Question

18．如圖，若干個(gè)1立方厘米的小正方體按一定的規(guī)則拼成大立體圖形，觀察并思考：
（1）如圖，當(dāng)拼到第四層時(shí)，這個(gè)立體圖形的體積是16立方厘米，表面積是47平方厘米；
（2）當(dāng)拼到第七層，一共用了49個(gè)小正方體；
（3）如果最后一層的小正方體有19個(gè)，那么這個(gè)大立體圖形一共有10層；
（4）當(dāng)拼到n層時(shí)，這個(gè)立體圖形的表面積是2n²+4n+7平方厘米．．

Answer 1

分析 （1）因?yàn)樾≌�方體的體積是1立方厘米，所以四層立體圖形有幾個(gè)正方體就是幾立方厘米；當(dāng)拼到第四層時(shí)露出5個(gè)面的正方體有1個(gè)，露出4個(gè)面的有6個(gè)，露出2個(gè)面的有9個(gè)，每個(gè)面的面積是1平方厘米；
（2）觀察得知從第一層開始正方體的個(gè)數(shù)分別是1，3，5，7，9…，利用高斯求和公式計(jì)算；
（3）因?yàn)橄噜彽膶訑?shù)相差2個(gè)正方體，如果最后一層的小正方體有19個(gè)，那么這個(gè)大立體圖形一共有（19+1）÷2層
（4）由第一問可以推出排在中間的都露出2個(gè)面，每層邊上的正方體都露出4個(gè)面，最上層的1個(gè)正方體是露出5個(gè)面，據(jù)此解答．

解答 解：（1）1+3+5+7=16（立方厘米）
1×（4×6+9×2+5）
=1×（24+18+5）
=47（平方厘米）
答：當(dāng)拼到第四層時(shí)，這個(gè)立體圖形的體積是16立方厘米，表面積是47平方厘米；
（2）1+3+5+7+9+11+13
=（1+13）×7÷2
=49（個(gè)）
答：當(dāng)拼到第七層，一共用了49個(gè)小正方體；
（3）（19+1）÷2
=20÷2
=10（層）
答：如果最后一層的小正方體有19個(gè)，那么這個(gè)大立體圖形一共有10層；
（4）第n層是：
2（n-1）+1=2n-1（個(gè)）
總個(gè)數(shù)：
（1+2n-1）×n÷2
=n×n
=n²（個(gè)）
5+2（n-1）×4+（n²-1-2n+2）×2
=5+8n-8+2n²-4n+2
=2n²+4n+7（平方厘米）
答：當(dāng)拼到n層時(shí)，這個(gè)立體圖形的表面積是2n²+4n+7平方厘米．
故答案為：16，47；49；10；2n²+4n+7平方厘米．

點(diǎn)評 解答本題的關(guān)鍵是：找出第1到n-1層兩邊的正方形都只露出4個(gè)面，第n層露出5個(gè)面，其它的正方體都露出2個(gè)面．