Question

有甲、乙、丙、丁四個人，各對某個兩位整數(shù)的性質(zhì)用兩句話表述：
甲：“用2除余1”，“用3除余2”．
乙：“用4除余3”，“用5除余4”．
丙：“用6除余5”，“用7除余6”．
�。骸坝�8除余7”，“用9除余8”．
已知四人中每個人都只說對了一句話，而另一句話是錯的．請問這個兩位整數(shù)是幾？

Answer 1

分析：通過觀察可以發(fā)現(xiàn)四個人的第一句話中除數(shù)都是偶數(shù)，余數(shù)都是奇數(shù)；而第二句話中除數(shù)都是奇數(shù)余數(shù)都是偶數(shù)．解答此題時要分析除數(shù)與余數(shù)的特點，利用我們所學的整除知識，先假設(shè)再排除，通過否定與肯定的層層深入推出正確的結(jié)論．

解答：解：將甲的第一句話用甲-①，第二句話用甲-②表示．
（1）先假設(shè)甲-①是錯的．
如果甲-①是錯的，乙-①所說的整數(shù)用4除余3，如果用2除會怎樣呢？
用4除余3的整數(shù)，也可以說成是4的倍數(shù)加上余數(shù)3 的整數(shù)．4是2的倍數(shù)，那么能被4整除的數(shù)也一定能被2整除，余數(shù)是3，3被2除余1．
因此甲-①，乙-①所說的內(nèi)容相同，既他們說的都是錯的．用同樣的思考方法可以說明丙-①和丁-①也都是錯的．這時可以肯定甲-②、
乙-②、丙-②、丁-②、是正確的．
從各句話的除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系來看，所有話中的余數(shù)都是除數(shù)減1，因此滿足甲-②、乙-②、丙-②、丁-②條件的整數(shù)應該是3、5、7、9的公倍數(shù)減1的整數(shù)，而這樣的整數(shù)最小的是314，不符合題目要求．
（2）假設(shè)甲-②是錯誤的，根據(jù)（1）的思路可知，丙-①、丁-②也是錯誤的，
因為丁-②是錯的，則丁-①是正確的，
即甲-①，乙-①，丙-②，丁-①都是正確的，
則符合條件的是2、4、7、8的公倍數(shù)減1的整數(shù)，
經(jīng)驗證，這個數(shù)是56-1=55．
所以這個兩位整數(shù)是55．

點評：在邏輯推理問題中，兩件相互矛盾對立的事情，如果其中一件是錯的，則另一件一定是對的．