Question

如圖，在五角星圖案中共有10個(gè)節(jié)點(diǎn)（用黑色實(shí)心圓點(diǎn)表示），以這些節(jié)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有10個(gè)．現(xiàn)在將自然數(shù)1至10分別填在10個(gè)節(jié)點(diǎn)上，將每個(gè)三角形中三個(gè)頂點(diǎn)處所標(biāo)數(shù)的和稱為此三角形的“特征值”．請(qǐng)問：
（1）是否存在一種填數(shù)方法，使得每個(gè)三角形的特征值均為偶數(shù)；
（2）是否存在一種填數(shù)方法，使得每個(gè)三角形的特征值都能被3整除．能則舉出例子，不能請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)字問題

專題：傳統(tǒng)應(yīng)用題專題

分析：奇偶性的構(gòu)造論證．
（1）10個(gè)三角形共有30個(gè)頂點(diǎn)，觀察后發(fā)現(xiàn)10個(gè)節(jié)點(diǎn)分別都用了3次．
和為（1+2+．．+10）*3=55*3=奇數(shù)．
所以不可能存在每個(gè)三角形特征值均為偶數(shù)．
（2）按對(duì)3的余數(shù)分類：余1的有4個(gè)，余0的有3個(gè)，余2的有3個(gè)．
之后可以分類討論，設(shè)外邊尖上一個(gè)點(diǎn)為余0或1，之后需要利用字母帶做．最后是不可能存在．

解答： 解：（1）不存在，1+2+…+10=55，而10個(gè)三角形的頂點(diǎn)中，每個(gè)點(diǎn)被算了3次，所以55×3=165=10個(gè)特征值的和，若均為偶數(shù)，則矛盾；
（2）

不存在，10個(gè)數(shù)中，4個(gè)除以3余1，3個(gè)模3余2，3個(gè)余0，現(xiàn)考慮下面的圖形，因?yàn)閍+b+e≡a+d+c≡0（mod3），
所以b+e≡d+c（mod3），因?yàn)閎+c+f≡d+e+f≡0（mod3），
所以b+c≡d+e（mod3），
相減得：2（c-e）≡0（mod3），所以c≡e（mod3），
同理，外圈5個(gè)數(shù)模3同余，內(nèi)圈5個(gè)數(shù)模3同余，
但同余的最多4個(gè)，矛盾．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于復(fù)雜題型，細(xì)致的去分析，仔細(xì)的細(xì)分，利用各種已學(xué)的可借用的方法去分析．會(huì)很快找到規(guī)律，一些穩(wěn)定不變的聯(lián)系，這樣題目就解決了．