Question

編號為1----50的50盞關(guān)著的燈．規(guī)定把關(guān)著的燈打開或把開著的燈關(guān)上都叫“處理”．現(xiàn)在，第一次逐個(gè)進(jìn)行處理，第二次對編號是2的倍數(shù)的燈進(jìn)行處理，第三次對編號是3的倍數(shù)的燈進(jìn)行處理…直到第50次對編號是50的倍數(shù)的燈進(jìn)行處理．進(jìn)過這50次得處理后，最后還有哪幾盞燈是亮著的？

Answer 1

分析：原來50盞燈全部關(guān)著，由于燈的處理偶數(shù)次狀態(tài)不變，處理奇數(shù)次狀態(tài)改變，因此根據(jù)1～50的約數(shù)的個(gè)數(shù)即能確定最后還有哪幾盞燈是亮著的：有奇數(shù)個(gè)約數(shù)的編號燈最后是開著的，有偶數(shù)個(gè)約數(shù)的編號的燈狀態(tài)不變，最后是關(guān)著的．

解答：解：由于燈處理偶數(shù)次狀態(tài)不變，處理奇數(shù)次狀態(tài)改變，
素?cái)?shù)2有1和本身2個(gè)約數(shù)，則1～50所有質(zhì)數(shù)編號的燈最后是關(guān)著的；
合數(shù)中，如果是完全平方數(shù)象1、4、9、16…49這樣的都是奇數(shù)個(gè)約數(shù)，
而不是完全平方數(shù)的合數(shù)象6、8、10、…50這樣的都是偶數(shù)個(gè)約數(shù)，
所以算出1-50里面有幾個(gè)平方數(shù)即可知道有多少是亮的則有：
1號、4號、9號、16號、25號、36號、49號共7盞燈亮著．
答：最后有1號、4號、9號、16號、25號、36號、49號共7盞燈亮著．

點(diǎn)評：明確燈處理偶數(shù)次狀態(tài)不變，處理奇數(shù)次狀態(tài)改變，并由此根據(jù)編號的約數(shù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷是完成本題的關(guān)鍵．