Question

14．分母是2016的所有最簡真分?jǐn)?shù)的和是多少？

Answer 1

分析 先把2016分解質(zhì)因數(shù)，可得分子是2的倍數(shù)、3的倍數(shù)、7的倍數(shù)時，都不是最簡分?jǐn)?shù)，1～42中，不是2，3，7倍數(shù)的數(shù)有1，5，11，13，17，19，23，25，29，31，37，41總共12個，和為252，把這12個數(shù)分別加42，就得到了43～84中不是2，3，7倍數(shù)的數(shù)，和為252+12×42，以此類推，1～2016中不是2，3，7倍數(shù)的數(shù)的和是252+（252+12×42）+（252+12×42×2）+（252+12×42×3）+…+（252+12×42×42），求出和再除以2016即可．

解答 解：2016=2×2×2×2×2×3×3×7
所以分子是2的倍數(shù)、3的倍數(shù)、7的倍數(shù)時，都不是最簡分?jǐn)?shù)，
1～42中，不是2，3，7倍數(shù)的數(shù)有1，5，11，13，17，19，23，25，29，31，37，41總共12個，和為252
把這12個數(shù)分別加42，就得到了43～84中不是2，3，7倍數(shù)的數(shù)，
和為252+12×42
=252+504
=756
以此類推，1～2016中不是2，3，7倍數(shù)的數(shù)的和是
252+（252+12×42）+（252+12×42×2）+（252+12×42×3）+…+（252+12×42×42）
=252+（252+504）+（252+1008）+（252+1512）+…+（252+21168）
=252+756+1260+1764+…+21420
=580608
分母是2016的所有最簡真分?jǐn)?shù)的和是$\frac{580608}{2016}=288$．

點評 本題考查了最簡分?jǐn)?shù)，關(guān)鍵是得出1～2016中不是2，3，7倍數(shù)的數(shù)的和是252+（252+12×42）+（252+12×42×2）+（252+12×42×3）+…+（252+12×42×42）．