Question

使2ⁿ-1能被7整除，問自然數(shù)n可取哪些值？

Answer 1

分析：把2ⁿ寫成為二進制數(shù)2ⁿ_（10）=1000…0_（2）（n個零），
所以 2ⁿ-1=100…00_（2）-1_（2）=111…1_（2），
而7_（10）=111_（2）．因此，只需要求出111…1_（2）÷111_（2）的整除數(shù)有多少即可．
然后分情況探討，推出結(jié)果．

解答：解：把2ⁿ寫成為二進制數(shù)2ⁿ_（10）=1000…0_（2）（n個零）
所以 2ⁿ-1=100…00_（2）-1_（2）=111…1_（2）
而7_（10）=111_（2）．因此，只需要求出111…1_（2）÷111_（2）的整除數(shù)有多少即可．
由上面可直接看出，能整除的情況有：
當(dāng)n=3時，111_（2）÷111_（2）=1_（2）；
當(dāng)n=6時，111111_（2）÷111_（2）=1001_（2）；
當(dāng)n=9時，111111111_（2）÷111_（2）=10011001_（2）；
…
當(dāng)n=3m時，111…1_（2）能被111_（2）整除，否則就會出現(xiàn)余數(shù)1_（2）或11_（2）．
因此，自然數(shù)n=3m（m為自然數(shù)）時，2ⁿ-1能被7整除．

點評：此題解答有一定難度，要掌握“二進制”的特點．