Question

馬拉松賽跑的路線上，等距離設(shè)置了若干個(gè)飲水站和等距離設(shè)置了16個(gè)醫(yī)療站，起點(diǎn)和終點(diǎn)都設(shè)有飲水站和醫(yī)療站，且起點(diǎn)和終點(diǎn)不同．若每個(gè)站安排一個(gè)值班員，兩站重合的也只安排一個(gè)值班員，那么一共要安排了46個(gè)值班員，且在途中確有醫(yī)療站與飲水站重合，也有醫(yī)療站不與飲水站重合．那么最多有多少個(gè)飲水站？

Answer 1

分析：把路線變成一個(gè)圈，避免+1和-1的麻煩，則起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，共有15個(gè)醫(yī)療站，45個(gè)值班員，如果有x個(gè)飲水站，則恰x與15的最大公約數(shù)個(gè)飲水站與醫(yī)療站重合，值班員的個(gè)數(shù)即可表示出來(lái)，再根據(jù)x的取值受限，即可求出答案．

解答：解：把路線變成一個(gè)圈，避免+1和-1的麻煩，則起點(diǎn)和終點(diǎn)重合，共有15個(gè)醫(yī)療站，45個(gè)值班員，
設(shè)有x個(gè)飲水站，則恰有x與15的最大公約數(shù)個(gè)飲水站與醫(yī)療站重合，
共有15+x-（x與15的最大公約數(shù)）個(gè)值班員，
也就是說(shuō)15+x-（x與15的最大公約數(shù)）=45，
x-（x與15的最大公約數(shù)）=30，
因?yàn)閤與15的最大公約數(shù)是15，
所以x與15的最大公約數(shù)可以取1，3，5，15，
相應(yīng)x分別為31，33，35，45，
因?yàn)橛嗅t(yī)療站不與飲水站重合，所以45不符合題意，最大是35，
再把起點(diǎn)和終點(diǎn)分開(kāi)，就是36；
答：最多有36個(gè)飲水站．

點(diǎn)評(píng)：解答此題的關(guān)鍵是，根據(jù)題意找出數(shù)量關(guān)系，利用取值受限，即可解答．