Question

許多美麗的圖案都是將圖形按一定的規(guī)律排列而成的．現(xiàn)用若干個(gè)相等的圓在長方形紙帶上設(shè)計(jì)圖案，每個(gè)圓都經(jīng)過前一個(gè)圓的圓心（如圖所示），若每個(gè)圓的周長為8πcm，請你回答下列問題：

（1）若整個(gè)圖案需要5個(gè)這樣的圓，則至少需要

24

cm長的紙帶；若整個(gè)圖案需要x個(gè)這樣的圓，則所需的紙帶長至少為

r+rx

cm（用含有x的式子表示）．
（2）要在一個(gè)長為105cm的紙帶上設(shè)計(jì)這樣的圖案，請通過計(jì)算說明最多可用多少個(gè)圓？
（3）在（2）的條件下，若把前兩個(gè)圓的重合部分面積記為S₁，且S₁是其中一個(gè)圓面積的

5

16

，求所設(shè)計(jì)的圖案中相鄰兩圓重合部分面積總和比整個(gè)圖案面積少幾分之幾．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)圓的周長公式C=2πr，得出r=C÷π÷2，求出圓的半徑，從圖中看出所需要的長方形的紙的長是隨著增加的圓的個(gè)數(shù)變化的，每增加一個(gè)圓，紙帶的長就增加一個(gè)半徑，若整個(gè)圖案需要x個(gè)這樣的圓，則所需的紙帶長至少為2r+（x-1）×r=2r+rx-r=r+rx，據(jù)此解答；
（2）因?yàn)榧垘У拈L度與圓的個(gè)數(shù)的關(guān)系是r+rx，所以讓r+rx=105，求出x的最大整數(shù)解即可；
（3）圖案的面積是每增加一個(gè)圓面積就增加（1-

5

16

），用整個(gè)圖案面積減去設(shè)計(jì)的圖案中相鄰兩圓重合部分面積總和再除以整個(gè)圖案面積即可．

解答：解：（1）8π÷π÷2=4（厘米）
4×2+4×（5-1）
=8+16
=24（厘米）
若整個(gè)圖案需要x個(gè)這樣的圓，
所需的紙帶長至少為：2r+（x-1）×r=2r+rx-r=r+rx（厘米），

（2）最多可用x個(gè)圓，
rx+r=105
4x+4=105
  4x=101
   x=

101

4

，
所以最多可以用25個(gè)圓；
答：最多可用25個(gè)圓．

（3）[1+（1-

5

16

）×24-（25-1）×

5

16

]÷[1+（1-

5

16

）×24]，
=（1+9）÷

35

2

=

4

7

答：所設(shè)計(jì)的圖案中相鄰兩圓重合部分面積總和比整個(gè)圖案面積少

4

7

．
故答案為：24，r+rx，25．

點(diǎn)評：關(guān)鍵是根據(jù)題意找出每增加一個(gè)圓，紙帶的長度和圖案的面積發(fā)生變化的規(guī)律，再由規(guī)律解決問題．