Question

分母是3553的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)的和是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：約數(shù)個(gè)數(shù)與約數(shù)和定理,最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)

專題：整除性問題

分析：解答此題要先把3553分解質(zhì)因數(shù)，計(jì)算出分母是3553的不是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)（分子是質(zhì)因數(shù)的倍數(shù)的均不是最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)）的個(gè)數(shù)，即用質(zhì)因數(shù)分別除3553算出個(gè)數(shù)，減去重復(fù)的即為真分?jǐn)?shù)的個(gè)數(shù)，每對(duì)真分?jǐn)?shù)是成對(duì)出現(xiàn)的和為1，除以2即為和．

解答： 解：因?yàn)?553=19×17×11，在1～385這385個(gè)自然數(shù)中，
19的倍數(shù)有17×11=187個(gè)，
17的倍數(shù)有19×11=209個(gè)，
11的倍數(shù)有17×19=323個(gè)，
19×17=323的倍數(shù)有11個(gè)，
19×11=209的倍數(shù)有17個(gè)，
17×11=77的倍數(shù)有19個(gè)，
3553的倍數(shù)有1個(gè)．
由容斥原理知，在1～3553中能被19、17或11整除的數(shù)有187+209+323-（11+17+19）+1=673個(gè)，而19、17、11互質(zhì)的數(shù)有3553-673=2880個(gè)
即分母為3553的真分?jǐn)?shù)有2880個(gè)．
如果有一個(gè)真分?jǐn)?shù)為

a

3553

，則必還有另一個(gè)真分?jǐn)?shù)

3553-a

3553

，即以3553為分母的最簡(jiǎn)真分?jǐn)?shù)是成對(duì)出現(xiàn)的，而每一對(duì)之和恰為1．
故以3553為分母的2880最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)可以分成1440對(duì)，它們的和為1440．
故答案為：1440．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查數(shù)的倍數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)，最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)以及容斥原理運(yùn)用方面的知識(shí)．