Question

【題目】（4分）把質(zhì)數(shù)373按數(shù)位拆開（不改變各數(shù)之間的順序），只能得到3、7、37、73這四個(gè)數(shù)，它們?nèi)匀欢际琴|(zhì)數(shù)，請(qǐng)找出所有具有這種性質(zhì)的質(zhì)數(shù)．

Answer 1

【答案】23、37、53、73、373這五個(gè)數(shù)．

【解析】

試題分析：從表面上看，這樣的素?cái)?shù)要從眾多大小不一的素?cái)?shù)里找出來(lái)，是件十分困難的事，其實(shí)只要使用“排除法”即可簡(jiǎn)便地求出．

首先，我們?nèi)サ舨豢赡懿捎玫臄?shù)字．

1．在各個(gè)數(shù)位上都不能采用數(shù)字1、4、6、8、9，否則，拆成一位數(shù)時(shí)，

可能出現(xiàn)上述四個(gè)數(shù)，都不是素?cái)?shù)．

2．除首位外，各數(shù)位上不能有數(shù)字2和5．否則，將可能與它前一位或前幾位數(shù)組成大于2的偶數(shù)或能被5整除的數(shù)．由此看來(lái)，可采用的數(shù)字只有2、5、3、7．其中2和5只能出現(xiàn)在首位上，且每個(gè)數(shù)字不可能連續(xù)出現(xiàn)在相鄰數(shù)位上（如233肯定不行）．這樣一來(lái)，需要檢查的數(shù)的范圍就小多了．據(jù)此分兩種情況來(lái)進(jìn)行析討論可．

解：從表面上看，這樣的素?cái)?shù)要從眾多大小不一的素?cái)?shù)里找出來(lái)，是件十分困難的事，其實(shí)只要使用“排除法”即可簡(jiǎn)便地求出．

首先，我們?nèi)サ舨豢赡懿捎玫臄?shù)字．

1．在各個(gè)數(shù)位上都不能采用數(shù)字1、4、6、8、9，否則，拆成一位數(shù)時(shí)，

可能出現(xiàn)上述四個(gè)數(shù)，都不是素?cái)?shù)．

2．除首位外，各數(shù)位上不能有數(shù)字2和5．否則，將可能與它前一位或前幾位數(shù)組成大于2的偶數(shù)或能被5整除的數(shù)．由此看來(lái)，可采用的數(shù)字只有2、5、3、7．其中2和5只能出現(xiàn)在首位上，且每個(gè)數(shù)字不可能連續(xù)出現(xiàn)在相鄰數(shù)位上（如233肯定不行）．這樣一來(lái)，需要檢查的數(shù)的范圍就小多了．據(jù)此分兩種情況來(lái)進(jìn)行析討論可．

1．不超過(guò)三位數(shù)時(shí)所有可能滿足條件的數(shù)共有12個(gè)，它們是23、27、237、273，37、373，53、57、537、573，73、737．．在這12個(gè)數(shù)中經(jīng)驗(yàn)證，除了是3或11的倍數(shù)外，只有23、37、53、73、373

這五個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)且滿足題目要求．

2．當(dāng)組成的數(shù)大于三位數(shù)時(shí)，以四位數(shù)為例（大于四位數(shù)時(shí)同理）．若首位上是2或5，則有2373、5373、2737、5737這四種數(shù)．而2737和5737由于737不是素?cái)?shù)被排除，2373和5373各數(shù)位上數(shù)字之和為3的倍數(shù)，即能被3整除，排除．若首位上不出現(xiàn)2或5，則可供選用的數(shù)字只有3和7，所組成的數(shù)也只有3773、7337（某數(shù)字在相鄰數(shù)位上出現(xiàn)）和3737、7373（兩數(shù)字間隔出現(xiàn)）這兩類數(shù)．而這兩類數(shù)顯然不符合可拆素?cái)?shù)的要求，應(yīng)排除在外．

所以，四位和四位以上的可拆素?cái)?shù)是沒(méi)有的．因此，可拆素?cái)?shù)一共只有23、37、53、73、373這五個(gè)數(shù)．