Question

（1）請說明：在任意的68個自然數(shù)中，必有兩個數(shù)的差是67的倍數(shù)；
（2）請說明：在1，11，111，1111，…，這一列數(shù)中必有一個是67的倍數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)的整除特征

專題：整除性問題

分析：（1）根據(jù)被67除的余數(shù)為0、1、2、3、4、…66設(shè)立67個抽屜，進(jìn)一步有抽屜原理解決問題；
（2）根據(jù)被67除的余數(shù)是1，2，3，…，66，共66種可能．根據(jù)抽屜原理，任找67個數(shù)，必有兩個數(shù)除以67的余數(shù)相同．進(jìn)一步探討得出答案即可．

解答： 解：（1）被67除的余數(shù)為0、1、2、3、4、…66設(shè)立67個抽屜，對于任意的68個自然數(shù)，至少有兩個數(shù)在同一個抽屜里，也就是余數(shù)相同，這兩個數(shù)的和一定是67的倍數(shù)；

（2）假設(shè)都不能被67整除，那么可能的余數(shù)是1，2，3，…，66，共66種可能．根據(jù)抽屜原理，任找67個數(shù)，必有兩個數(shù)除以67的余數(shù)相同．設(shè)這兩個數(shù)分別是1…1（m個1）和1…1（n個1），n＜m，則這兩個數(shù)之差是1…10…0（m-n個1，n個0），這個差能被67整除．這個差可寫成1…1×10ⁿ的形式（m-n個1），而10ⁿ與67互質(zhì)，所以1…1（m-n個1）能被67整除．

點(diǎn)評：此題考查抽屜原理的實(shí)際運(yùn)用，關(guān)鍵是建立抽屜，注意抽屜的數(shù)量和所求問題之間的聯(lián)系．