Question

在如圖中，有六個不同的正方形，把1-9九個自然數(shù)填入九個○內(nèi)，使每個正方形的四個頂點上的和相等．

Answer 1

分析：為了敘述方便，我們將各個圓圈內(nèi)填入字母，如下圖所示．如果設(shè)每個正方形角上四個數(shù)字之和為S，那么圖中六個正方形可得到：

　　a₁+a₂+b₁+b₂=S，a₂+b₂+a₃+b₃=S，
　　b₁+b₂+c₁+b₂=S，a₂+b₃+b₂+b₁=S，
　　b₂+b₂+b₃+c₃=S，a₁+a₃+c₃+c₁=S．
　　將上面的六個等式相加可得到：
　　2（a₁+a₃+c₃+c₁）+3（a₂+b₃+b₂+b₁）+4b₂=6S．則4b₂=S
　　4（a₁+a₃+c₃+c₁）+4（a₂+b₃+b₂+b₁）+4b₂=9S．
　　于是有：
　　4（a₁+a₂+a₃+b₁+b₂+b₃+c₁+b₂+c₃）=4×45=9S．
　　9S=4×45
　　S=20．
　　這就說明每個正方形角上四個數(shù)字之和為20．
　　所以：b₂=5．
　　從而得到：a₁+a₂+b₁=a₂+a₃+b₃=15，
　　b₁+c₁+b₂=b₂+c₃+b₃=15．
　　由上面兩式可得：a₁+b₁=a₃+b₃，b₁+c₁=b₃+c₃．
　　如果a₂為奇數(shù)，則a₁+b₁和a₃+b₃均為偶數(shù)．
　�、偃鬭₁為奇數(shù)，a₃為偶數(shù)，則b₁為奇數(shù)，b₃為偶數(shù)．因為a₂+b₃+b₂+b₁=20，所以b₂為偶數(shù)，則c₁為偶數(shù)，c₃為奇數(shù)．但是a₁+a₂+5+b₁=20，而奇數(shù)1、3、5、7、9中含有5的任意四個奇數(shù)的和不等于20，有矛盾．
　　②若a₁為偶數(shù)，a₃為偶數(shù)，則b₁也為偶數(shù)，b₃也為偶數(shù)．因為a₂+b₃+b₂+b₁=20，所以b₂為奇數(shù)，則c₁為偶數(shù)，c₃為偶數(shù)，但1～9中只有4個偶數(shù)，有矛盾．
　�、廴鬭₁為奇數(shù)，a₃為奇數(shù)，則b₁、b₃也為奇數(shù)，這樣1～9中有六個奇數(shù)，有矛盾．
　�、苋鬭₁為偶數(shù)，a₃為奇數(shù)，情況與①相同．
　　綜合上述，a₂必為偶數(shù)．由對稱性易知：b₂、b₂、b₁也為偶數(shù)．因此a₁、a₃、c₃、c₁全為奇數(shù)．
　　這樣，就比較容易找到此解．

解答：解：根據(jù)題意可得：

點評：本題的關(guān)鍵是把中心點的數(shù)確定，然后再從奇偶去考慮解答即可．