Question

18．如圖，若干個1立方厘米的小正方體按一定的規(guī)則拼成大立體圖形，觀察并思考：
（1）如圖，當拼到第四層時，這個立體圖形的體積是16立方厘米，表面積是47平方厘米；
（2）當拼到第七層，一共用了49個小正方體；
（3）如果最后一層的小正方體有19個，那么這個大立體圖形一共有10層；
（4）當拼到n層時，這個立體圖形的表面積是2n²+4n+7平方厘米．．

Answer 1

分析 （1）因為小正方體的體積是1立方厘米，所以四層立體圖形有幾個正方體就是幾立方厘米；當拼到第四層時露出5個面的正方體有1個，露出4個面的有6個，露出2個面的有9個，每個面的面積是1平方厘米；
（2）觀察得知從第一層開始正方體的個數(shù)分別是1，3，5，7，9…，利用高斯求和公式計算；
（3）因為相鄰的層數(shù)相差2個正方體，如果最后一層的小正方體有19個，那么這個大立體圖形一共有（19+1）÷2層
（4）由第一問可以推出排在中間的都露出2個面，每層邊上的正方體都露出4個面，最上層的1個正方體是露出5個面，據(jù)此解答．

解答 解：（1）1+3+5+7=16（立方厘米）
1×（4×6+9×2+5）
=1×（24+18+5）
=47（平方厘米）
答：當拼到第四層時，這個立體圖形的體積是16立方厘米，表面積是47平方厘米；
（2）1+3+5+7+9+11+13
=（1+13）×7÷2
=49（個）
答：當拼到第七層，一共用了49個小正方體；
（3）（19+1）÷2
=20÷2
=10（層）
答：如果最后一層的小正方體有19個，那么這個大立體圖形一共有10層；
（4）第n層是：
2（n-1）+1=2n-1（個）
總個數(shù)：
（1+2n-1）×n÷2
=n×n
=n²（個）
5+2（n-1）×4+（n²-1-2n+2）×2
=5+8n-8+2n²-4n+2
=2n²+4n+7（平方厘米）
答：當拼到n層時，這個立體圖形的表面積是2n²+4n+7平方厘米．
故答案為：16，47；49；10；2n²+4n+7平方厘米．

點評 解答本題的關鍵是：找出第1到n-1層兩邊的正方形都只露出4個面，第n層露出5個面，其它的正方體都露出2個面．