Question

三個(gè)兩位奇數(shù)，它們的最大公約數(shù)是l，但是兩兩均不互質(zhì)，且三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)共有18個(gè)約數(shù)．求所有滿足要求的情況．

Answer 1

考點(diǎn)：公約數(shù)與公倍數(shù)問題

專題：整除性問題

分析：首先判斷出滿足要求的數(shù)的最小公倍數(shù)都是3、5、7、11的有限次方組合，即n=3^x?5^y?7^z11^w，然后根據(jù)三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)共有18個(gè)約數(shù)，列舉法可以得到x=2、y=2、z=1、w=0或x=2、y=2、z=0、w=1，又因?yàn)槿齻�(gè)兩位數(shù)都是奇數(shù)，如n=3×3×5×7×5，首先把它化成三個(gè)兩兩互質(zhì)的形式：n=9×25×7，然后再把9、25、7分別乘以3、5、7中不是本身約數(shù)的數(shù)，如：9乘以5或7，而且3、5、7這兩個(gè)數(shù)必須只能出現(xiàn)一次，求出第一組滿足條件的三位數(shù)，同理，求出另一組滿足條件的三位數(shù)即可．

解答： 解：根據(jù)題意，可得所有滿足要求的數(shù)的最小公倍數(shù)都是3、5、7、11的有限次方組合，
即n=3^x?5^y?7^z?11^w，
因?yàn)?是3的倍數(shù)，所以沒列舉，
三個(gè)兩位數(shù)的最小公倍數(shù)不包括大于或等于13的數(shù)的有限次方，可以用列舉法證明：65、39、91都不滿足條件；
因?yàn)槿齻�(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)共有18個(gè)約數(shù)，列舉法可以得到x=2、y=2、z=1、w=0或x=2、y=2、z=0、w=1，
又因?yàn)槿齻�(gè)兩位數(shù)都是奇數(shù)，如n=3×3×5×7×5，
首先把它化成三個(gè)兩兩互質(zhì)的形式：n=9×25×7，然后再把9、25、7分別乘以3、5、7中不是本身約數(shù)的數(shù)，
如：9乘以5或7，而且3、5、7這兩個(gè)數(shù)必須只能出現(xiàn)一次，
可得第一組滿足條件的三位數(shù)為：35、63、75；
同理，可得第二組滿足條件的三位數(shù)為：55、75、99．
答：所有滿足要求的情況為：35，63，75；55，75，99．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了公約數(shù)和公倍數(shù)問題的應(yīng)用，解答此題的關(guān)鍵是判斷出滿足要求的數(shù)的最小公倍數(shù)都是3、5、7、11的有限次方組合．