Question

如圖，邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD中，BE=2EC，CF=FD，求三角形AEG的面積．

Answer 1

分析：（1）此題可以根據(jù)蝴蝶模型的原理解答，蝴蝶模型的原理如圖，在任意四邊形中，存在以下關(guān)系：①S₁：S₂=S₄：S₃或S₁×S₃=S₂×S₄ ②AO：OC=（S₁+S₂）：（S₄+S₃），也可以這樣速記上×下=左×右，．
（2）此題也可通過(guò)作輔助線延長(zhǎng)AF，交BC的延長(zhǎng)線于M，構(gòu)建三角形EMG，通過(guò)求同高三角形AEG與三角形EMC的底邊的比，根據(jù)同高三角形底的比與面積比相等求出面積．

解答：解：（1）連接EF，因?yàn)锽E=2EC，CF=FD，所以S_△DEF=（

1

2

×

1

3

×

1

2

）S_□ABCD=

1

12

S_□ABCD，
因?yàn)镾_△AED=S_□ABCD，由蝴蝶定理，AG：GF=

1

2

：

1

12

=6：1．
所以S_△AGD=6S_△GDF=

6

7

S_△ADF=

6

7

×

1

4

S_□ABCD=

3

14

S_□ABCD．
所以S_△AGE=S_△AED-S_△AGD=

1

2

S_□ABCD-

3

14

S_□ABCD=

2

7

S_□ABCD=

2

7

．
（2）延長(zhǎng)AF，交BC的延長(zhǎng)線于M．

因?yàn)镈F=CF；∠ADF=∠MCF=90°；∠AFD=∠MFC．
所以△ADF≌△MCF（ASA），AD=MC=BC．
又BE=2EC，則EC：BE=1：2，EC：BC=1：3=EC：AD=EC：CM=EC：AD．
故EM：AD=4：3=EG：GD，得EG：ED=4：7．
所以S_△AEG：S_△AED=EG：ED=4：7．（同高三角形的面積比等于底之比）
所以，=

4

7

S_△AED=

4

7

×

1

2

S_{正方形ABCD}=

4

7

×

1

2

×1²=

2

7

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查相似三角形的面積，解題關(guān)鍵是通過(guò)輔助線構(gòu)建同高三角形，然后根據(jù)蝴蝶原理解答，也可以根據(jù)同高三角形的面積比等于底邊的比這一知識(shí)解決問(wèn)題．