Question

如圖①，一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起，現(xiàn)正方形ABCD保持不動(dòng)，將三角尺GEF繞斜邊EF的中點(diǎn)O（點(diǎn)O也是BD的中點(diǎn)）按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)：
（1）如圖②，當(dāng)EF與AB相交于M點(diǎn)，GF與BD相交于點(diǎn)N時(shí)，通過觀察或測(cè)量BM、FN的長(zhǎng)度，猜想BM、FN滿足的關(guān)系式，并證明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋轉(zhuǎn)到如圖③所示的位置時(shí)，線段FE的延長(zhǎng)線與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)M，線段BD的延長(zhǎng)線與線段GF的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)N，此時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？若成立請(qǐng)證明；若不成立請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)可證明△OBM≌△OFN，所以根據(jù)全等的性質(zhì)可知BM=FN；
（2）同（1）中的證明方法一樣，根據(jù)正方形和等腰直角三角形的性質(zhì)得OB=OF，∠MBO=∠NFO=135°，∠MOB=∠NOF，可證△OBM≌△OFN，所以BM=FN．

解答：解：（1）BM=FN．
證明：因?yàn)椤鱃EF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，
所以∠ABD=∠F=45°，OB=OF，
在△OBM與△OFN中，

∠ABD=∠F=45° OB= OF ∠BOM= ∠FON

所以△OBM≌△OFN（ASA），
所以BM=FN；

（2）BM=FN仍然成立．
證明：因?yàn)椤鱃EF是等腰直角三角形，四邊形ABCD是正方形，
所以∠DBA=∠GFE=45°，OB=OF，
因?yàn)椤螹BO=∠NFO=135°，
在△OBM與△OFN中，

∠ABD=∠F=45° OB= OF ∠BOM= ∠FON

所以△OBM≌△OFN（ASA），
所以BM=FN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)知識(shí)在幾何綜合題中運(yùn)用，旋轉(zhuǎn)前后許多線段相等，本題以實(shí)驗(yàn)為背景，探索在不同位置關(guān)系下線段的關(guān)系，為中考常見的題型．