Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，BC=6，AD=3，∠DCB=30°．點(diǎn)E、F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動(dòng)．已知F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，以EF為一邊在CB的上方作等邊△EFG．設(shè)E點(diǎn)移動(dòng)距離為x（x＞0）
（1）△EFG的邊長是

x

（用含有x的代數(shù)式表示），當(dāng)x=2時(shí)，點(diǎn)G的位置在

D點(diǎn)

；
（2）若△EFG于梯形ABCD重疊部分面積是y求
①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)2＜x≤6時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的三邊相等，則△EFG的邊長是點(diǎn)E移動(dòng)的距離；根據(jù)等邊三角形的三線合一和F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，即可分析出BF=4，此時(shí)等邊三角形的邊長是2，則點(diǎn)G和點(diǎn)D重合；
（2）①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，重疊部分的面積即為等邊三角形的面積；
②當(dāng)2＜x≤6時(shí)，分兩種情況：當(dāng)2＜x＜3時(shí)和當(dāng)3≤x≤6時(shí)，進(jìn)行計(jì)算．

解答：解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)E、F同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線BC向右勻速移動(dòng)，且F點(diǎn)移動(dòng)速度是E點(diǎn)移動(dòng)速度的2倍，
所以BF=2BE=2x，
所以EF=BF-BE=2x-x=x，
所以△EFG的邊長是x；
過D作DH⊥BC于H，得矩形ABHD及直角△CDH，連接DE、DF．
在直角△CDH中，因?yàn)椤螩=30°，CH=BC-AD=3，
所以DH=CH?tan30°=3×

3

3

=

3

．
當(dāng)x=2時(shí)，BE=EF=2，
因?yàn)椤鱁FG是等邊三角形，且DH⊥BC交點(diǎn)H，
所以EH=HF=1
所以DE=DF=

DH2+EH2

=2
所以：△DEF是等邊三角形，
所以：點(diǎn)G的位置在D點(diǎn)．

（2）①當(dāng)0＜x≤2時(shí)，△EFG在梯形ABCD內(nèi)部，所以y=

3

4

x²；
②分兩種情況：
Ⅰ．當(dāng)2＜x＜3時(shí)，如圖1，點(diǎn)E、點(diǎn)F在線段BC上，
△EFG與梯形ABCD重疊部分為四邊形EFNM，
因?yàn)椤螰NC=∠FCN=30°，所以FN=FC=6-2x．所以GN=3x-6．
因?yàn)樵赗t△NMG中，∠G=60°，GN=3x-6，
所以GM=

1

2

（3x-6），
由勾股定理得：MN=

3

2

（3x-6），
所以S_△GMN=

1

2

×GM×MN=

1

2

×

1

2

（3x-6）×

3

2

（3x-6）=

3

8

（3x-6）²，
所以，此時(shí)y=

3

4

x²-

3

8

（3x-6）²=-

7 3

8

x²+

9 3

2

x-

9 3

2

；

Ⅱ．當(dāng)3≤x≤6時(shí)，如圖2，點(diǎn)E在線段BC上，點(diǎn)F在射線CH上，
△EFG與梯形ABCD重疊部分為△ECP，
因?yàn)镋C=6-x，
所以y=

3

8

（6-x）²=

3

8

x²-

3 3

2

x+

9 3

2

；
故答案為：x，D點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道動(dòng)態(tài)題，難度較大，注意不同的情況，能夠熟練求得二次函數(shù)的最值．