Question

【題目】把1到1997這1997個數(shù)，按順時針方向依次排列在一個圓圈上（如圖）．從1開始按順時針方向，保留1，擦去2；保留3，擦去4；…（每隔一個數(shù)，擦去一個數(shù)）轉圈擦下去，最后剩的是哪個數(shù)？

Answer 1

【答案】最后剩下的數(shù)應是1947

【解析】

試題分析：如果依照題意在上圖中進行操作，直到剩下一個數(shù)為止，實在是很困難的．我們還應從最簡單的情況入手分析，歸納出解決問題的規(guī)律，再用此規(guī)律解題．

解：如果是2個數(shù)1，2，最后剩下1；如果是3個數(shù)1，2，3，最后剩下3；如果是4個數(shù)1，2，3，4，最后剩下1；如果是5個數(shù)1，2，3，4，5，最后剩下3；如果是6個數(shù)1，2，3，4，5，6，最后剩下5；如果是1﹣7，7個數(shù)，最后剩下7；如果是1﹣8，8個數(shù)，最后剩下1．

我們發(fā)現(xiàn)當數(shù)的個數(shù)是2，4，8時，最后剩下的都是1．實際上，當數(shù)的個數(shù)為2n時（n≥2），當擦完一圈后還剩2n﹣1個數(shù)，把問題化成2n﹣1個數(shù)的情況．不斷作下去，最后化為2個數(shù)的情況，顯然最后剩下的數(shù)為1（1為起始數(shù)）．

由于210=1024，211=2048，210＜1997＜211，1997﹣1024=973．

這就是說，要剩210個數(shù)，需要先擦去973個數(shù)．按題意，每兩個數(shù)擦去一個數(shù)，當擦第973個數(shù)時，最后擦去的數(shù)是：973×2=1946．

下一個起始數(shù)是1947，所以，最后剩下的數(shù)應是1947．