢量性”定合力方向 → 牛頓第二定律應用

答案：gsinθ。

思考：如果斜面解除固定，上表仍光滑，傾角仍為θ，要求滑塊與斜面相對靜止，斜面應具備一個多大的水平加速度？（解題思路完全相同，研究對象仍為滑塊。但在第二環(huán)節(jié)上應注意區(qū)別。答：gtgθ。）

進階練習1：在一向右運動的車廂中，用細繩懸掛的小球呈現(xiàn)如圖3所示的穩(wěn)定狀態(tài)，試求車廂的加速度。（和“思考”題同理，答：gtgθ。）

進階練習2、如圖4所示，小車在傾角為α的斜面上勻加速運動，車廂頂用細繩懸掛一小球，發(fā)現(xiàn)懸繩與豎直方向形成一個穩(wěn)定的夾角β。試求小車的加速度。

解：繼續(xù)貫徹“矢量性”的應用，但數(shù)學處理復雜了一些（正弦定理解三角形）。

分析小球受力后，根據(jù)“矢量性”我們可以做如圖5所示的平行四邊形，并找到相應的夾角。設張力T與斜面方向的夾角為θ，則

θ=（90°+ α）- β= 90°-（β-α）                 （1）

對灰色三角形用正弦定理，有

 =                                        （2）

解（1）（2）兩式得：ΣF = 

最后運用牛頓第二定律即可求小球加速度（即小車加速度）

答： 。

2、如圖6所示，光滑斜面傾角為θ，在水平地面上加速運動。斜面上用一條與斜面平行的細繩系一質量為m的小球，當斜面加速度為a時（a＜ctgθ），小球能夠保持相對斜面靜止。試求此時繩子的張力T 。

解說：當力的個數(shù)較多，不能直接用平行四邊形尋求合力時，宜用正交分解處理受力，在對應牛頓第二定律的“獨立作用性”列方程。

正交坐標的選擇，視解題方便程度而定。

解法一：先介紹一般的思路。沿加速度a方向建x軸，與a垂直的方向上建y軸，如圖7所示（N為斜面支持力）。于是可得兩方程

ΣF_x = ma ，即T_x － N_x = ma

ΣF_y = 0 ， 即T_y + N_y = mg

代入方位角θ，以上兩式成為

T cosθ－N sinθ = ma                       （1）

T sinθ + Ncosθ = mg                       （2）

這是一個關于T和N的方程組，解（1）（2）兩式得：T = mgsinθ + ma cosθ

解法二：下面嘗試一下能否獨立地解張力T 。將正交分解的坐標選擇為：x——斜面方向，y——和斜面垂直的方向。這時，在分解受力時，只分解重力G就行了，但值得注意，加速度a不在任何一個坐標軸上，是需要分解的。矢量分解后，如圖8所示。

根據(jù)獨立作用性原理，ΣF_x = ma_x

即：T － G_x = ma_x

即：T － mg sinθ = m acosθ

顯然，獨立解T值是成功的。結果與解法一相同。

答案：mgsinθ + ma cosθ

思考：當a＞ctgθ時，張力T的結果會變化嗎？（從支持力的結果N = mgcosθ－ma sinθ看小球脫離斜面的條件，求脫離斜面后，θ條件已沒有意義。答：T = m 。）

學生活動：用正交分解法解本節(jié)第2題“進階練習2”

進階練習：如圖9所示，自動扶梯與地面的夾角為30°，但扶梯的臺階是水平的。當扶梯以a = 4m/s²的加速度向上運動時，站在扶梯上質量為60kg的人相對扶梯靜止。重力加速度g = 10 m/s²，試求扶梯對人的靜摩擦力f 。

解：這是一個展示獨立作用性原理的經(jīng)典例題，建議學生選擇兩種坐標（一種是沿a方向和垂直a方向，另一種是水平和豎直方向），對比解題過程，進而充分領會用牛頓第二定律解題的靈活性。

答：208N 。

3、如圖10所示，甲圖系著小球的是兩根輕繩，乙圖系著小球的是一根輕彈簧和輕繩，方位角θ已知�，F(xiàn)將它們的水平繩剪斷，試求：在剪斷瞬間，兩種情形下小球的瞬時加速度。

解說：第一步，闡明繩子彈力和彈簧彈力的區(qū)別。

（學生活動）思考：用豎直的繩和彈簧懸吊小球，并用豎直向下的力拉住小球靜止，然后同時釋放，會有什么現(xiàn)象？原因是什么？

結論——繩子的彈力可以突變而彈簧的彈力不能突變（胡克定律）。

第二步，在本例中，突破“繩子的拉力如何瞬時調節(jié)”這一難點（從即將開始的運動來反推）。

知識點，牛頓第二定律的瞬時性。

答案：a_甲 = gsinθ ；a_乙 = gtgθ 。

應用：如圖11所示，吊籃P掛在天花板上，與吊籃質量相等的物體Q被固定在吊籃中的輕彈簧托住，當懸掛吊籃的細繩被燒斷瞬間，P、Q的加速度分別是多少？

解：略。

答：2g ；0 。

三、牛頓第二、第三定律的應用

要點：在動力學問題中，如果遇到幾個研究對象時，就會面臨如何處理對象之間的力和對象與外界之間的力問題，這時有必要引進“系統(tǒng)”、“內力”和“外力”等概念，并適時地運用牛頓第三定律。

在方法的選擇方面，則有“隔離法”和“整體法”。前者是根本，后者有局限，也有難度，但常常使解題過程簡化，使過程的物理意義更加明晰。

對N個對象，有N個隔離方程和一個（可能的）整體方程，這（N + 1）個方程中必有一個是通解方程，如何取舍，視解題方便程度而定。

補充：當多個對象不具有共同的加速度時，一般來講，整體法不可用，但也有一種特殊的“整體方程”，可以不受這個局限（可以介紹推導過程）——

Σ= m₁ + m₂ + m₃ + … + m_n

其中Σ只能是系統(tǒng)外力的矢量和，等式右邊也是矢量相加。

1、如圖12所示，光滑水平面上放著一個長為L的均質直棒，現(xiàn)給棒一個沿棒方向的、大小為F的水平恒力作用，則棒中各部位的張力T隨圖中x的關系怎樣？

解說：截取隔離對象，列整體方程和隔離方程（隔離右段較好）。

答案：N = x 。

思考：如果水平面粗糙，結論又如何？

解：分兩種情況，（1）能拉動；（2）不能拉動。

第（1）情況的計算和原題基本相同，只是多了一個摩擦力的處理，結論的化簡也麻煩一些。

第（2）情況可設棒的總質量為M ，和水平面的摩擦因素為μ，而F = μMg ，其中l(wèi)＜L ，則x＜(L-l)的右段沒有張力，x＞(L-l)的左端才有張力。

答：若棒仍能被拉動，結論不變。

若棒不能被拉動，且F = μMg時（μ為棒與平面的摩擦因素，l為小于L的某一值，M為棒的總質量），當x＜(L-l)，N≡0 ；當x＞(L-l)，N = 〔x -〈L-l〉〕。

應用：如圖13所示，在傾角為θ的固定斜面上，疊放著兩個長方體滑塊，它們的質量分別為m₁和m₂ ，它們之間的摩擦因素、和斜面的摩擦因素分別為μ₁和μ₂ ，系統(tǒng)釋放后能夠一起加速下滑，則它們之間的摩擦力大小為：

A、μ₁ m₁gcosθ ；    B、μ₂ m₁gcosθ ；

C、μ₁ m₂gcosθ ；    D、μ₁ m₂gcosθ ；

解：略。

答：B 。（方向沿斜面向上。）

思考：（1）如果兩滑塊不是下滑，而是以初速度v₀一起上沖，以上結論會變嗎？（2）如果斜面光滑，兩滑塊之間有沒有摩擦力？（3）如果將下面的滑塊換成如圖14所示的盒子，上面的滑塊換成小球，它們以初速度v₀一起上沖，球應對盒子的哪一側內壁有壓力？

解：略。

答：（1）不會；（2）沒有；（3）若斜面光滑，對兩內壁均無壓力，若斜面粗糙，對斜面上方的內壁有壓力。

2、如圖15所示，三個物體質量分別為m₁ 、m₂和m₃ ，帶滑輪的物體放在光滑水平面上，滑輪和所有接觸面的摩擦均不計，繩子的質量也不計，為使三個物體無相對滑動，水平推力F應為多少？

解說：

此題對象雖然有三個，但難度不大。隔離m₂ ，豎直方向有一個平衡方程；隔離m₁ ，水平方向有一個動力學方程；整體有一個動力學方程。就足以解題了。

答案：F =  。

思考：若將質量為m₃物體右邊挖成凹形，讓m₂可以自由擺動（而不與m₃相碰），如圖16所示，其它條件不變。是否可以選擇一個恰當?shù)腇′，使三者無相對運動？如果沒有，說明理由；如果有，求出這個F′的值。

解：此時，m₂的隔離方程將較為復雜。設繩子張力為T ，m₂的受力情況如圖，隔離方程為：

 = m₂a

隔離m₁ ，仍有：T = m₁a

解以上兩式，可得：a = g

最后用整體法解F即可。

答：當m₁ ≤ m₂時，沒有適應題意的F′；當m₁ ＞ m₂時，適應題意的F′=  。

3、一根質量為M的木棒，上端用細繩系在天花板上，棒上有一質量為m的貓，如圖17所示�，F(xiàn)將系木棒的繩子剪斷，同時貓相對棒往上爬，但要求貓對地的高度不變，則棒的加速度將是多少？

解說：法一，隔離法。需要設出貓爪抓棒的力f ，然后列貓的平衡方程和棒的動力學方程，解方程組即可。

法二，“新整體法”。

據(jù)Σ= m₁ + m₂ + m₃ + … + m_n ，貓和棒的系統(tǒng)外力只有兩者的重力，豎直向下，而貓的加速度a₁ = 0 ，所以：

（ M + m ）g = m·0 + M a₁ 

解棒的加速度a₁十分容易。

答案：g 。

四、特殊的連接體

當系統(tǒng)中各個體的加速度不相等時，經(jīng)典的整體法不可用。如果各個體的加速度不在一條直線上，“新整體法”也將有一定的困難（矢量求和不易）。此時，我們回到隔離法，且要更加注意找各參量之間的聯(lián)系。

解題思想：抓某個方向上加速度關系。方法：“微元法”先看位移關系，再推加速度關系。、

1、如圖18所示，一質量為M 、傾角為θ的光滑斜面，放置在光滑的水平面上，另一個質量為m的滑塊從斜面頂端釋放，試求斜面的加速度。

解說：本題涉及兩個物體，它們的加速度關系復雜，但在垂直斜面方向上，大小是相等的。對兩者列隔離方程時，務必在這個方向上進行突破。

（學生活動）定型判斷斜面的運動情況、滑塊的運動情況。

位移矢量示意圖如圖19所示。根據(jù)運動學規(guī)律，加速度矢量a₁和a₂也具有這樣的關系。

（學生活動）這兩個加速度矢量有什么關系？

沿斜面方向、垂直斜面方向建x 、y坐標，可得：

a_1y = a_2y             ①

且：a_1y = a₂sinθ     ②

隔離滑塊和斜面，受力圖如圖20所示。

對滑塊，列y方向隔離方程，有：

mgcosθ- N = ma_1y     ③

對斜面，仍沿合加速度a₂方向列方程，有：

Nsinθ= Ma₂          ④

解①②③④式即可得a₂ 。

答案：a₂ =  。

（學生活動）思考：如何求a₁的值？

解：a_1y已可以通過解上面的方程組求出；a_1x只要看滑塊的受力圖，列x方向的隔離方程即可，顯然有mgsinθ= ma_1x ，得:a_1x = gsinθ 。最后據(jù)a₁ = 求a₁ 。

答：a₁ =  。

2、如圖21所示，與水平面成θ角的AB棒上有一滑套C ，可以無摩擦地在棒上滑動，開始時與棒的A端相距b ，相對棒靜止。當棒保持傾角θ不變地沿水平面勻加速運動，加速度為a（且a＞gtgθ）時，求滑套C從棒的A端滑出所經(jīng)歷的時間。

解說：這是一個比較特殊的“連接體問題”，尋求運動學參量的關系似乎比動力學分析更加重要。動力學方面，只需要隔離滑套C就行了。

（學生活動）思考：為什么題意要求a＞gtgθ？（聯(lián)系本講第二節(jié)第1題之“思考題”）

定性繪出符合題意的運動過程圖，如圖22所示：S表示棒的位移，S₁表示滑套的位移。沿棒與垂直棒建直角坐標后，S_1x表示S₁在x方向上的分量。不難看出：

S_1x + b = S cosθ                   ①

設全程時間為t ，則有：

S = at²                          ②

S_1x = a_1xt²                        ③

而隔離滑套，受力圖如圖23所示，顯然：

mgsinθ= ma_1x                       ④

解①②③④式即可。

答案：t = 

另解：如果引進動力學在非慣性系中的修正式 Σ+ ^* = m （注：^*為慣性力），此題極簡單。過程如下——

以棒為參照，隔離滑套，分析受力，如圖24所示。

注意，滑套相對棒的加速度a_相是沿棒向上的，故動力學方程為：

F^*cosθ- mgsinθ= ma_相            （1）

其中F^* = ma                      （2）

而且，以棒為參照，滑套的相對位移S_相就是b ，即：

b = S_相 = a_相 t²                 （3）

解（1）（2）（3）式就可以了。

第二講 配套例題選講

教材范本：龔霞玲主編《奧林匹克物理思維訓練教材》，知識出版社，2002年8月第一版。

例題選講針對“教材”第三章的部分例題和習題。